4.3 等腰三角形-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一战成名目 第三节 等腰三角形 A基础过关练● 命题点①等腰（边）三角形的判定 1.开放性试题[2025资阳]如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E在线段AB上，CE∥DA.若使 △BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 D B R 第1题图 第2题图 2.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中有个等腰三角形 3.[2024常州节选]如图，B,E,C,F是直线I上的四点，AC,DE相交于点G,AB=DF,AC=DE,BC= EF.求证：△GEC是等腰三角形 B EC 第3题图 命题点②等腰三角形的性质 第 4.[北师八下P4第3题改编]如图，在△ABC中，AB=AC 章 (1)若∠B=40°，则∠C=°； (2)若△ABC的一个内角为80°，则∠A= 三 (3)[2024云南]AF是△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的 距离为 形 第4题图 变式题图 变式[2024内江]如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 5.[2025扬州]在如图的人字梁架中，AB=AC,点D在BC上，下列不能说明AD⊥BC的是() A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC B D 第5题图 变式题图 变式「2025广安]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,D是BC边上的一个动点， 连接AD,则AD的最小值为 74 一轮章节分层练·数学 一战成名目 6.易错[2024镇江]等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 命题点3等边三角形的性质 7.如图，在等边△ABC中，CD⊥AB于点D. (1)∠A= °，∠ACD= (2)若△ABC的周长为12，则BC的长为 ,BD的长为 D 第7题图 (3)若CD=3,则△ABC的面积为 B能力提升练 8.[北师九上P19习题第5题改编]如图，在△ABC中，AB=AC=2,P是BC上任意一点（不与点B,C重 合)，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若SAABC=1,则PE+PF的值为 () A.1 B.1.2 C.1.5 D.2 B 第8题图 第9题图 9.[2024自贡]如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE, ∠BED=60°.则新钢架减少用钢 () A.(24-123)m B.(24-8√3)m C.(24-63)m D.(24-4W3)m 四 10.多解法[2024陕西]如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC的右侧作BF∥ 章 AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 三角 E 第10题图 第13题图 11.多解法[2023滨州]已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP, BP,CP为边的三角形中，最小内角的大小为 () A.14° B.16° C.249 D.26° 12.易错[2025齐齐哈尔]等腰三角形纸片ABC中，AB=AC,将纸片沿直线1折叠，使点A与点B重 合，直线！交AB于点n,交直线4G于点E.连接BE,者4迟=5，m∠AD则△BBC的面积 为 13.多解法[2025成都]如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC边上，AD=3,CD=2,∠CBD=45°，则 tan∠ACB的值为 ;点E在BC的延长线上，连接DE,若∠CED=∠ABD,则CE的长 为 一轮章节分层练·数学 75 一战成名目 14.[2025福建]如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE 方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小； (2)求证：△CEG是等边三角形 第14题图 C素养提升练 15.[2024江西·北师八下P9随堂练习第1题改编]追本溯源 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2) 第四 (1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线，交AB于点E, 章 请判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用 三角 (2)如图②，在口ABCD中，BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线 于点F,交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②多解法已知AB=3,BC=5,求CF的长 第15题图① 第15题图② 76 一轮章节分层练·数学一战成名目 与门框完全闭合，此时∠CMW有最小值0°，当点N滑动 到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CWM=6°，则此时 ∠CMW有最大值，·∠CNM=6°，∠BCD=135°， ∠CMW=180°-6°-135°=39°，即∠CMW的最大值为39°. ②C;【解法提示】由特殊情况分析：点N与点C重合 时，SACMN=0,假设没有点P的限制，点N与点D重合 时，S。cww=0,∴.△CMW面积的变化情况是先增大后减小 (2)过点N作NG⊥BC交BC延长线于点G,如解图， B MC-G 第19题解图 当∠CMN=30时，NG=2MN=30(cm), .MG=MN2-NG2 =303(cm), .∠BCD=135°，.∴.∠NCG=45°，∴.CG=NG=30cm .MC=MG-CG=(303-30)em 考答案与 .S△Cw= cw·NG=2×(305-30)x0=(405 450)cm2. 第三节 等腰三角形 题解 1.∠BCE=∠B(答案不唯一)2.3 (AB=DF 3.证明：在△ABC和△DFE中，了AC=DE BC=EF, ∴.△ABC≌△DFE(SSS),∴.∠ACB=∠DEF, 即∠GCE=∠GEC,∴.GC=GE, ·.△GEC为等腰三角形 28 4.(1)40:(2)20°或80°；(3)3 变式1O0°【解析】AC=AE,BC=BD,.设∠AEC= ∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，.∠A=180°-2x°，∠B= 180°-2y°，∠ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC+∠AEC+ ∠DCE=180°，.∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)= 180°，180°-(x°+y)=∠DCE,.∠ACB+360°-2(x°+y)= 180°，.∠ACB+2∠DCE=180°，∠DCE=40°，. ∠ACB=100 5.B 变式22【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点 H.AD≥AH,∠AHB=90°，△ABC是等腰直角三角 形，.∠B=45°，.△ABH是等腰直角三角形，.AH= =2×4=22,AD的最小值为22 变式题解图 28 一轮章节分 6.6【解析】当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为 2,6+2>6,.能构成三角形，.第三边长为6：当2为一腰 长时，则另一腰长为2，底边长为6,2+2<6，.不能构成 三角形，舍去；综上第三边长为6. 7.(1)60,30:(2)4,2:(3)33 8.A【解析】如解图，连接AP,则SAARC=S△Ac+S△，： pE1A0,Pp1ACSa=分4C·m,Sw=0 PE.we4C.PF+分0.E,又Sae-1,4B= 4C=21=7X2PF+X2PE.PE+PF= 第8题解图 9.D【解析】：△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°，BC= AC=AB=12,CD⊥AB,.BD=6,CD=65,∠BED= 60°，.DE=2W3,AE=BE=4√3，.减少用钢为(AB+AC+ BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE= 12+12+65-45-4V5-25=(24-45)m 10.60 思维构建。 题眼：AB=AC,BF∥AC 解码：平行+等腰有角平分线 辅助线与结论：作CM⊥AB,CW⊥BF,可得CM=CW ↓ 由AB=BF得等底等高三角形面积相等小贴士 遏到等腰三角形 结果：Sg地形CEBF=S△ABc 三线合一不能少 辅助线与结论：作AG⊥BC,得BG=CG,勾股得AG 【解析】AB=AC,.∠ABC=∠ACB,BF∥AC, ∠ACB=∠CBF,.∠ABC=∠CBF,.BC平分∠ABF,如解 图，过点C分别作CM⊥AB,CW⊥BF于点M,N,则CM= N,·SAE=AE·CM,SACHE=)BF·CN,且BFF AE,.S△cBr=S△iCE,S四边形Bc=S△CBr+S△cE=S△CE+ SAcE=SACBA· 解法一：如解图，过点A作AG⊥BC于G,AB=AC,则 BG=CG=6C=5,∠40C=90,在△4CG中，4c= 1 VAC-CG=12,·S6cm=2BC·AG=60,· S四边形EBrc=60. E M B 第10题解图 层练·数学 多解法。 解法二：AC=13,AB=13,设AM=x,则BM=13-x,由 勾股定理得CM=AC2-AM2=BC-BM,.132-x2=102- (13-x)2,解得x= 119 1 SAcm=AB.CM=60,S=60. 1L.B【解析】解法一：如解图①，过点P作PD∥AB交AC于 点D,:△ABC是等边三角形，.∠BAC=∠B=∠C= 60°，BC=AC,又：PD∥AB,∠CDP=∠BAC=60, ∠DPC=∠B=60°，∴.△CPD是等边三角形，.DP=CP= CD,又BC=AC,BP=AD,.△APD与以线段AP, BP,CP为边的三角形全等.∠APC=104°，.∠APD= 44°，∴.∠PAD=16°，∴.以线段AP,BP,CP为边的三角形 的最小内角为16°. 第11题解图① 第11题解图② 多解法 解法二：如解图②，将线段AP绕点A逆时针旋转60°至 AQ,连接PQ,CQ,则△APQ为等边三角形，.∠APQ= 60°，PQ=AQ=AP.△ABC是等边三角形，.AB=AC, ∠ACB=∠BAC=∠B=60°，·.∠BAP+∠PAC=60°， ∠PAQ=60°，.∠PAC+∠CAQ=60°，.∠BAP= ∠CAQ,又AB=AC,AP=AQ,△ABP≌△ACQ (SAS),∴.CQ=BP,∠ACQ=∠B=60°，..△POC与以线段 AP,BP,CP为边的三角形全等.：∠APC=104°， ∠CPQ=44°，∠ACB=60°，∠ACQ=60°，.∠PQC= 16°，.以线段AP,BP,CP为边的三角形的最小内角 为16. 其他解法：也可在BC下方，以BP或CP为边作等边三角 形，如解图③和④， 第11题解图③ 第11题解图④ 2号 ：【解析】∠BAC为锐角时，如解图①，：将纸片 沿直线I折叠，使点A与点B重合，.DE⊥AB,AD= BD,AE=BE=5,∠ADE=90,1an∠ABED=A0=3, DE4,设 AD=3x,DE=4x,.(3x)2+(4x)2=52,解得x=1(负值舍 去)，.AD=BD=3,DE=4,AB=AC=6,.CE=1, 一轮章节分后 一战成名目 1 So.u 2X6X4 5 SSSa；人BAC为饨角时，如解 图②，同理得，AD=BD=3,DE=4,.AB=AC=6,CE= 1 ×6×4 S△ABE 品S=g2签上所述。 2 5 11,. S△cBE △C的面积为号或子 图① 图② 第12题解图 3.4,20 3 思维构建· 遏到45°角→想到作垂线构造等腰直角三角形； 遏到AD:CD=3:2,且AD,CD在同一直线上→想到添加 参考答案 平行线构造相似或利用平行线分线段成比例。 【解析】解法一：如解图①，过点D作DF⊥BC于点F,过 重 点4作c上BcT去G,期G0一0器号设 难 CF=2a,则GF=3a,.CG=5a.AB=AC,AG⊥BC,∴.BG= 解 CG=5a,.BF=8a.:∠CBD=45°，.△BDF是等腰直角 三角形.：DF=8am∠408=张-4在△DCF 中，CD=CP+DF,2=(2a)2+(8a）,解得a= 17(负 :c. 值已舍)，CF=2万 17 29 BD=834 7AB=AC,∠ABC=∠ACB,:∠ABC= ∠ABD+∠DBE,∠ACB=∠CED+∠CDE,∠CED= ∠ABD,.∠DBE=∠CDE,又∠E=∠E,△EDC m器荒需气后 34 17 DE=BE·CE=(BC+CE)·CE,(8CE)产=(10T √34 17 CB)·CE,解得CE=0(舍去)或CE=27 3 d GFC 第13题解图① 练·数学 29 一战成名目 多解法。 解法二（构造相似）：如解图②，过点B作BF⊥BC交CA 的延长线于点F,通过解直角三角形可求出BC;过点D作 DG∥BC交AB于点G,则△CED∽△GBD,利用相似的性 质可求出CE. F ! G以 D D 图② 图③ 第13题解图 解法三（思路）：如解图③，过点D分别作DF⊥BC于点 参考答案与 F,DQ⊥BD交BE于点Q,由CD=2,DF:CF=4:1,得CF= 2,DF=8 证∠EDC=∠EBD= √1 =F0,进而有cQ=6 7 难 45=∠C0D,得△CD0∽△CED,得SD-C CE CD ,进而可求出CE 题解 14.(1)解：△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°， D是AB的中点，.CD平分∠ACB, ∠DCB=∠ACD=号∠ACB=300 .CE⊥BC,∴.∠BCE=90°，.∠DCE=60°； (2)证明：由平移可知：CD∥EF ∴.∠EAC=∠ACD=30°， 30 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30° ·.∠EAC=∠ECA,AE=CE,∠AEC=120°， 又AB=CB,.BE垂直平分AC, 2∠AEC=60, .∠GEC 由(1)知∠GCE=60°， .∴.∠EGC=60°，∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC, ·△CEG是等边三角形 15.解：(1)△BDE是等腰三角形.理由如下： BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, .DE∥BC,.∠EDB=∠DBC, .∠EDB=∠EBD,∴.EB=ED,∴△BDE是等腰三角形： (2)①B: ②解法一：·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC .∠AEB=∠EBC,∠BAF=∠AFD, BE平分∠ABC,.∠ABE=∠EBC, .∠ABE=∠AEB,.AB=AE, .AF⊥BE,∴.∠BAF=∠DAF, 30 一轮章节分 .∠DAF=∠AFD,DF=AD=BC, AB=3,BC=5...CF=DF-CD=BC-AB=5-3=2. 多解法。 解法二：如解图，连接BF,EF ·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,AD∥BC, AD=BC, .∠AEB=∠EBC,∠EDF= ∠FCB,∠ABF+∠CFB=180°， 第15题解图 :BE平分∠ABC,.∠ABE=∠EBC, ∴.∠ABE=∠AEB,.AB=AE, AF⊥BE,.AF垂直平分BE,.BF=EF, 又AF=AF,.△ABF≌△AEF,∴.∠ABF=∠AEF .∠DEF+∠AEF=180°， ∴.∠DEF+∠ABF=180P,.∠DEF=∠CFB .△DEF≌△CFB,.DE=CF, ED=AD-AE=BC-AB=5-3=2...CF=2. 解法三：如解图，设AG与BE交于点H, AB∥DF,·.∠BAG=∠DFA, .BE平分∠ABC,.∠ABH=∠GBH .∠AHB=∠BHG=90°，BH=BH,.∴.△ABH△GBH, ·.∠BAH=∠BGH,AB=BG=3, BC=5,∴.CG=2, .·∠BGH=∠CGF,.∠CFG=∠CGF,.CF=GC=2. 第四节 直角三角形 1.C2.①② 3.解：△ABC是等腰直角三角形. 证明：DE∥BC,∠C=∠AED, .·∠EDF=∠C,.∠AED=∠EDF, .DF∥AC,.∠BDF=∠A, ∠A=45°，.∠BDF=45°， DF平分∠BDE,.∠BDE=2∠BDF=90, .DE∥BC,.∠B=90°， .∠C=∠A=45°，AB=BC,.△ABC是等腰直角三角形. 4.(1)70:(2)3: ,【解析】如解图，记BD交AC于点O,连接AD, CD,由作图可知，AD=AB,CD=CB,.AC垂直平分BD,即 AC⊥BD,OB=OD,.∠ABC=90°，AB=1,BC=2,.∴.AC= VAB+BC=√T+2=5,:Sam=2AC·0B=2AB· BC,OB=AB·BC25 AC 3.BD=206=45 5 第4题解图 层练·数学