4.2 三角形及其重要线段-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一战成名目 第二节 三角形及其重要线段 A基础过关练● 命题点①三角形的三边关系 1.开放性试题[2024西宁]若长度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以 是 .(写出一个即可) 2.[2025连云港]下列长度（单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 3.开放性试题)[2025河北]平行四边形的一组邻边长分别为3,4，一条对角线长为n.若n为整数，则 n的值可以为 .(写出一个即可) 命题点②三角形的内角和与内外角关系 4.[2023遂宁]若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 三角形 5.[2025南充]如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线1上，则∠α的度数是 () A.120° B.130° C.140° D.150° D 60 E 第5题图 第6题图 第四 命题点③三角形中的重要线段 章 6.[2024河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的 () A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 7.[2025河南]如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交 形 点上，点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为 () 1 B.1 C.2 D.3 0 E 第7题图 变式7-1题图 变式7-2题图 变式7-1 真实情境)[2024兰州]如图，小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离，他 先在AB外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18m,由此估测A, B之间的距离约为 ( A.18m B.24m C.36m D.54m 变式7-2 [2025广东省卷]如图，D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（) A.20° B.40 C.70° D.110° 70 一轮章节分层练·数学 一战成名目 8.[2025连云港]如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平 分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为 () A.5 B.6 C.7 D.8 E G 第8题图 第9题图 第10题图 9.[2024德州]如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4,SABc=12,则BE的长为 A.1.5 B.3 C.4 D.6 10.[北师七下P88第2题改编]如图，在△ABC中，BD是△ABC的一条角平分线 (1)若∠A=50°，∠C=72°，则∠ABD= °； (2)若△ABD的面积为10，AB=5,则点D到BC的距离为 变式10-1[北师八上P180第4题改编]如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠A= 65°，则∠E的度数为 60 B C M 变式10-1题图 变式10-2题图 变式10-3题图 第四 变式10-2[北师八上PI87第16题改编]如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角 ∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E,若∠A=60°，则∠E的度数为 三 A.15 B.30° C.45° D.60° 形 变式10-3如图，点D,F分别在△ABC的边AC,AB的延长线上，BE,CE分别平分∠FBC, ∠BCD,若∠A=60°，则∠E的度数为 B能力提升练 11.易错[2023河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变 化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 A2 第11题图 第12题图 12.[人教八上P9第8题改编]如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D和点E,AD与CE交 于点O,连接B0并延长交AC于点F,若AB=5,BC=4,AC=6,则CE:AD:BF= 一轮章节分层练·数学 71 一战成名目 13.多解法[2025宜宾]如图，一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=2DB,沿 DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则 的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 第13题图 第14题图 14.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是△ABC的中线，AE,BD相交于点E,EF⊥AB于点F,若AB= 14,AC=12,S△Bc=20,则EF的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 15.[2022安顺]如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB=120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，若 DE平分△ABC的周长，则DE的长为 () B.②+1 C.√2 D.3 2 C E 第四 120° D B 第15题图 第16题图 三 16.[2022遂宁]如图，D,E,F分别是△ABC三边上的点，其中BC=8,BC边上的高为6，且DE∥BC, 则△DEF面积的最大值为 () 形 A.6 B.8 C.10 D.12 17.易错[2022哈尔滨]在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是 度 18.[2023潍坊]如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点E,过点E作EF∥BC,交AC于 点F,G为BC的中点，连接FG求证：FC=AB G 第18题图 72 一轮章节分层练·数学 一战成名目 ●C素养强化练● 19.真实情境[2025江西]图①是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图②所示，AE与DE两处是 墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB=BC=CD=60Cm,∠ABC=∠BCD =135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M,N分别在BC,CD对应的轨道上滑动.当 点V与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此 时测得∠CNM=6°. (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为 度，最大值为 度； ②△CMN面积的变化情况是( A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 (2)当∠CMN=30时，求△CMN的面积. P>D M C 图① 图② 第19题图 第四章 三角 一轮章节分层练·数学 73一战成名司 解题通法。 拐点平行线求角度的两种辅助线作法 作法一：作平行线 A E A B 乙 D D -------F 作法二：延长相交 A E B D 18.B 速解技巧。 直接在图中画出直线AB,BC,BD,AD,再判断它们与PQ 的位置关系 19.C【解析】解法一：如解图①，设直线BG分别交1，l2于 考答 点H,I,∠ADE=146°，.∠ADB=180°-∠ADE= 34°，.·∠a=∠ADB+∠AHD,.∠AHD=∠-∠ADB= 50°-34=16°，1h2,.∠GIF=∠AHD=16°，△EFG 是等边三角形，·∠EGF=60°，∠EGF=∠B+ ∠GIF,.∠B=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44. H 题解 第19题解图① 多解法。 解法二：如解图②，延长FE交l,于点H,:△EFG是等边 26 三角形，.∠FEG=∠EFG=6O°.在四边形ADEH中， ∠a=50°，∠ADE=146°，∠DEH=∠FEG=60°，.∠AHE= 360°-50°-146°-60°=104°.11∥12，.∠EFG+∠B= ∠AHE=104°，∴.∠B=104°-60°=44° 4 H E G B -I 第19题解图② 解法三：如解图③，设直线BD分别交L1,L2于点H,1,过点 D作DM∥L,则∠a+∠ADM=180°.：∠a=50°， ∠ADM=130°，又.·∠ADE=146°，∴.∠MD1=146-130°= 16°.l1h2,.DM∥l2,.∠DIF=∠MDI=16°.△EFG 是等边三角形，.∠EGF=60°.∠EGF=∠B+ ∠DIF,∴.∠B=∠EGF-∠DIF=60°-16°=44° H A --M B 1 第19题解图③ 26 一轮章节分 20.解：(1)70°；【解法提示】EF1AB,.∠B0E=90°， ∠B0C=160°，.∠C0E=160°-∠B0E=70°， ∠F0D=70°. (2)①360°；【解法提示】AB∥CD∥GH,∠DEF+ ∠EB=180°，∠G+∠GFB=180°，∴.∠DEF+∠EFB+ ∠G+∠GFB=360°，即∠DEF+∠EFG+∠G=360. ②EF∥HL: 理由：AB∥GH,.∠H+∠HIF=180°， ·∠H=∠DEF,.∠DEF+∠HIF=180°， :AB∥CD,.∠DEF+∠EFB=18O°， ∴∠EFB=∠HIF,∴.EF∥H; (3)①85°；【解法提示】：AB∥CD,∴.∠CEF+∠AME= 180°，·∠CEF=115°，.∠AME=∠FMG=65°，： ∠AGF=30°，·.∠EFG=180°-∠FMG-∠AGF=180°- 65°-30°=85. ②x-y+z=90°.【解法提示】易得∠FMG=∠EMA=180°- ∠CEF=180°-x,∠FGM=180°-∠EFG-∠FMG=180°-y 180+x=x-y,:FG⊥GH,.∠FGH=90°，.∠FGM+ ∠HGM=90°，AB∥CD,.∠HGM=∠DHG=z,∴.x-y+z= 90°，即x,y,z之间的数量关系为x-y+z=90. 第二节三角形及其重要线段 1.4(答案不唯一）2.B3.2(答案不唯一）4.直角 5.D6.B7.B变式7-1C变式7-2C8.C9.B 10.(1)29:(2)4 变式10-1122.5【解析】∠A=65°，∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A=115°，.·BE平分∠ABC,CE平分 1 1 LACB,∠EBC=2∠ABC,LECB=2LACB, ∠Bc+∠E08=寸（∠ABC+∠ACB)=55,LE- 180°-（∠EBC+∠ECB)=122.5. 变式10-2B【解析】：∠A=60°，.∠ACM=60°+ ∠ABC.·.·BE平分∠ABC,CE平分∠ACM,.∠ECM= 1 )乙ACM=30°+2∠ABC=30°+∠EBC,又∠E ∠EBC=∠ECM=30°+∠EBC,∴.∠E=30. 变式10-360°【解析】：∠A=60°，∠ABC+∠ACB= 180°-∠A=120°，.∠FBC+∠BCD=180°-∠ABC+180° ∠ACB=240°，·BE,CE分别平分∠FBC,∠BCD,.∠CBE= 子R,∠s子微n∠C能∠以E=∠FaCr ∠BCD)=120°，∴.∠E=180°-(LCBE+∠BCE)=60. 11.B 思维构建。 △ABC为等腰三角形，AB≠BC,且腰不确定时，要分两种 情况进行讨论：①AB=AC,②AC=BC. 注：三角形三边长要满足三角形三边关系。 【解析】：△ABC为等腰三角形，AB≠BC,.AB=AC或 AC=BC,当AC=BC=4时，AD+CD=AC=4,此时不满足三 层练·数学 角形三边关系定理，当AC=AB=3时，满足三角形三边关 系定理，AC=3. 12.12:15:10【解析】在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,AD与 CE交于点O,BF经过点O,.点O为△ABC的垂心， BFLAC,.分4B.CE=BC,AD=之4C,BR,:AB= 5.6c=4,4c-6×50E=子x4M0=子×6r,ce AD:BF=12:15:10. 13.C【解析】解法一：如解图①，取AD的中点M,连接 EM,BE,AD=2DB,.AM DM=BD,.SAAEM SADEN= S△BD,S△ADE=S四边形BGED,.S△BEc=S△mE,.S△ABE= AE 3S△BCE, EC=3. 第13题解图① 第13题解图② 多解法。 解法二：如解图②，过点D作DF∥BC交AC于点F, A0-2na0-20子nsfc△4n AD 00尝片g 4s,则S△CB=9s,:沿DE将△ABC剪成面积相等的两部 9 SAurD 4s8 AFAF.AF AF 分SawF2,小SAE9、9-AEAE'AC AE 25 ACAC 8 2 4 AE MFAE933心EC3 14.B【解析】如解图，过点E作EG⊥AC于点G,AE是 ∠BAC的平分线，EF⊥AB于点F,∴EF=EG,设EF=EG= x,:BD是△ABC的中线，SABm=20,AC=12,.AD= 1 1AB· C=6,20+20 g分40·BG=20,宁×14+分×=20，解得x 2 2,.EF=2. B 第14题解图 15.C 思维构建。 遏120°角，常考虑以120°角的外角构造含30°角的直角三 角形或等边三角形；撾中点常考虑构造中位线。 【解析】如解图，延长BC至点F,使CF=CA,连接 一轮章节分 一战成名目 AF,∠ACB=120°，.∠ACF=60°，△ACF为等边三角 形，.AF=AC=22,:DE平分△ABC的周长，D是边AB 的中点，∴.BE=CE+AC=CE+CF=EF,:BD=DA,.DE是 △M8F的中位线DE=F=巨 1209 D FM 第15题解图 第16题解图 16.A【解析】如解图，过点A作AML BC于点M,交DE于 点N,DE∥BC,.AN⊥DE,设AW=a,则△DEF边DE上 的高为6-a:DE∥BC,△ADE△ABC,BC DE 4 a,Sr= 6o-子4a=子(e-36号<0.0ca 6.当a=3时，△DEF的面积有最大值，最大值为6 考 解题通法· 求三角形面积最值的常用方法 案与 ①三角形的一边确定，高变化时，可将问题转化为求高的 最值，即求线段长最值，常用几何方法，详见《中考能力必 难 备》P31~P54; 解 ②三角形的三边都不确定时，考虑设参，表示出三角形面 积，利用二次函数求最值. 17.80或40【解析】当△ABC为锐角三角形时，如解图 ①，∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；当△ABC为钝角 三角形时，如解图②，∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°- 27 30°-90°=60°，∴.∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40° 综上所述，∠BAC=80或40° 图① 图② 第17题解图 18.证明：.CD平分∠ACB .LACD=∠BCD, .·EF∥BC,∴.∠FEC=∠BCD, .∠ACD=∠FEC,.EF=CF, .·AE⊥CD,·.∠AEC=90°， ∴.∠EAC+∠ACD=90°，∠AEF+∠FEC=90°， .∴.∠EAC=∠AEF,.AF=EF, AF=CF,.F是AC的中点， G是BC的中点， CF是△ABC的中位线，FG=2AB. 19.解：(1)①0,39；【解法提示】当点N与点C重合时，推拉门 层练·数学 27 一战成名目 与门框完全闭合，此时∠CMW有最小值0°，当点N滑动 到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CWM=6°，则此时 ∠CMW有最大值，·∠CNM=6°，∠BCD=135°， ∠CMW=180°-6°-135°=39°，即∠CMW的最大值为39°. ②C;【解法提示】由特殊情况分析：点N与点C重合 时，SACMN=0,假设没有点P的限制，点N与点D重合 时，S。cww=0,∴.△CMW面积的变化情况是先增大后减小 (2)过点N作NG⊥BC交BC延长线于点G,如解图， B MC-G 第19题解图 当∠CMN=30时，NG=2MN=30(cm), .MG=MN2-NG2 =303(cm), .∠BCD=135°，.∴.∠NCG=45°，∴.CG=NG=30cm .MC=MG-CG=(303-30)em 考答案与 .S△Cw= cw·NG=2×(305-30)x0=(405 450)cm2. 第三节 等腰三角形 题解 1.∠BCE=∠B(答案不唯一)2.3 (AB=DF 3.证明：在△ABC和△DFE中，了AC=DE BC=EF, ∴.△ABC≌△DFE(SSS),∴.∠ACB=∠DEF, 即∠GCE=∠GEC,∴.GC=GE, ·.△GEC为等腰三角形 28 4.(1)40:(2)20°或80°；(3)3 变式1O0°【解析】AC=AE,BC=BD,.设∠AEC= ∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，.∠A=180°-2x°，∠B= 180°-2y°，∠ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC+∠AEC+ ∠DCE=180°，.∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)= 180°，180°-(x°+y)=∠DCE,.∠ACB+360°-2(x°+y)= 180°，.∠ACB+2∠DCE=180°，∠DCE=40°，. ∠ACB=100 5.B 变式22【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点 H.AD≥AH,∠AHB=90°，△ABC是等腰直角三角 形，.∠B=45°，.△ABH是等腰直角三角形，.AH= =2×4=22,AD的最小值为22 变式题解图 28 一轮章节分 6.6【解析】当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为 2,6+2>6,.能构成三角形，.第三边长为6：当2为一腰 长时，则另一腰长为2，底边长为6,2+2<6，.不能构成 三角形，舍去；综上第三边长为6. 7.(1)60,30:(2)4,2:(3)33 8.A【解析】如解图，连接AP,则SAARC=S△Ac+S△，： pE1A0,Pp1ACSa=分4C·m,Sw=0 PE.we4C.PF+分0.E,又Sae-1,4B= 4C=21=7X2PF+X2PE.PE+PF= 第8题解图 9.D【解析】：△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°，BC= AC=AB=12,CD⊥AB,.BD=6,CD=65,∠BED= 60°，.DE=2W3,AE=BE=4√3，.减少用钢为(AB+AC+ BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE= 12+12+65-45-4V5-25=(24-45)m 10.60 思维构建。 题眼：AB=AC,BF∥AC 解码：平行+等腰有角平分线 辅助线与结论：作CM⊥AB,CW⊥BF,可得CM=CW ↓ 由AB=BF得等底等高三角形面积相等小贴士 遏到等腰三角形 结果：Sg地形CEBF=S△ABc 三线合一不能少 辅助线与结论：作AG⊥BC,得BG=CG,勾股得AG 【解析】AB=AC,.∠ABC=∠ACB,BF∥AC, ∠ACB=∠CBF,.∠ABC=∠CBF,.BC平分∠ABF,如解 图，过点C分别作CM⊥AB,CW⊥BF于点M,N,则CM= N,·SAE=AE·CM,SACHE=)BF·CN,且BFF AE,.S△cBr=S△iCE,S四边形Bc=S△CBr+S△cE=S△CE+ SAcE=SACBA· 解法一：如解图，过点A作AG⊥BC于G,AB=AC,则 BG=CG=6C=5,∠40C=90,在△4CG中，4c= 1 VAC-CG=12,·S6cm=2BC·AG=60,· S四边形EBrc=60. E M B 第10题解图 层练·数学