云南省玉溪第一中学2026届高三适应性测试数学试题（九）

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（九） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若，则 A． B． C． D． 4．设是等比数列的前项和，若，，则 A． B． C． D． 5．函数在区间上的图象大致为 A． B． C． D． 6．已知点，，，圆：，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为 A． B． C． D． 7．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为 A． B． C． D． 8．已知函数，若，则最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则 A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．已知为坐标原点，点，，若点满足，，则下列判断错误的是 A． B．面积的最大值为 C． D． 11．如图，在正方体中，点，，分别在棱，，上不与棱的 端点重合，为棱的中点，则下列说法正确的是 A．若平面与正方体的每条棱的夹角都相同，则直线平面 B．三角形不可能为直角三角形 C．若，分别为棱，的中点，则存在点，使得平面 D．若二面角的余弦值为，二面角的余弦值为，则二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，的系数是          ． 13．年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹已知点，，动点满足，则面积的最大值为          ． 14．如图，在一个大圆中放入两个半径之比为的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作现有一个半径为的大圆，则次操作后图中最小的圆的半径为          次操作后图中所有圆的面积总和为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，，． 求角的大小 求 若线段上点满足，求的长． 16．（15分） 已知函数． 当时，讨论的单调性 当时，，求的取值范围． 17．（15分） 如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段中点． 求证：平面平面； 若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18．（17分） 有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为，，的个白球，乙口袋中有编号为，，的个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作． 求次换球后，甲口袋中恰有个白球的概率 求次换球后，甲口袋中个球颜色恰好相同的概率结果用含的式子表示 求次换球后，甲口袋中个球编号恰好为，，的概率结果用含的式子表示当为多少时，概率取得最大值最大值是多少 19．（17分） 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，，且，记点的轨迹为曲线． 求的方程，并说明轨迹的形状； 设点，若曲线上两动点，均在轴上方，，且与相交于点． 当，时，求证：的值及的周长均为定值； 当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求用，表示；若不存在，请说明理由． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（九） 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B A B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 160 3   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：因为， 所以， 所以， 根据两角和的正弦公式， 可得， 因为， 所以， 则， 代入上式可得， 因为， 所以， 等式两边同时除以，可得， 所以，即， 又因为， 所以； 因为，，， 根据余弦定理， 可得， 所以， 根据余弦定理得； 因为， 所以， 所以， 代入，，可得， 根据正弦定理，可得． 16．（15分） 解：当时，，， 记， 因为，所以在上单调递增， 又， 得当时，即在上单调递增； 当时，即在上单调递减． 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，； 当时，即， 令， 记， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，即 所以在上单调递增，即， 故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以，所以， 综上可知，实数的取值范围是． 17．（15分） 解：证明：因为内接于圆，为圆的直径， 所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面； 因为平面，和平面， 所以，， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量， 由，得 不妨设，则，， 所以平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量， 由，得 不妨设，则，， 所以平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18．（17分） 解：经过次换球后，甲口袋中白黑，乙口袋中黑白，记“次换球后，甲口袋中恰有个白球”为事件， 则． 次换球后，记“甲口袋中恰有个白球”的概率为，“甲口袋中恰有白黑”的概率为， “甲口袋中恰有白黑”的概率为，“甲口袋中恰有个黑球”的概率为． 由题意可知，，，，，    所以， 则， 所以为等比数列，公比为， 由，得， 所以次换球后，甲口袋中个球颜色仍相同的概率为．． 次换球后，记“甲口袋中个球编号分别为，，”的概率为， 则，， 所以，， 当为奇数时，， 当为偶数时，．， 所以当时，取得最大值，最大值为．  数学参考答案第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 19．（17分） 解：设点， 由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 设点，，， 其中，且，， 证明： 由可知的方程为， ， 因为， 所以 ， 因此，，，三点共线， 且 ， 设直线的方程为， 联立的方程， 得， 则， 由可知， ， 所以 定值， 由椭圆定义， 得， ， ， 解得， 同理可得， 所以 ， 因为， 所以的周长为定值； 当时， 曲线的方程为， 轨迹为双曲线， 根据的证明， 同理可得，，三点共线， 且， 设直线的方程为， 联立的方程， 得， ， 因为， ， 所以 ， 将代入上式， 化简得， 由双曲线的定义， 得， 根据， 解得， 同理根据， 解得， 所以 ， 由内切圆性质可知， ， 当时， 常数， 因此，存在常数使得恒成立，且． $