专项突破10 一元一次方程的应用（期末复习讲义-知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义以一元一次方程的应用为核心，通过知识回顾梳理列方程解应用题的一般步骤，结合题型数量关系分析构建知识体系，运用表格归纳销售优惠、阶梯收费等题型的等量关系，框架图呈现步骤逻辑，清晰展现14类重难点题型的内在联系。 讲义亮点在于“题型精讲+变式训练”的分层设计，14个培优题型覆盖工程、方案选择等实际问题，如通过购物优惠方案对比培养模型意识，动点问题训练推理能力。真题演练强化运算能力，基础学生可掌握步骤方法，优秀学生能深化应用，助力教师实施精准复习教学。

专项突破10 一元一次方程的应用 （知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1 知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 工程问题（一元一次方程的应用） 3 题型2 销售盈亏(一元一次方程的应用） 4 题型3 比赛积分（一元一次方程的应用） 5 题型4 方案选择（一元一次方程的应用） 6 题型5 数字问题（一元一次方程的应用） 7 题型6 几何问题（一元一次方程的应用） 8 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 9 题型8 电费和水费问题(一元一次方程的应用） 10 题型9 行程问题（一元一次方程的应用） 11 题型10 比例分配（一元一次方程的应用） 12 题型11 日历问题（一元一次方程的应用） 12 题型12 古代问题（一元一次方程的应用） 14 题型13 配套问题（一元一次方程的应用） 14 题型14 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 15 期末真题 实战演练 16 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题：弄清题意． （2） 找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4） 解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5） 检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析 题型1 日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律) 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 题型2 等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。 题型3 数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. 题型4 和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 题型5 调配问题。 　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。 题型6 利润率问题。 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 题型7 工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 题型8 行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： 　 ①相遇问题： （a） 基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 题型9 方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型1 工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 【变式】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 题型2 销售盈亏(一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【变式】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 题型3 比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【变式】（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，珍珍玩了两局，每局投10次，弓箭投入壶内、壶耳，落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 3分 1分 -2分 在第一局中，珍珍投入壶内3次，壶耳5次，其余均落在地上． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投入壶内3次，壶耳次，其余均落在地上．珍珍的本局得分是否可能比第一局提高5分？请判断并说明理由． 题型4 方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价150元，文具袋每个定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋x个(，x为整数)． (1)若该学校按方案一购买，需付款 元； 若该学校按方案二购买，需付款 元(用含x的式子表示)； (2)当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同； (3)请你为学校提出最合理化的购买方案?直接写方案 【变式】（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 题型5 数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的7字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．22 B．70 C．182 D．206 【变式】（25-26七年级上·福建厦门·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 题型6 几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 【变式】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． (1)若有四张白纸按如图所示方法粘合起来，那粘合后的总长度为______； (2)猜想：张白纸粘合后的总长度为______（用含的代数式表示）； (3)当粘合后的总长度为时，此时用了多少张白纸？ 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，、两点之间距离为，原点在点和点之间，且点到的距离是点到的距离的倍． (1)______，______； (2)已知点为数轴上一动点，且满足，直接写出点表示的数； (3)动点从数对应的点开始向右运动，速度为每秒个单位长度．同时点、在数轴上运动，点、的速度分别为每秒个单位长度、每秒个单位长度，运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点向左运动，点向右运动，的值不随时间的变化而改变，请求出的值． 【变式】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有一个机器狗和一个探测器：机器狗从原点出发，以个单位长度/秒的速度向右匀速运动到达表示数的点，再折返以个单位长度/秒的速度向左匀速运动到达表示数的点，再折返以个单位长度/秒的速度向右匀速运动到达表示数的点，…，依此类推．在机器狗出发的同时，探测器从原点出发，以个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当机器狗与探测器之间的距离小于个单位长度时，会被探测器探测到．设机器狗从原点出发运动了秒． (1)当机器狗第次到达表示数的点时，的值为多少？此时机器狗能被探测器探测到吗？ (2)在运动的过程中，探测器第次开始探测不到机器狗的位置时，的值为多少？ (3)请完成填空：当机器狗第次到达表示数的点时，秒； 第次到达表示数的点时，秒； 第次到达表示数的点时， 秒； 第次到达表示数的点时， 秒； 第次到达表示数的点时， 秒（用关于的代数式表示）． 题型8 电费和水费问题(一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【变式】（25-26七年级上·四川眉山·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是 元； 若小明家10月用电量为230度，则他们家10月的电费是 元． (2)若小明家11月用电量为度；请用含的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 题型9 行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【变式】25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、、、都在数轴上．点A、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．S的最大值为______．持续的时间为______秒； 题型10 比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【变式】（24-25七年级上·河南安阳·期末）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得 枚银牌． 题型11 日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的，现在用一个“十”字模型框住了5个数． 观察2025年9月的日历，回答下列问题： (1)若设十字框中间的数为a，求框中的十字框中的5个数的和是多少？ (2)小李一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小李一家几号外出的？ (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由，如果能，请求出十字框中间的数． 题型12 古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 题型13 配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·河南周口·期中）列方程解应用题 某车间有30名工人，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个．若要使每天生产的甲、乙两种零件按配套，应安排多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件？ 【变式】服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 题型14 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·云南昭通·月考）【实际情境与方程思想】 为庆祝元旦，七年级某班准备购买一些文具作为联欢会的奖品．已知购买5个笔记本和3支钢笔共需100元；购买3个笔记本和4支钢笔共需104元． (1)求每个笔记本和每支钢笔的单价； (2)班主任拿出200元班费让班长去购买这些奖品．要求笔记本和钢笔总共购买20件，并且钱恰好用完．请问有几种购买方案？请具体列出． 【变式】（25-26八年级上·四川成都·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）数轴上有三点A，B，C，其中点A，B分别表示数，，现以点C为折点将数轴向右折叠（如图所示），若点A的对应点A'落在数轴上，且与B之间的距离是2，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24七年级上·安徽·期末）我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 6．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒．如图，长方形中，，，小郑沿将长方形分成两部分，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费32元，则该职工这个月实际用水为 立方米． 8．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点是线段上一点，且，点是的中点，，那么的长为 ． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    11．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）张村有一块试验田种水稻，今年换种新品种后，产量是千克，今年产量比去年增产三成，去年的产量是多少千克？ 12．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 13．国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 14．（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 15．（25-26七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点所表示的数分别为a和b，则有： ①两点的中点表示的数为； ②两点之间的距离；若，则可简化为；若，则可简化为； 【解决问题】数轴上两点所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出：________；________；________． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破10 一元一次方程的应用 （知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1 知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 工程问题（一元一次方程的应用） 3 题型2 销售盈亏(一元一次方程的应用） 5 题型3 比赛积分（一元一次方程的应用） 6 题型4 方案选择（一元一次方程的应用） 8 题型5 数字问题（一元一次方程的应用） 10 题型6 几何问题（一元一次方程的应用） 12 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 14 题型8 电费和水费问题(一元一次方程的应用） 17 题型9 行程问题（一元一次方程的应用） 19 题型10 比例分配（一元一次方程的应用） 21 题型11 日历问题（一元一次方程的应用） 22 题型12 古代问题（一元一次方程的应用） 24 题型13 配套问题（一元一次方程的应用） 25 题型14 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 27 期末真题 实战演练 28 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题：弄清题意． （2） 找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4） 解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5） 检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 知识点梳理02：题型等（数量）量关系分析 题型1 日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律) 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 题型2 等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。 题型3 数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. 题型4 和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 题型5 调配问题。 　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。 题型6 利润率问题。 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 题型7 工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 题型8 行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： 　 ①相遇问题： （a） 基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 题型9 方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型1 工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 【答案】55 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系列出方程，然后求解即可. 设此月人均定额为x件，甲组人均工作量为，乙组人均工作量为，根据甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可. 【规范解答】解：设此月人均定额为x件， 解得：． 答：此月人均定额是件． 【变式】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩 (2)不能完成，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． （1）设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，根据题意，得，解方程即可． （2）计算一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 【规范解答】（1）解：设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，由题意得： ， 解得， ， 即一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩； （2）解：不能完成，理由如下： 一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的工作量为： ， 故不能完成任务． 题型2 销售盈亏(一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠 超过400元的部分给予8折优惠 (1)若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； (2)若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ (3)如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【答案】(1)290；540 (2)元 (3)580元 【思路引导】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解优惠方案中的付费方式是解题的关键． （1）利用一次性购物超过200元但不超过400元的优惠方案和超过400元的优惠方案解析计算即可得出结论； （2）根据超过200元但不超过400元的优惠方案列出代数式即可； （3）利用相关优惠方式进行计算即可得出结论． 【规范解答】（1）解：（元）； ∵， ∴（元）， 故答案为：290；540； （2）解：当时，实际付款为（元）， 答：当超过200元但不超过400元时，他实际付款元； （3）解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设原价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：他这次购买商品的原价是580元． 【变式】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【答案】两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【思路引导】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设小华购买了双运动鞋，根据题意列出一元一次方程求解，再求总费用． 【规范解答】解：设小华购买了双运动鞋， 要使总花费相同，方案一要有优惠， 即， ， 解得：， ， 答：两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 题型3 比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【答案】(1)6，； (2)小明答对了15道题． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对道题得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道题得分参赛者的得分答对道题得分参赛者答对题目数，即可求出答错道题得分； （2）设小明答对了道题，则答错道题，利用小明的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得分 答错道题得分 故答案为：6，； （2）设小明答对了道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得： 答：小明答对了道题． 【变式】（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，珍珍玩了两局，每局投10次，弓箭投入壶内、壶耳，落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 3分 1分 -2分 在第一局中，珍珍投入壶内3次，壶耳5次，其余均落在地上． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投入壶内3次，壶耳次，其余均落在地上．珍珍的本局得分是否可能比第一局提高5分？请判断并说明理由． 【答案】(1)10分； (2)珍珍的本局得分不可能比第一局提高5分，理由见解析． 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握正确列出算式和方程． （1）根据计分规则用数量乘以分数求和即可得到答案； （2）根据规则分数列方程求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：珍珍第一局的得分：（分）； （2）不可能， 理由：由题意，得 ， 解得， 为正整数， 不符合题意， 即珍珍的本局得分不可能比第一局提高． 题型4 方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价150元，文具袋每个定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋x个(，x为整数)． (1)若该学校按方案一购买，需付款 元； 若该学校按方案二购买，需付款 元(用含x的式子表示)； (2)当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同； (3)请你为学校提出最合理化的购买方案?直接写方案 【答案】(1)； (2) (3)见详解 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据题意，分别列式化简，得出按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； （2）理解题意，得，解出的值，即可作答． （3）理解题意，综合运用方案一和方案二进行分析，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，（元）， ∴该学校按方案一购买，需付款元； 依题意，（元） ∴若该学校按方案二购买，需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元； 依题意，， 解得 答：当购买文具袋的数量为25时，方案一和方案二价格相同； （3）解：依题意，运用方案一，购买书包，则（元） 则方案二，（元） ∴（元） ∴学校提出最合理化的购买方案为，运用方案一，购买书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用是元 【变式】（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 【答案】128 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物可能有两种情况，需要分类讨论清楚． 根据优惠方案，爸爸购物款220元不超过500元，无优惠；妈妈付款756元，设妈妈原购物款为元，根据不同优惠方案分类讨论，列出方程，求出原购物款，然后求得爸爸和妈妈的总购物款，判断出优惠方案，求出一次性购买的付款总额，再与分开付款总额相比，即可求得答案． 【规范解答】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元； 妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为元， 当时，享受8折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴舍去； 当时，享受9折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴妈妈原购物款为840元， ∴爸爸妈妈总购物款为（元）， ∵， ∴享受8折优惠， 则需付款（元）， 分开付款总额为（元）， ∴一次购买可优惠元． 故答案为：128． 题型5 数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的7字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．22 B．70 C．182 D．206 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，，所以T字框内四个数的和为，逐一代入建立方程求解即可判断． 【规范解答】解：设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，， ∴T字框内四个数的和为． 令框住的四个数的和为22，则，解得，故选项A不符合题意； 令框住的四个数的和为70，则，解得，故选项B不符合题意； 令框住的四个数的和为182，则，解得，故选项C不符合题意； 令框住的四个数的和为206，则，解得，此时框不住完整的四个数，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·福建厦门·期中）幻方的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)请你选取一组数据构造一个三阶幻方，填入到如图2的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21； (2)数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数排列成数阵（如图3），回答以下两个问题： ①在图3的数阵中，位于第行的中间的数是_____（填空，要化简结果） ②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于650吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不能，理由见解析 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，填入合适的数即可； （2）①根据第1行中间的数是，第2行中间的数是，第3行中间的数是，第4行中间的数是，即可得解；②设十字框中最中间的一个数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【规范解答】（1）解：如图： （2）解：①由图可得：第1行中间的数是， 第2行中间的数是 第3行中间的数是， 第4行中间的数是， …， ∴位于第行的中间的数是； ②不能，理由如下： 设十字框中最中间的一个数为， 由题意可得：， 解得：， ∵十字框内的数均为奇数，而得出的的数均为偶数， ∴十字框中的五个数字之和不能等于． 题型6 几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，几张大小不相等的正方形纸片A，B，…，I，无重叠地铺满了一块长方形纸片．已知正方形纸片E的边长为7，求其余各正方形纸片的边长． 【答案】正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 【思路引导】考查一元一次方程的应用；利用最小的正方形的边长表示出其余正方形的边长是解决本题的难点；利用最大正方形的边长相等得到等量关系是解决本题的关键．可从中间最小的正方形的边长入手思考，表示出其余正方形的边长，根据的边长相等列式求解即可． 【规范解答】解：设中间正方形的边长为，则的边长为，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长为的边长，的边长的边长的边长，或者的边长的边长的边长， ， 解得， ；；；；；；； 答：正方形A，B，C，D，F，G，H，I的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9． 【变式】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． (1)若有四张白纸按如图所示方法粘合起来，那粘合后的总长度为______； (2)猜想：张白纸粘合后的总长度为______（用含的代数式表示）； (3)当粘合后的总长度为时，此时用了多少张白纸？ 【答案】(1)145 (2) (3)用了58张白纸 【思路引导】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）用总长度减去粘合部分的长度，列式计算即可； （2）用总长度减去粘合部分的长度，列出代数式即可； （3）根据（2）中的结果，列出方程即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：145； （2）； 故答案为：； （3）当时，解得； 答：用了58张白纸． 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，、两点之间距离为，原点在点和点之间，且点到的距离是点到的距离的倍． (1)______，______； (2)已知点为数轴上一动点，且满足，直接写出点表示的数； (3)动点从数对应的点开始向右运动，速度为每秒个单位长度．同时点、在数轴上运动，点、的速度分别为每秒个单位长度、每秒个单位长度，运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点向左运动，点向右运动，的值不随时间的变化而改变，请求出的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①或；② 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据，，间的关系，可得出，结合点在原点的左侧、点在原点的右侧，可求出，的值； （2）设点表示的数为，根据，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可得出，将其代入中，可得出，结合的值不随时间的变化而改变，可得出，解之即可得出的值． 【规范解答】（1）解：∵、两点之间距离为，原点在点和点之间，且点到的距离是点到的距离的倍， ， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：点表示的数为或； （3）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：t的值为或； ②当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ， 的值不随时间t的变化而改变， ， 答：m的值为 【变式】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有一个机器狗和一个探测器：机器狗从原点出发，以个单位长度/秒的速度向右匀速运动到达表示数的点，再折返以个单位长度/秒的速度向左匀速运动到达表示数的点，再折返以个单位长度/秒的速度向右匀速运动到达表示数的点，…，依此类推．在机器狗出发的同时，探测器从原点出发，以个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当机器狗与探测器之间的距离小于个单位长度时，会被探测器探测到．设机器狗从原点出发运动了秒． (1)当机器狗第次到达表示数的点时，的值为多少？此时机器狗能被探测器探测到吗？ (2)在运动的过程中，探测器第次开始探测不到机器狗的位置时，的值为多少？ (3)请完成填空：当机器狗第次到达表示数的点时，秒； 第次到达表示数的点时，秒； 第次到达表示数的点时， 秒； 第次到达表示数的点时， 秒； 第次到达表示数的点时， 秒（用关于的代数式表示）． 【答案】(1)；能观测到 (2) (3) ； ；当为奇数，，当为偶数， 【思路引导】本题主要考查了数轴上的动点问题、行程问题中的路程速度时间关系、规律探究，熟练掌握动点的位置变化分析、距离计算及规律归纳是解题的关键． （1）先确定机器狗到达的时间，再计算此时探测器位置，求两者距离判断是否被探测到． （2）分析机器狗运动阶段，列出距离表达式，解方程得探测不到的时间． （3）观察前几次到达1的时间规律，推导奇、偶数次的时间表达式． 【规范解答】（1）解：机器狗到的时间：秒， 从到的时间：秒， 从到的时间：秒， 从到的时间：秒， 总时间：秒， 探测器位置：， 距离：，能探测到． （2）解：由题意可知，介于到秒之间时，即机器狗从运动到的过程中，探测器第一次开始观测不到机器狗，两者之间的距离表示为：． 令， 解得时， ∴当时，两者的距离为个单位，探测器第一次观测不到机器狗． （3）解：第次到达表示数的点时，； 第次到达表示数的点时， ； 第次到达表示数的点时，当为奇数，； 当为偶数，． 题型8 电费和水费问题(一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【答案】6月用电200千瓦·时，7月用电320千瓦·时 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，由题意，6月份在第一档消费，7月份在第二档消费．设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时．构建方程求解． 【规范解答】解：∵已知6、7月总用电量520千瓦·时，7月用电量月，且两月用电量均千瓦·时， ∴6月用电量千瓦·时（因为），7月用电量千瓦·时， 设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时． ①当时，根据题意得： ， 解得， 则7月份用电量：（千瓦·时）． ②当时，根据题意得： ， 整理后得：（不合题意，此情况不成立） 答：该用户6月份用电200千瓦·时，则7月份用电320千瓦·时． 【变式】（25-26七年级上·四川眉山·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是 元； 若小明家10月用电量为230度，则他们家10月的电费是 元． (2)若小明家11月用电量为度；请用含的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 【答案】(1)80，120； (2)当时，电费是元；当时，电费是元； (3)12月用电量为度． 【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据表格计算即可； （2）分情况作答即可； （3）求出12月电费所在位置，进而列方程计算即可． 【规范解答】（1）解：（元） ∴9月的电费是80元； （元） ∴10月的电费是120元； 故答案为：80，120； （2）解：依题意，当时，电费是元； 当时，电费是元； （3）解：由（1）知12用电量大于230度， 当， ； 可知12用电量在第三档， 设12月用电量为度， 则， 解得：， 即12月用电量为度． 题型9 行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用-相遇问题，由于两车不是在同一顶点出发，所以两车第一次相遇，需要通过的路程之差等于边长的3倍，依此列出方程即可求解． 【规范解答】解：设经过x分钟两车第一次相遇，依题意有： ， 解得， ， 即乙走了2圈又2.5米， 故两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边上． 故选：C． 【变式】25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点A、、、都在数轴上．点A、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．S的最大值为______．持续的时间为______秒； 【答案】(1)，14 (2)或3 (3)15， 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用．得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．用到的知识点为：两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数． （1）根据可得和的值，即可得到和的长度，结合，可得和的长度，即可得到点和点表示的数； （2）分别表示出点和点表示的数，根据，列方程求解即可得到的值； （3）易得重叠的最大面积为较小的长方形的面积，画出小长方形完全进入大长方形一开始的情况和即将结束时的情况，可得重叠面积为最大面积时两个长方形运动的路程和，根据相向而行，除以速度和即为持续的时间． 【规范解答】（1）解：∵，且 ∴． 解得：，． ，． ∵， ． ． ∴点表示的数是，点表示的数是14． 故答案为：，14； （2）解：秒后点表示的数为：，点表示的数为：． ∵， ． 或． 解得：或3． （3）解：当长方形全部进入到长方形中时，重合的面积最大，为长方形的面积：； 由图可得：当长方形全部在长方形中时，运动的路程为5， ∵两个长方形相向而行， ∴持续的时间为：． 故答案为：15，． 题型10 比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲】（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【规范解答】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 【变式】（24-25七年级上·河南安阳·期末）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得 枚银牌． 【答案】27 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌，然后根据三种奖牌的总和为91枚列方程求解即可． 【规范解答】解：设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌， 由题意可得：，解得：． 所以中国体育代表团在本届奥运会获得27枚银牌． 故答案为：27． 题型11 日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 【答案】(1)9，16， (2)不同意，理由见解析 (3)14 【思路引导】本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据月历，找出各数之间的数量关系求解即可； （2）根据各数之间的关系，列出方程然后求解，最后进行比较即可； （3）根据各数之间的关系表示出，然后整理整式即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得， 若，则 ， ； 若，则 ； 故答案为：9，16，； （2）解：不同意，理由如下： 根据题意得，， 解得， 26位于月历的最右边，与的位置不符， ∴5个数字之和不可能为116； （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：14． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的，现在用一个“十”字模型框住了5个数． 观察2025年9月的日历，回答下列问题： (1)若设十字框中间的数为a，求框中的十字框中的5个数的和是多少？ (2)小李一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小李一家几号外出的？ (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由，如果能，请求出十字框中间的数． 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是 (2)小李一家13号外出的 (3)这5个数的和不能为100，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据各数之间的关系，用含a的代数式表示出5个数之和； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【规范解答】（1）解：若设十字框中间的数为a，则另外4个数分别是，，，， ∴带阴影的十字框中的5个数的和是 ； 答：框中的十字框中的5个数的和是． （2）设小李一家x号外出的，则另外4天的日期分别是，，，， 根据题意得：， 解得：． 答：小李一家13号外出的； （3）这5个数的和不能为100，理由如下： 假设这5个数的和能为100，根据题意得：， 解得：， 又∵20号这天为周六，不能作为中间数， ∴假设不成立， 即这5个数的和不能为100． 题型12 古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·天津和平·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 【规范解答】解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 【答案】60人 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设妇人家中来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了只碗，列方程求解，即可得出结论． 【规范解答】解：设妇人家中来了位客人， 则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗， 依题意，得， 解得． 故妇人家中来了位客人． 题型13 配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·河南周口·期中）列方程解应用题 某车间有30名工人，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个．若要使每天生产的甲、乙两种零件按配套，应安排多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件？ 【答案】应安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用－配套问题． 设安排x人生产甲种零件，则人生产乙种零件，则每天生产甲种零件个，乙种零件个，根据甲、乙两种零件按配套列方程求解即可． 【规范解答】解：设安排x人生产甲种零件，则人生产乙种零件， ∵每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个， ∴每天生产甲种零件个，乙种零件个， ∵甲、乙两种零件按配套， ∴， 解得：， 即安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 【变式】服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 【答案】(1) (2)九二折 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，打折销售，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子，根据“一件上衣和一条裤子为一套”为等量关系列方程求解即可； （2）先计算出销售总额，再计算销售单价，然后求折扣率即可． 【规范解答】（1）解：设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子， ， 解得， 米， 答：用400米的布料做上衣，160米的布料做裤子； （2）解：套， 成本：元， 销售额：元， 单价：元， ， 答：商场计划打九二折出售． 题型14 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·云南昭通·月考）【实际情境与方程思想】 为庆祝元旦，七年级某班准备购买一些文具作为联欢会的奖品．已知购买5个笔记本和3支钢笔共需100元；购买3个笔记本和4支钢笔共需104元． (1)求每个笔记本和每支钢笔的单价； (2)班主任拿出200元班费让班长去购买这些奖品．要求笔记本和钢笔总共购买20件，并且钱恰好用完．请问有几种购买方案？请具体列出． 【答案】(1)每个笔记本8元，每支钢笔20元 (2)在总数为20件且恰好用完200元的条件下，没有符合条件的购买方案 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每个笔记本a元，每支钢笔元，然后根据题意可得，进而求解即可； （2）设购买笔记本x个，则购买钢笔支，由（1）可得方程，然后进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设每个笔记本a元，每支钢笔元．根据题意得： ， 解得：， ∴； 答：每个笔记本8元，每支钢笔20元． （2）解：设购买笔记本x个，则购买钢笔支． 根据题意得：， 解得：； 因为x必须为非负整数，且也为非负整数，所以此方程没有符合条件的整数解． 答：在总数为20件且恰好用完200元的条件下，没有符合条件的购买方案． 【变式】（25-26八年级上·四川成都·月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【思路引导】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答； （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【规范解答】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【规范解答】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、， 所以这五个数的和为， A．若，解得，此时左上数字为空，不符合题意； B．若，解得，不符合题意； C．若，解得，不符合题意； D．若，解得，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 【答案】C 【思路引导】本题考查的是一元一次方程的应用，元表示八折销售时的成本，元表示六折销售时的成本，依据成本不变列出方程. 【规范解答】解：设标价为x元，则按八折销售成本为元，按六折销售成本为元， ∵成本不变， ∴. 故选：C 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）数轴上有三点A，B，C，其中点A，B分别表示数，，现以点C为折点将数轴向右折叠（如图所示），若点A的对应点A'落在数轴上，且与B之间的距离是2，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．设点C表示的数是x，根据题意可得：，，然后分两种情况：当点落在点B的左侧时；当点落在点B的右侧时；分别进行计算即可解答． 【规范解答】解：设点C表示的数是x， 由题意得：，， 分两种情况： 当点落在点B的左侧时，如图： ∵， ∴， 由题意得：， ∴， 解得：， ∴点C表示的数是； 当点落在点B的右侧时，如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点C表示的数是； 综上所述：点C表示的数是或； 故选：D． 4．（23-24七年级上·安徽·期末）我市对城区某主干道进行绿化，计划在此公路的一侧全部栽上“市树”——樟树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设原有树苗x棵，由栽树问题栽树的棵数分得的段数，可以表示出路的长度，由路的长度相等建立方程即可． 【规范解答】解：设原有树苗x棵，则路的长度为米， 由题意，得， 故选：B． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定答案，再同法求解即可． 【规范解答】解： ；故甲运算正确； ∵嘉嘉不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 而； ∴错误的符合一定是把“”错写成“” 设写错符号的数为， ∴， 解得， ∴写错符号的数为，故乙错误；丙正确； ∵ ，故丁正确； 故选：C 6．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒．如图，长方形中，，，小郑沿将长方形分成两部分，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ． 【答案】48 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的实际应用，图形的折叠与剪拼，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键． 设，则，根据，，列出方程，即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：， 即，， ∴该纸盒的体积是． 故答案为：48． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费32元，则该职工这个月实际用水为 立方米． 【答案】13 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．根据水费等量关系，可得一元一次方程，根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案． 【规范解答】解：设该职工这个月实际用水x立方米，根据题意得 ， 解得， 故答案为：13． 8．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点是线段上一点，且，点是的中点，，那么的长为 ． 【答案】18 【思路引导】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，设，则，由中点定义得，由列方程求得x值即可解答． 【规范解答】解：设，则， ∵点是的中点， ∴，又， 由得 解得 ∴， 故答案为：18． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【规范解答】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    【答案】或 【思路引导】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在上，即时，由列方程求解即可；如图3，当点P在上，即时，由列方程求解即可． 【规范解答】解：如图1，当点P在上，即时，    ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图2，当点P在上，即时，    ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去）； 当点P在上，即时，，    ∴，解得：． 综上所述，当的值为或时的面积会等于24． 故答案为：或． 【考点剖析】本题主要考查了一元一次方程的运用、三角形面积公式的运用、梯形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 11．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）张村有一块试验田种水稻，今年换种新品种后，产量是千克，今年产量比去年增产三成，去年的产量是多少千克？ 【答案】 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，具体涉及到利用成数与百分数的转换(“三成”转化为)，以及已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数的数量关系(今年产量去年产量(增产成数对应的百分数)，设去年的产量为千克，根据题意列方程． 【规范解答】解：设去年的产量为千克， 根据题意，今年的产量为: 解得: 答：去年的产量是千克． 12．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【思路引导】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【规范解答】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 13．国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【规范解答】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 14．（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【答案】(1)150 (2)180度，108元 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）先判断200是否大于a，再根据计费规则列一元一次方程，即可求解； （2）设6月份共用电x度，则电费为元，根据计费规则列一元一次方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意可得：经验算：若，则， ∴，即有超过的部分， ∴， 解得：； （2）解：设6月份共用电x度， 则， 解得：， （元）， 即月份共用电180度，应交电费108元． 15．（25-26七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点所表示的数分别为a和b，则有： ①两点的中点表示的数为； ②两点之间的距离；若，则可简化为；若，则可简化为； 【解决问题】数轴上两点所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出：________；________；________． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】 （1）；8；10 （2）存在；点P对应的数为0或16． （3）在运动过程中，的值不变，理由见解析 【思路引导】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点间距离公式与中点公式，非负性的性质，多项式的概念，一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据已知条件表示出点在数轴上表示的数． （1）根据非负性的性质即可求解a与b的值，再由数轴上两点间距离公式求解即可． （2）先求解出c的值，再根据，可确定点P可能在点A与点B之间，或点P可能在点B在右侧，列式求解即可． （3）设运动时间为t，先根据点的运动速度求出对应点在数轴上表示的数，再由中点坐标公式表示出对应点在数轴上表示的数，根据数轴上两点间距离公式分别表示，与即可． 【规范解答】解：【解决问题】 （1）∵，，， ∴，， 解得，； ∴数轴上两点所表示的数分别为和8， ∴． 故答案为：；8；10． （2）存在，点P对应的数为0或16． ∵多项式是三次四项式， ∴，解得， ∴点C在数轴上对应的数是， 设点P对应的数是p， ∵， 当点P在点A与点B之间时， ，，， ∴，解得； 当点P在点B的右侧时， ，，， ∴，解得； ∴存在点P，使，点P对应的数为0或16． 【数学思考】 （3）在运动过程中，的值不变．理由如下： 设运动时间为t， ∵点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动， ∴点E在数轴上表示的数为， ∵点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动， ∴点M在数轴上表示的数为， ∵点N从点B出发以每秒10个单位的速度向右运动， ∴点N在数轴上表示的数为， ∵点分别为的中点， ∴点P在数轴上表示的数为， 点Q在数轴上表示的数为， ∴，，， ∴， ∴在运动过程中，的值不变． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $