核心5 指数与指数函数【练】小题狂练（实战高考）大二轮

核心5 指数函数与对数函数 （25-26高三·云南昭通·一模） 1. 已知，若，，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解. 【详解】由，得，由，得， 则，即，又，因此，即，解得， 所以. 故选：A 2. 已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值. 【详解】函数，则 ，因此函数的图象关于点对称， 函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增， 则，而，所以. 故选：B （25-26高三·湖北武汉·一模） 3. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，即可判断的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，解得即可. 【详解】设，则， 且，为减函数， 若函数在区间上是减函数， 则需是增函数且时恒成立， ，解得，即的取值范围是. 故选：D. 4. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 【答案】CD 【解析】 【分析】将方程有根问题转化为函数交点问题，在结合图象建立不等式，求解参数值即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象， 由，可得. 由图可知，与有且两个不同的交点， 即方程有两个不等的实根， 而方程有三个不等的实根 得到方程有且只有一个实根， 即与有且只有一个交点， 故或，解得或. 故选：CD. （25-26高三·北京·期中） 5. 如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（ ） A. B. C. 对任意正数k和，有 D. 对任意正数k和，有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义中运算律和及逐项计算分析即可得解. 【详解】，故A正确； ， ， ，故B错误； 对任意正数k和，因为， ，所以，故C正确； 对任意正数k和，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD （25-26高三·山东日照·期中） 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）可由公式（k为正常数）求得．若，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为______min． 【答案】3 【解析】 【分析】将，，，，代入公式，得到，解方程即可得解. 【详解】将，，，, 代入，得， 所以，所以，所以，即min. 故答案： 2025年12月15日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 （25-26高三·广东佛山·一模） 7. 函数的最大值和最小值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用定义判断其为奇函数，再由奇函数的对称性可得. 【详解】由题意，令， 可知函数的定义域为，且， 故函数为奇函数， 根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为， 即， 故． 故选：B． （25-26高三·江西吉安·期中） 8. 已知函数的定义域是，对于给定的正数，定义函数；设，若，则函数的递增区间是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性解不等式、，画出的图象即可求出. 【详解】因，易得， 由，得，解得或； 由，得，解得， 根据题意可得函数， 其图象如图： 故函数的递增区间是． 故选：B 9. 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C （25-26高三·湖北宜昌·月考） 10. 对数函数与的图象如图所示，过原点O的直线交的图象于A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线交于C，D两点，交x轴于M，N两点则（ ） A. B. C. O，C，D三点共线 D. 当轴时，点A坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数和运算性质得到，用均值不等式，可判断AB；设，，由，得， ，由可判断C； 因为轴， 联列方程组，得，求出后可判断D. 【详解】设，因为轴，且在上，在轴上. 根据对数换底公式，点纵坐标为，点纵坐标为，点纵坐标为.得点B是DN的中点，所以，故A正确. ，当且仅当时取得等号，显然等号取不到，故B错误； 设，．过原点O直线交的图象， 于A，B两点，且轴，所以， 所以，即，所以，即， 所以，又∵轴，所以， 所以O，C，D三点共线，故C正确； 因为轴(已知条件)，所以，则， 联列方程组，消去可得：，即， 由图象可知：，所以，解得：， 此时，，所以点A坐标为，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在R上单调递减 C. D. 或 【答案】AC 【解析】 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错. 故选：AC （25-26高三·江苏南京·期中） 12. 已知函数满足对于任意的，恒有成立，且，则集合中最小的元素为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再解对数方程即可得答案. 【详解】解：已知对任意，恒有，且， 故， 显然，当时，无解， 当时，无解， 所以有，即， 故当时，由，解得， 所以集合中最小的元素为. 故答案为：. 2025年12月15日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 （25-26·陕西安康·一模） 13. 若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，从而得到， 再利用函数的单调性求出的值域为，比较端点值，列出不等式组， 求出m的最小值. 【详解】因为，所以，则为对勾函数， 在处取得最小值，， 又因为，， 所以． 由，得． 又函数在上单调递增，则的值域为， 即的值域为， 则，解得． 所以m的最小值为. 故选：B （25-26高三·福建泉州·期中） 14. 双曲函数是数学中一类重要函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中e为自然对数的底数，），双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. ，则 C. 对任意的，存在唯一的，使 D. ，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，B错； 对于C选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为， 由B知函数为上的增函数， 所以对任意的，存在唯一的，使， C对； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ACD. （25-26高三·江苏无锡·期中） 15. 对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”.设为其定义域上的“函数”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得：在上有解，即可转化为： 在上有解，且在上恒成立，转化为的值域且，问题得解 【详解】解：由函数为“函数”的定义可得：在上有解. 即：在上有解 则在上有解，且在上恒成立 即：在上有解，且在上恒成立 记，由于函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且 所以 所以，即：，解得： 又在上恒成立，由对勾函数性质得在上单调递增， 所以，解得： 综上所述：实数的取值范围是 故答案为: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 核心5 指数函数与对数函数 （25-26高三·云南昭通·一模） 1. 已知，若，，则（ ） A 8 B. 6 C. 4 D. 2 2. 已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （25-26高三·湖北武汉·一模） 3. 函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数若方程有三个不等的实根，则整数的可能取值是（　　） A. B. C. 8 D. 16 （25-26高三·北京·期中） 5. 如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（ ） A B. C. 对任意正数k和，有 D. 对任意正数k和，有 （25-26高三·山东日照·期中） 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）可由公式（k为正常数）求得．若，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为______min． 2025年12月15日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 （25-26高三·广东佛山·一模） 7. 函数的最大值和最小值之和为（ ） A. B. C. D. （25-26高三·江西吉安·期中） 8. 已知函数的定义域是，对于给定的正数，定义函数；设，若，则函数的递增区间是 （ ） A. B. C D. 9. 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 （25-26高三·湖北宜昌·月考） 10. 对数函数与的图象如图所示，过原点O的直线交的图象于A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线交于C，D两点，交x轴于M，N两点则（ ） A. B. C. O，C，D三点共线 D. 当轴时，点A坐标为 11. 已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在R上单调递减 C. D. 或 （25-26高三·江苏南京·期中） 12. 已知函数满足对于任意的，恒有成立，且，则集合中最小的元素为____________. 2025年12月15日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 （25-26·陕西安康·一模） 13. 若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（ ） A. B. C. D. （25-26高三·福建泉州·期中） 14. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中e为自然对数的底数，），双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. ，则 C. 对任意的，存在唯一的，使 D ，则 （25-26高三·江苏无锡·期中） 15. 对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”.设为其定义域上的“函数”，则实数的取值范围是___________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $