专题突破(五) 圆锥曲线的综合问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1．圆锥曲线中最值、范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 2．圆锥曲线中的定点、定值问题 解决此类问题的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值或者某个点坐标，就是要求的定值或者定点．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值或定点． 3．解析几何中的探索性证明问题 探索性问题常出现在压轴题中，常见的方法是先假设目标存在，然后进行推理论证，检验说明假设是否正确，得出结论． 考向一　最值、范围问题 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知B，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围． 解：(1)∵a＝1，＝2， ∴c＝2，b2＝3， ∴双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)， 联立 得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 则 即 由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1·x2＝－， 则x0＝＝， y0＝kx0＋m＝， ∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN， ∴kBQ＝＝＝－， ∴3－k2＝m， ∴k2＝3－m>0　③， 由①②③得m<－或0<m<. 类题通法 圆锥曲线中最值与范围的两种求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)求·的取值范围． 解：(1)由题意知e＝＝， 所以e2＝＝＝，所以a2＝b2， 因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)， 所以b＝，所以a2＝4， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)， 则·＝－4； 当直线l的倾斜角不为0°时， 设其方程为x＝my＋4(m≠0)， 由得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4， 设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2). 因为y1＋y2＝－，y1y2＝， 所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4， 因为m2>4， 所以·∈. 综上所述，·的取值范围为. 考向二　定值与定点问题 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为，且点M的纵坐标为2. (1)求抛物线C的方程和点M的坐标； (2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且MA⊥MB，证明直线l过定点． 解：(1)设M(x0，2)，则 解得∴抛物线C：y2＝2x，M(2，2). (2)由题意知，直线l的斜率不为零， 可设l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－2my－2n＝0， 则Δ＝4m2＋8n>0，即m2＋2n>0， 所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n. kMA＝＝＝， 同理kMB＝， 又MA⊥MB， 所以kMA·kMB＝ ＝＝＝－1， 则n＝2m＋4(此时m2＋2n＝m2＋4m＋8＝(m＋2)2＋4>0成立)， ∴直线l：x＝my＋2m＋4＝m(y＋2)＋4， 当y＝－2时，x＝4，∴直线l恒过定点(4，－2). 类题通法 解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值． 证明：∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合， 则＝，此时λ＝1，μ＝0， ∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1. 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)， ∴ ①－②得＋＝0， 即＝－＝－， 又∵kAB＝＝1， ∴y0＝－x0. ∴直线ON的方向向量为＝， ∵∥a， ∴＝.∴a2＝3b2， ∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2， 设椭圆右焦点为F(c，0)， ∴直线方程为y＝x－c. 由 消y得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0. ∴x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2. 设M(x，y)，则由＝λ＋μ， 得 代入椭圆方程整理得λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. 又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2， x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值． 考向三　探究与证明问题 试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等？若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只需AP⊥MN即可． 由消y得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)， 则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝， ∴kAP＝. ∵AP⊥MN，∴＝－， 故m＝－. 由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1<k<1且k≠0. 故当k∈(－1，0)∪(0，1)时，存在满足条件的直线l. 类题通法 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为点M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 由得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0， ∴xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝. ∴直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9. 即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值－9. (2)四边形OAPB能为平行四边形． ∵直线l过点，∴k≠3， 由(1)得OM的方程为y＝－x. 设点P的横坐标为xP， 由 得x＝，即xP＝. 将点的坐标代入直线l的方程得b＝， 因此xM＝. 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM， ∴＝2×. 解得k1＝4－，k2＝4＋， 经检验，满足Δ>0， ∵k≠3，∴当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形． 1．一动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且该动圆恒与直线y＋4＝0相切，则动圆必经过的定点为(　　 ) A．(0，4) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，2) 解析：选A．由抛物线x2＝16y，得准线方程为y＝－4，焦点坐标为(0，4)， ∵动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且动圆恒与直线y＝－4相切， 由抛物线的定义知|MF|＝|MK|， 如图所示，即动圆必经过定点F(0，4). 2．AB为过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为(　　 ) A．b2 B．ab C．ac D．bc 解析：选D．由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·|yB|，故当|yB|＝b时，△AFB面积最大，最大面积为bc. 3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　 ) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) 解析：选A．因为F1，F2，－y＝1，所以·＝·＝x＋y－3＜0，即3y－1＜0， 解得－＜y0＜. 4．已知点P为直线l：x＝－2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px(p＞0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝________． 解析：不妨设P(－2，0)， 过P的切线方程设为y＝k(x＋2)， 代入抛物线方程y2＝2px(p＞0)， 得k2x2＋(4k2－2p)x＋4k2＝0， 又k≠0，故x1x2＝4. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $