圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题期末培优复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学圆锥曲线复习讲义围绕“定点、定值、定直线”三大核心问题构建知识体系，通过表格对比不同问题的解题方法，用思维导图梳理“问题类型-方法策略-解题步骤”逻辑链，清晰呈现韦达定理应用、参变分离等重难点的内在联系。 讲义亮点在于例题与变式训练的分层设计，如椭圆中直线过定点证明、抛物线焦点弦定值计算等题型，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念）。基础题巩固方法，综合题提升探究能力，助力教师实施精准分层教学。

圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题期末培优复习讲义 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题期末培优复习讲义 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 【知识点解析】 1.直线过定点问题 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 2.以圆锥曲线为背景的直线过定点问题：设直线法 （1）设所求直线为或，交点为，. （2）将所设直线与圆的方程联立，得到一个关于或的二次方程. （3）列出韦达定理. （4）翻译题目条件，将韦达定理代入. （5）化简得到与的关系或与的关系，代入原解析式，找出定点. （6）当设直线为时，需检验斜率不存在时是否成立；当设直线为时，需检验斜率为0时是否成立. 3. 以圆锥曲线为背景的直线过定点问题：设点法 （1）设与所求直线相关的直线方程，联立得韦达定理. （2）翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标. （3）用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 4. 以圆锥曲线为背景的直线过定点问题：相交弦法 过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点. （1）求出以、中点为圆心，为半径的的方程. （2）根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程. （3）令直线方程中参数项的自变量为，解方程得定点. 5. 圆过定点问题的两个处理思路 思路一：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 思路二：参变分离，设圆的方程，翻译条件消元，原方程化为的形式，进而令且，解方程组求得定点. 6.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 7.双十字相乘法 对于二元二次方程，可尝试使用双十字相乘法进行因式分解. （1）对、、进行分解，找到整数满足、、. （2）对、、、、、进行调整，使得. （3）. （4）若缺项，则该项系数为0. （5）若双十字相乘法失效，也可用分组分解法进行因式分解. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·江苏·月考）已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)求椭圆方程； (2)求证：直线过定点； (3)弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，则， ，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）连接，设，，而，， 因为，所以， 则， 因为，所以， 设直线的方程为， 则，得， ， ，， 则， 化简可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以直线的方程为，故恒过定点； （3）因为，所以， 设直线的方程为，即， 则，得，故， 则到的距离为， 到的距离为， 且与异号， 故， 所以 ， 由（2）可知， 所以， 所以且， 所以的取值范围为. 例2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C的左顶点为E，动直线l与曲线C交于P，Q两点. （i）设直线的斜率分别为，，且满足 ，证明直线l恒过定点； （ii）若直线l经过点，点在第一象限，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形的面积为? 若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；（ii）存在，两条 【详解】（1）因为， 由椭圆的定义可知M的轨迹C是F1，F2为焦点的椭圆， 设C的方程为 根据题意，解得， ∴C的方程为； （2）如图， （i）由，设直线：，，， 直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足， 联立，得. ， ，， ， 即. 化简可得：，解得：，则直线过定点. （ii）满足题意的直线条数有两条， 证明如下：由题意可知直线PQ的斜率不为0， 设，，，不妨令，， 联立，可得 ， 因为四边形的面积为， 所以， 因为，代入①可得，， 代入②式可得， 所以， 即或， 令，则， 令因为恒成立，所以，即在单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知：所以在上有唯一零点， 综上所述，满足题意的直线l有两条. 例3．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 例4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，且. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线：与椭圆交于，两点（，两点均异于点）. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若，证明：经过，，的圆经过两个定点. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见详解 【详解】（1）由题，可得，，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设，， 由，消去整理得， 则， ，， 因为，所以， 所以，即， ， ， 所以，整理得， ，解得或， 当时，直线过点，不合题意； 当时，满足，合题意； 故的值为.    （ii）设经过的圆的方程为， 因为，所以，则， 故圆的方程为， 联立，消去整理得，， 则，， 由（i），当时，，， 所以，， ，，则， 当时，联立，解得或，此时中的一点与点重合，不合题意，舍去； 故，则，， 所以圆的方程为， 整理得， 令，整理得，解得或， 所以或， 所以经过的圆经过两个定点，. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知椭圆，左右焦点为，，满足以下条件： ①离心率； ②椭圆上存在点，使得，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，，是椭圆上不与，重合的点： （i）证明一般性结论：在椭圆中，（不必将，的值代入）； （ii）若，，且，证明:当直线斜率不为0时恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点 【详解】（1）解：由离心率，得 设，，由椭圆定义知 由三角形面积，得 由余弦定理：， 结合，解得，， 因此，椭圆的标准方程为 （2）证明：（i）设， 因为、关于原点对称，所以； 设，且、、均在椭圆上，满足 两式相减并因式分解： 由斜率定义，，，因此 （ii）由（i）知，则，又，故 设，，因为直线斜率不为0，故可设直线. 联立椭圆方程，得. ，即 由韦达定理，， 由以及，得， 将、代入后化简得： 代入韦达定理结果，展开化简得， 解得或 因点，不与点，重合，故舍去，而时，即符合题意， 故直线，恒过定点 变式2．（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直， 所以双曲线的一条渐近线方程为，即， 则， ，由对称性可知，到的一条渐近线的距离为， 所以，解得， 所以， 故的标准方程为. （2）证明：由（1）可知，， ①当直线的斜率存在时，设方程为，， 由，整理得， 则， 得， 由得，，即， 由，则， 所以， 则 即， 所以， 整理得， 所以， 解得或， 若时，直线的方程为， 即，则直线过定点，不合题意，舍去； 若时，直线的方程为，即，则直线过定点. 当直线过定点， ②当斜率不存在时，， 得，故直线，满足题意. 综上可知，直线恒过定点. 变式3．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知圆，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，证明：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求出的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，. 【详解】（1）因为的垂直平分线交于点，所以， 则， 由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴为的椭圆，可设方程为， 所以，，所以， 所以点的轨迹方程为：. （2）假设存在满足题意，当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，， 联立，化为，易知恒成立， 所以①，②， 由题可知， 将①②代入可得：， 即， 所以，解得， 所以在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点， 当直线的斜率不存在时，直线为，与椭圆联立，解得， 所以以为直径的圆为：， 点在圆上，即以为直径的圆恒过轴上的定点. 综上所述，过点的动直线交曲线于两点，且以为直径的圆恒过轴上的定点． 考点二 定值问题 【知识点解析】 1.常见的距离公式 ①两点之间的距离问题：已知点，则线段的长度 ②点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离. ③平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离. 2.弦长问题 （1）两点之间的距离公式求弦长 （2）弦长公式求弦长 若点、在直线上： ① ② 若点、在直线上，则 （3）圆的弦长公式 若直线与圆相交于、两点，则.其中为圆的半径，为圆的圆心到直线的距离. （4）抛物线的焦点弦问题 已知抛物线于过抛物线焦点直线相交于、两点 ①若抛物线开口向右或向左， . ②若抛物线开口向上或向下， . 3.面积问题 （1）三角形的面积 ①公式法求面积：. 为的的边长，为顶点到底边的距离，可用点到直线的距离公式求出. ②铅垂法求面积 过点作轴的垂线交于点，则. 过点作轴的垂线交于点，则. ③正弦定理求面积 由正弦定理得. （2）四边形的面积 ①割补法求面积：连接四边形对角线，将四边形分为两个三角形，进而利用三角形的面积进行求解. ②特殊平行四边形的面积 矩形的面积=长×宽. 菱形的面积=底×高=对角线长度×对角线长度. 正方形面积=边长×边长=对角线长度×对角线长度. ③对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度×对角线长度. 4.根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质 （1）设点是椭圆上一定点，点、是椭圆上不同于的两点. 若,则时直线斜率为定值，若,则直线过定点. （2）设点是双曲线一定点，点、是双曲线上不同于的两点. 若,则时直线斜率为定值，若,则直线过定点； （3）设点是抛物线一定点，点、是抛物线上不同于的两点. 若,则时直线斜率为定值,若,则直线过定点. （4）若点在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明. 5.根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质 若点、是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上与、不重合的点，则； 若点、是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上与、不重合的点,则. 6.与角度有关的定值问题 （1）若已知,可转化为，或者，或者勾股定理； （2）若已知角的三角函数值，可转化为正弦定理、余弦定理、或者利用坐标直接表示三角函数值； （3）若已知，、分别为直线、的倾斜角，则； （4）若已知，且、相邻，可转化为（1），若不相邻，可转化为三角函数值，. 7.已知角度相等或证明角度相等 （1）几何法： ①若=且关于坐标轴对称，、则直线、的倾斜角互补，； ②若=且落在同一三角形中，可证明、的线段相等； ③转化为其他几何条件，如直线平行，向量平行； （2）代数法：若=，则. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）设，依题意，，两边平方并整理，得， 所以曲线C的方程为. （2）设， 依题意，设直线l的方程为， 由消去y并整理，得， 则， 则， 由（1）知，， 若直线l交曲线C于M，N两点，且，则直线l与相交， 由消去y并整理，得， 则， 于是， 从而， 要使为定值，则，即， 则实数λ的值为. 例2．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 【答案】(1) (2)定点，定值1 【详解】（1）解：由原点到直线的距离， 因为以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切，所以， 又因为双曲线的焦距为4，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）解：法一：假设存在点满足条件， ①当直线方程为时，则， 所以； ②当直线方程不是时，可设直线， 联立方程组，整理得， 由，即，可得， 设，则， 所以， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 法二：当直线不垂直轴时，设， 联立方程组，整理得， 由，可得， 设，可得， 则， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 当直线轴时，，联立方程组，解得， 可得，且， 所以； 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 例3．（2025·陕西汉中·一模）已知抛物线的焦点为F，点在C上，，斜率为的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由抛物线的定义可得， 解得，所以抛物线方程为：； （2）设，直线的方程为， 则消去可得， 故，则， 所以， 则， 解得，检验符合题意， 故直线的方程为； （3）证明：因为点在抛物线上，所以或（舍），故， 由（2）可得， 所以， 因为，所以， 即为定值. 例4．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的离心率为，虚半轴长为． (1)求双曲线的方程． (2)过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值． (3)已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，使为定值 【详解】（1）因为虚半轴长为，所以. 因为离心率为，所以， 因为，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示 双曲线的渐近线方程为， 双曲线上一点到渐近线的距离之积为， 因为，所以，即为定值． （3）如图所示 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由，联立可得， 则， 又根据韦达定理可得， 直线的方程为， 令，则，得，同理得， 由，可得， 所以 ， 整理得， 当时，，此时直线的方程为， 直线过点，与矛盾，舍去； 当时，直线的方程为，恒过定点， 设的中点为，则，因为， 所以，为定值，故存在，使为定值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东青岛·月考）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆，椭圆与的焦点在同一坐标轴上，且经过点，并与椭圆相似. (1)求椭圆的方程. (2)若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求证：的面积是定值. (3)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（S在的上方）.是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为，底边长为， 那么两个“特征三角形”相似比即两椭圆的长半轴长之比或者焦距之比，从而这两个椭圆的离心率相等. 由椭圆的离心率为， 可知过点且与椭圆相似的椭圆的离心率， 设所求椭圆为，代入点得： 又由，可得，② 联立两式解得：， 所以所求椭圆方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，又与椭圆相切，则切线方程为， 由对称性不妨取，代入椭圆，可得两交点坐标为， 此时，故； 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，代入椭圆， 消去，可得， 因直线与椭圆相切，可得：，整理得. 再将代入，消去，可得， 整理得，因， 将代入，化简得， 设，则， 故 ， 将代入上式，化简得， 又点到直线的距离为， 则为定值. （3）假设直线存在；设直线的方程为：，且. 由消去，可得，则有， 又由消去，可得，则有， 可得，即中点的横坐标相同， 又因为四点共线，所以的中点即为的中点， 因，则，化简得（*）， 因， ， 代入（*），可得，化简得，解得，符合题意. 故存在直线满足条件. 变式2．（25-26高二上·江西上饶·期中）已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 变式3．（25-26高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； （3）由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 变式4．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和． (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值； (3)若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：过 ； （2）设，则，， 则， 两式作差可得， 所以； （3）①当直线斜率不存在时，则直线的方程为， 根据对称性，取直线的方程为， 则，解得，即， 此时； ②当直线斜率不存在时，直线的方程为， 同理可得； ③当直线斜率存在时，设直线的方程为， ， 因为 所以， 在椭圆上， 所以，即， 设到直线的距离为，则， ， 所以. 考点三 定直线问题 【知识点解析】 1.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 2.定直线问题处理思路 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）根据题意可得， 化简得， 即的方程为. （2）①解：由，得. 由， 解得，所以的取值范围为. ②证明：（方法一）由①中，得. 设直线被截得的线段的中点坐标为， 则，. 由，消去可得， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. （方法二）设直线与交于，两点. 设，，线段的中点坐标为， 则直线的斜率为，，. 因为点，在上，所以， 两式相减得， 化简得， 即， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. 例2．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由短轴长为，得， 由离心率为，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为：，，而， 由消去得：， ， 则，， 又直线的方程为：，即， 又直线的方程为：，即， 由，得， 所以当点运动时，点恒在定直线上.    例3．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由双曲线 的右焦点为 ，得 ， 即 ， 过 垂直于 轴的弦长为 6， 可得点在双曲线上，即 ， 联立，解方程组得：， 故双曲线 的方程为 （2）由（1）知双曲线 ，右焦点 ， 左顶点 ，右顶点 ， 设过 的直线方程为 （）， 代入双曲线方程得 整理得 设 ，，则 是上述方程的两个实根， 且 直线 的方程为， 直线 的方程为， 两式相除得， 代入 ， 计算： 由韦达定理，，代入得 ， 利用 ，解得 ， 代入得：， 因此 ，解得 ， 即 ，. 故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上. 例4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，在抛物线上且到焦点的距离为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线方程为 ，根据抛物线的定义得，解得， 抛物线方程为 ，由题设，令，则， 即， 所以，故或； （2）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为， 即，故， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，，则，， 消去得，显然点在直线，即上，得证. 变式2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、， 联立可得， ，因为，可得， 由韦达定理可得，， ， 整理可得，解得或（舍去）， 因此，抛物线的方程为. （2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合， 设直线的方程为，联立可得， 则可得， 设点、，由韦达定理可得， 设直线的方程为，设点、，同理可得， 直线的方程为，即， 化简可得， 同理可知，直线的方程为， 因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，    交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可， 由，消去， 因为直线与相交，则， 解得 ， 所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上. 变式3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知椭圆的离心率为，即， 则； 又， 联立解得， 故椭圆C的方程为； （2）证明：由（1）知，设， 结合题意知直线与斜率存在，设方程为，方程为， 联立，得，， 则，故，则； 联立，得，， 故，则， 由题意知，M，N三点共线且MN斜率存在，故， 故，化简得， 若，则，此时， 则重合（直线和x轴不平行且不和点重合），不合题意； 故， 则方程为，方程为，联立解得， 即直线与的交点横坐标为，故直线与的交点在一条定直线上. 变式4．（24-25高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知椭圆E：经过点，右焦点为． (1)求E的标准方程； (2)已知A，B分别为E的上顶点和下顶点，过点且斜率存在的直线l与E交于C、D两点，证明：直线AC与直线BD的交点M在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆E：经过点，右焦点为 所以，解得，， 椭圆E的标准方程为：． （2）设直线，记，， 联立直线和椭圆方程， 化简整理得，， 恒成立， 由韦达定理得，， 记、，， 因为直线：，：， 所以， 两式相除，得 ， 解得， 所以直线与直线的交点M在定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题期末培优复习讲义 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题期末培优复习讲义 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 【知识点解析】 1.直线过定点问题 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 2.以圆锥曲线为背景的直线过定点问题：设直线法 （1）设所求直线为或，交点为，. （2）将所设直线与圆的方程联立，得到一个关于或的二次方程. （3）列出韦达定理. （4）翻译题目条件，将韦达定理代入. （5）化简得到与的关系或与的关系，代入原解析式，找出定点. （6）当设直线为时，需检验斜率不存在时是否成立；当设直线为时，需检验斜率为0时是否成立. 3. 以圆锥曲线为背景的直线过定点问题：设点法 （1）设与所求直线相关的直线方程，联立得韦达定理. （2）翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标. （3）用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 4. 以圆锥曲线为背景的直线过定点问题：相交弦法 过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点. （1）求出以、中点为圆心，为半径的的方程. （2）根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程. （3）令直线方程中参数项的自变量为，解方程得定点. 5. 圆过定点问题的两个处理思路 思路一：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 思路二：参变分离，设圆的方程，翻译条件消元，原方程化为的形式，进而令且，解方程组求得定点. 6.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 7.双十字相乘法 对于二元二次方程，可尝试使用双十字相乘法进行因式分解. （1）对、、进行分解，找到整数满足、、. （2）对、、、、、进行调整，使得. （3）. （4）若缺项，则该项系数为0. （5）若双十字相乘法失效，也可用分组分解法进行因式分解. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·江苏·月考）已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)求椭圆方程； (2)求证：直线过定点； (3)弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 例2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足.记M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C的左顶点为E，动直线l与曲线C交于P，Q两点. （i）设直线的斜率分别为，，且满足 ，证明直线l恒过定点； （ii）若直线l经过点，点在第一象限，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形的面积为? 若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 例4．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，且. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线：与椭圆交于，两点（，两点均异于点）. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若，证明：经过，，的圆经过两个定点. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知椭圆，左右焦点为，，满足以下条件： ①离心率； ②椭圆上存在点，使得，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，，是椭圆上不与，重合的点： （i）证明一般性结论：在椭圆中，（不必将，的值代入）； （ii）若，，且，证明:当直线斜率不为0时恒过定点，并求出该定点坐标. 变式2．（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 变式3．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知圆，点，点在圆上运动的垂直平分线交于点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，证明：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求出的坐标． 考点二 定值问题 【知识点解析】 1.常见的距离公式 ①两点之间的距离问题：已知点，则线段的长度 ②点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离. ③平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离. 2.弦长问题 （1）两点之间的距离公式求弦长 （2）弦长公式求弦长 若点、在直线上： ① ② 若点、在直线上，则 （3）圆的弦长公式 若直线与圆相交于、两点，则.其中为圆的半径，为圆的圆心到直线的距离. （4）抛物线的焦点弦问题 已知抛物线于过抛物线焦点直线相交于、两点 ①若抛物线开口向右或向左， . ②若抛物线开口向上或向下， . 3.面积问题 （1）三角形的面积 ①公式法求面积：. 为的的边长，为顶点到底边的距离，可用点到直线的距离公式求出. ②铅垂法求面积 过点作轴的垂线交于点，则. 过点作轴的垂线交于点，则. ③正弦定理求面积 由正弦定理得. （2）四边形的面积 ①割补法求面积：连接四边形对角线，将四边形分为两个三角形，进而利用三角形的面积进行求解. ②特殊平行四边形的面积 矩形的面积=长×宽. 菱形的面积=底×高=对角线长度×对角线长度. 正方形面积=边长×边长=对角线长度×对角线长度. ③对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度×对角线长度. 4.根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质 （1）设点是椭圆上一定点，点、是椭圆上不同于的两点. 若,则时直线斜率为定值，若,则直线过定点. （2）设点是双曲线一定点，点、是双曲线上不同于的两点. 若,则时直线斜率为定值，若,则直线过定点； （3）设点是抛物线一定点，点、是抛物线上不同于的两点. 若,则时直线斜率为定值,若,则直线过定点. （4）若点在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明. 5.根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质 若点、是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上与、不重合的点，则； 若点、是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上与、不重合的点,则. 6.与角度有关的定值问题 （1）若已知,可转化为，或者，或者勾股定理； （2）若已知角的三角函数值，可转化为正弦定理、余弦定理、或者利用坐标直接表示三角函数值； （3）若已知，、分别为直线、的倾斜角，则； （4）若已知，且、相邻，可转化为（1），若不相邻，可转化为三角函数值，. 7.已知角度相等或证明角度相等 （1）几何法： ①若=且关于坐标轴对称，、则直线、的倾斜角互补，； ②若=且落在同一三角形中，可证明、的线段相等； ③转化为其他几何条件，如直线平行，向量平行； （2）代数法：若=，则. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值． 例2．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 例3．（2025·陕西汉中·一模）已知抛物线的焦点为F，点在C上，，斜率为的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，证明：为定值． 例4．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的离心率为，虚半轴长为． (1)求双曲线的方程． (2)过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值． (3)已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东青岛·月考）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆，椭圆与的焦点在同一坐标轴上，且经过点，并与椭圆相似. (1)求椭圆的方程. (2)若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求证：的面积是定值. (3)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（S在的上方）.是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·江西上饶·期中）已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 变式3．（25-26高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. (1)求抛物线的标准方程； (2)若的面积为20，求直线的方程； (3)若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 变式4．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和． (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值； (3)若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值． 考点三 定直线问题 【知识点解析】 1.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 2.定直线问题处理思路 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 例2．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 例3．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 例4．（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，在抛物线上且到焦点的距离为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 变式2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 变式3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上. 变式4．（24-25高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知椭圆E：经过点，右焦点为． (1)求E的标准方程； (2)已知A，B分别为E的上顶点和下顶点，过点且斜率存在的直线l与E交于C、D两点，证明：直线AC与直线BD的交点M在定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $