2.5 一元二次方程的根与系数的关系 题型专练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系 题型专练 【题型1】求两根和与积 【典型例题】若方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=(　　) A.-4 B.3 C.− D. 【举一反三1】一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A.x1=-1，x2=2 B.x1=1，x2=-2 C.x1+x2=3 D.x1x2=2 【举一反三2】已知实数a，b满足a2-a-6=0，b2-b-6=0(a≠b)，则a+b=______． 【举一反三3】求下列方程两个根的和与积： （1）x2-3x+2=10； （2）x2+x=5x+6； （3）x2+1=0． 【题型2】利用一元二次方程根与系数关系求代数式或字母系数的值 【典型例题】已知a≥2，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，则(m-1)2+(n-1)2的最小值是(　　) A.6 B.3 C.-3 D.0 【举一反三1】关于x的一元二次方程：x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，则m2()=(　　) A. B.− C.4 D.-4 【举一反三2】设x1，x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则x1+x2=_______，m=_____． 【举一反三3】若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则3x1+3x2-4x1x2的值为_______． 【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2=6-x1x2，求(x1-x2)2+3x1x2-5的值． 【题型3】判别式与根与系数关系的综合 【典型例题】已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足=1，则m的值为(　　) A.-3 B.1 C.-3 或1 D.2 【举一反三1】已知关于x的方程x2-x+1-2m=0的两根分别为x1，x2，且x12+x22=3，则关于x的不等式3-(2m-1)x≤0的解为(　　) A.x≤ B.x＜ C.x≥3 D.x≤3 【举一反三2】设方程x2-mx+n=0的两个实根分别为x1，x2，而以x12，x22为根的二次方程仍是x2-mx+n=0，则这样的实数对(m，n)个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.0 【举一反三3】关于x的方程x2-2(k-1)x+k2-1=0的两个实数根的平方和等于16，k的值为________． 【举一反三4】若x1，x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=−，x1x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根． （1）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值． （2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【举一反三5】已知关于x的一元二次方程kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k是整数)． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个不等的实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，设y=x2−x1，判断y是否为k的函数？如果是，请写出函数关系式；若不是，请说明理由． 北师大版（2024）九年级上册 第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系 题型专练（参考答案） 【题型1】求两根和与积 【典型例题】若方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=(　　) A.-4 B.3 C.− D. 【答案】D 【解析】∵方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=-=． 故选：D. 【举一反三1】一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A.x1=-1，x2=2 B.x1=1，x2=-2 C.x1+x2=3 D.x1x2=2 【答案】C 【解析】∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-=3，x1•x2==-2． 故选：C. 【举一反三2】已知实数a，b满足a2-a-6=0，b2-b-6=0(a≠b)，则a+b=______． 【答案】1 【解析】∵a2-a-6=0，b2-b-6=0，且a≠b， ∴a，b是一元二次方程x2-x-6=0的两个不相等的实数根，∴a+b=1． 【举一反三3】求下列方程两个根的和与积： （1）x2-3x+2=10； （2）x2+x=5x+6； （3）x2+1=0． 【答案】解：（1）x2-3x-8=0，这里a=1，b=-3，c=-8， Δ=b2-4ac=9+32>0，∴原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两个根为x1，x2，那么x1+x2=3，x1x2=-8． （2）x2-4x-6=0，这里a=1，b=-4，c=-6， Δ=b2-4ac=16+24>0∴原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两个根为x1，x2，那么x1+x2=4，x1x2=-6． （3）x2+1=0，这里a=1，b=0，c=1， Δ=b2-4ac=1-4<0，∴原方程无解． 【题型2】利用一元二次方程根与系数关系求代数式或字母系数的值 【典型例题】已知a≥2，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，则(m-1)2+(n-1)2的最小值是(　　) A.6 B.3 C.-3 D.0 【答案】A 【解析】∵m2-2am+2=0，n2-2an+2=0， ∴m，n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根， ∴m+n=2a，mn=2， ∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2-4-4a+2=4(a-)2-3， ∵a≥2，∴当a=2时，(m-1)2+(n-1)2有最小值， ∴(m-1)2+(n-1)2的最小值=4(a-)2+3=4(2-)2-3=6． 故选：A. 【举一反三1】关于x的一元二次方程：x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，则m2()=(　　) A. B.− C.4 D.-4 【答案】D 【解析】∵x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，∴ ∴m2()=m2•=m2•=-4． 故选：D. 【举一反三2】设x1，x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则x1+x2=_______，m=_____． 【答案】4　3 【解析】∵x1，x2是方程x2-4x+m=0的两个根，∴x1+x2=-=4，x1x2==m． ∵x1+x2-x1x2=4-m=1，∴m=3． 【举一反三3】若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则3x1+3x2-4x1x2的值为_______． 【答案】10 【解析】根据题意得x1+x2=2，x1x2=-1，所以3x1+3x2-4x1x2=3(x1+x2)-4x1x2=2×3-4×(-1)=10． 【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1+x2=6-x1x2，求(x1-x2)2+3x1x2-5的值． 【答案】解：（1）∵Δ=(2m-3)2-4m2 =4m2-12m+9-4m2 =-12m+9≥0， ∴m≤． （2）由题意可得x1+x2=-(2m-3)=3-2m，x1x2=m2， 又∵x1+x2=6-x1x2，∴3-2m=6-m2，∴m2-2m-3=0，∴m1=3，m2=-1， 又∵m≤∴m=-1，∴x1+x2=5，x1x2=1， ∴(x1-x2)2+3x1x2-5 =(x1+x2)2-4x1x2+3x1x2-5 =(x1+x2)2-x1x2-5 =52-1-5 =19． 【题型3】判别式与根与系数关系的综合 【典型例题】已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足=1，则m的值为(　　) A.-3 B.1 C.-3 或1 D.2 【答案】A 【解析】根据根与系数关系得α+β=3-2m，αβ=m2， ∵=1，∴=1，∴=1，即m2+2m-3=0， 解得m1=-3，m2=1， 把m=-3代入方程得x2-9x+9=0，Δ=(-9)2-4×1×9＞0，此时方程有解； 把m=1代入方程得x2-x+1=0，Δ=(-1)2-4×1×1＜0，此时方程无解，即m=1舍去． ∴m的值为-3． 故选：A. 【举一反三1】已知关于x的方程x2-x+1-2m=0的两根分别为x1，x2，且x12+x22=3，则关于x的不等式3-(2m-1)x≤0的解为(　　) A.x≤ B.x＜ C.x≥3 D.x≤3 【答案】C 【解析】关于x的方程x2-x+1-2m=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=1，x1x2=1-2m． ∵x12+x22=3，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1-2(1-2m)=3，由此可得(2m-1)=1． 把(2m-1)=1代入3-(2m-1)x≤0得3-(2m-1)x=3-x≤0，解得x≥3． 故选：C. 【举一反三2】设方程x2-mx+n=0的两个实根分别为x1，x2，而以x12，x22为根的二次方程仍是x2-mx+n=0，则这样的实数对(m，n)个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.0 【答案】B 【解析】∵方程x2-mx+n=0的两个实根分别为x1，x2， ∴由韦达定理，得x1•x2=n，x1+x2=m； 又∵x12，x22为根的二次方程仍是x2-mx+n=0， ∴x12•x22=n=n2，即n2-n=0，① x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=m=m2-2n，即m2-2n-m=0，② 由①②，解得或 当时，原方程化为x2+x+1=0，而此方程无实数根，所以舍掉此解． ∴这样的实数对(m，n)个数是3个． 故选：B. 【举一反三3】关于x的方程x2-2(k-1)x+k2-1=0的两个实数根的平方和等于16，k的值为________． 【答案】-1 【解析】∵关于x的方程x2-2(k-1)x+k2-1=0有两个实数根， ∴Δ=4(k-1)2-4(k2-1)≥0，解得k≤1． 设方程x2-2(k-1)x+k2-1=0两个实数根为x1，x2．则x1+x2=2(k-1)，x1•x2=k2-1， ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2(k2-1)=16，即k2-4k-5=0， 解得k1=-1，k2=5(不合题意，舍去)． 【举一反三4】若x1，x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=−，x1x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根． （1）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值． （2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根， ∴x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5， ∵(x1-1)(x2-1)=28，即x1x2-(x1+x2)+1=28， ∴m2+5-2(m+1)+1=28，解得m=-4或m=6， 当m=-4时原方程无解， ∴m=6． （2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7， 将x=7代入原方程得49-14(m+1)+m2+5=0， 解得m=10或m=4， 当m=10时，方程为x2-22x+105=0，解得x=7或x=15， ∵7+7＜15，不能组成三角形； 当m=4时，方程为x2-10x+21=0，解得x=3或x=7， 此时三角形的周长为7+7+3=17． 【举一反三5】已知关于x的一元二次方程kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k是整数)． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个不等的实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，设y=x2−x1，判断y是否为k的函数？如果是，请写出函数关系式；若不是，请说明理由． 【答案】解：（1）证明：当k=0时，方程变形为-x+3=0，解得x=3； 当k≠0时，Δ=[-(4k+1)]2-4k•(3k+3)=(2k-1)2≥0，方程有两个实数根， 所以不论k为何值，方程总有实数根． （2）根据题意得x=， 所以x1==1+，x2=3， 所以y=1-(1+)=， 所以y是k的反比例函数． 学科网（北京）股份有限公司 $