第二章一元二次方程2.1--2.5专练2025-2026学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程2.1--2.5专练 一．选择题（共10小题） 1．若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D． 2．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0满足a+b＝2021，则方程必有一根为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 3．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 4．已知x、y是实数，，若3x﹣y的值是（　　） A． B．﹣7 C．﹣1 D． 5．如果关于x的方程kx2﹣2x+1＝0无实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k≤1且k≠0 6．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 7．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 8．若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 10．已知a，b，c满足a2+6b＝﹣17，b2﹣2c＝7，c2﹣2a＝﹣1，则a﹣b+c的值为（　　） A．﹣1 B．5 C．6 D．﹣7 二．填空题（共6小题） 11．已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，则a2﹣2024a　 　 ． 12．定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　 　 ． 13．△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　 　 三角形． 14．若关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 15．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 　 　 ． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 18．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式y2+10y+27的最小值． （2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值． （3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． 19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值． 21．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　 ； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C D C C C B 一．选择题（共10小题） 1．若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D． 【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0， 解得a1＝3，a2＝﹣3， ∵a﹣3≠0， ∴a的值为﹣3． 故选：B． 2．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0满足a+b＝2021，则方程必有一根为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【解答】解：当x＝﹣1时，a+b﹣2021＝0，则a+b＝2021， 所以若a+b＝2021，则此方程必有一根为﹣1． 故选：B． 3．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 4．已知x、y是实数，，若3x﹣y的值是（　　） A． B．﹣7 C．﹣1 D． 【解答】解：原式可化为：（y﹣3）2＝0， 则3x+4＝0，y﹣3＝0， ∴3x＝﹣4；y＝3； ∴3x﹣y＝﹣4﹣3＝﹣7． 故选：B． 5．如果关于x的方程kx2﹣2x+1＝0无实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k≤1且k≠0 【解答】解：当k＝0时， 方程化为﹣2x+1＝0， 解得； 当k≠0时， 则Δ＝（﹣2）2﹣4k×1＜0， 解得k＞1且k≠0， 综上所述，当k＞1时，关于x的方程kx2﹣2x+1＝0无实数根． 故选：C． 6．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【解答】解：由题意可得：a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1． ∴该一元二次方程为：3x2﹣2x﹣1＝0． 故选：D． 7．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 【解答】解：将原方程分解因式得（x﹣4）（x﹣8）＝0， 解得：x1＝4，x2＝8， 一个三角形两边的长是3和5， ∴2＜第三边＜8， ∴三角形的第三边为4， ∵42+32＝52， ∴该三角形的形状是直角三角形． 故选：C． 8．若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b， ∴a+b＝4，ab＝﹣3， ∴一次函数解析式为y＝abx+a+b＝﹣3x+4， ∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 9．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣（2m﹣3），， ∵， ∴， 整理得m2+4m﹣5＝0， 解得m＝﹣5或m＝1， 当m＝﹣5时，方程为x2﹣13x+26＝0， 而Δ＝（﹣13）2﹣4×1×26＝65＞0，符合题意； 当m＝1时，方程为x2﹣x+2＝0， 而Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴m＝1不合题意，舍去， 故选：C． 10．已知a，b，c满足a2+6b＝﹣17，b2﹣2c＝7，c2﹣2a＝﹣1，则a﹣b+c的值为（　　） A．﹣1 B．5 C．6 D．﹣7 【解答】解：∵a2+6b＝﹣17，b2﹣2c＝7，c2﹣2a＝﹣1， ∴（a2+6b）+（b2﹣2c）+（c2﹣2a）＝﹣17+7+（﹣1）， ∴a2+6b+b2﹣2c+c2﹣2a＝﹣11， ∴（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+（c2﹣2c+1）＝0， ∴（a﹣1）2+（b+3）2（c﹣1）2＝0， ∴a﹣1＝0，b+3＝0，c﹣1＝0， 解得，a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴a﹣b+c＝1+3+1＝5． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，则a2﹣2024a　2024　 ． 【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣2025x+1＝0得：a2﹣2025a+1＝0， ∴a2﹣2025a＝﹣1，a2+1＝2025a， ∴， ∴a2﹣2024a ＝﹣1+2025 ＝2024， 故答案为：2024． 12．定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　﹣4或19　 ． 【解答】解：∵，xΘ1＝17， ∴当x≥1时， xΘ1＝x﹣2×1＝17， ∴x＝19， 当x＜1时， xΘ1＝x2+1＝17， 解得x＝4（舍去）或﹣4． 综上所述，x的值为﹣4或19． 故答案为：﹣4或19． 13．△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是　等腰　 三角形． 【解答】解：∵b+c＝8 ∴b＝8﹣c， ∴bc＝（8﹣c）c＝﹣c2+8c， ∴bc＝a2﹣12a+52＝﹣c2+8c， 即a2﹣12a+36+16+c2﹣8c＝0， 整理得：（a﹣6）2+（c﹣4）2＝0， ∵（a﹣6）2≥0，（c﹣4）2≥0， ∴a﹣6＝0，即a＝6；c﹣4＝0，即c＝4， ∴b＝8﹣4＝4， 则△ABC为等腰三角形． 故答案为：等腰． 14．若关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜0且m≠﹣4　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m+4≠0，即（﹣4）2﹣4（m+4）＞0且m≠﹣4， 解得m＜0且m≠﹣4， 故答案为：m＜0且m≠﹣4． 15．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 　10　 ． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4， 当三角形的腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2＝10， 当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为10． 故答案为：10． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则的值为　5　 ． 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2， ∴根据根与系数的关系可得，，且x1+x2＝4， ∴， ∴ ， ＝1+4， ＝5， 故答案为：5． 三．解答题（共5小题） 17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 18．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式y2+10y+27的最小值． （2）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值． （3）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． 【解答】解：（1）y2+10y+27 ＝y2+10y+25+2 ＝（y+5）2+2， ∵（y+5）2≥0， ∴（y+5）2+2≥2， ∴y2+10y+27的最小值是2； （2）8﹣m2+4m ＝﹣（m2﹣4m）+8 ＝﹣（m2﹣4m+4）+4+8 ＝﹣（m﹣2）2+12， ∵﹣（m﹣2）2≤0， ∴﹣（m﹣2）2+12≤12， ∴8﹣m2+4m有最大值，最大值为12； （3）4a2+b2+11＞12a﹣2b，理由如下： 4a2+b2+11﹣（12a﹣2b） ＝4a2+b2+11﹣12a+2b ＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1 ＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1， ∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0， ∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0， ∴4a2+b2+11＞12a﹣2b． 19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤﹣64， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长， ∴x1＝x2， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得m＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵BC＝4， ∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； （3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， ∴p5， ∴S△ABC， 过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， ∵I是△ABC角平分线的交点， ∴IF＝ID＝IE， ∴S△ABC， 解得ID， ∴S△BIC． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得m， 故m的取值范围是m； （2）xxx1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0， 解得m1，m2＝﹣2， ∵m， ∴m的值为． 21．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　x1，x2，x3，x4　 ； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值． 【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0， ∴（y﹣2）（y﹣3）＝0， ∴y1＝2，y2＝3， ∴x2＝2或3， ∴x1，x2，x3，x4； 故答案为：x1，x2，x3，x4； （2）∵a≠b， ∴a2≠b2，或a2＝b2， 当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n． ∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴， 此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn． 当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2，此时a4+b4＝2（a2）2． 综上所述，a4+b4或． （3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0， ∵n＞0， ∴n，即a≠b， ∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根， ∴， 故n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/18 14:22:50；用户：徐萍；邮箱：18669688085；学号：41110157 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $