精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度上学期随堂练习八年数学（三）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 2. 中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，准确分析判断是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，分别计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等． 【详解】解：由已知可得，，，最长边是， ，， ，是直角三角形，故符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 故选． 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征和象限内点的坐标特点．点关于y轴的对称点为．根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．求出对称点后，再根据坐标符号判断点所在的象限． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴对称点坐标为． ∵横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故选：B． 4. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项． 令，则，解得，即函数与x轴的交点为； 令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 5. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理进行求解，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得，，，， 线段长度为的是， 故选D． 6. 下列四组数值是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程，得，不是方程的解，本选项不符合题意； B、把代入方程，得，不是方程的解，本选项不符合题意； C、把代入方程，得，是方程的解，本选项符合题意； D、把代入方程，得，不是方程的解，本选项不符合题意； 故选：C． 7. 64的算术平方根是（ ） A. ±4 B. ±8 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根为非负的平方根即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：解：的算术平方根是， 故选：． 8. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限， A、在第一象限，故该选项不符合题意； B、在第四象限，故该选项不符合题意； C、在第三象限，故该选项不符合题意； D、在第二象限．故该选项符合题意； 故选D． 9. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？题目大意：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．大和尚、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，需读懂题意，找到等量关系；根据有100个和尚，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个，正好分完100个馒头列出方程组是解答的关键． 由大和尚每人分3个馒头，小和尚每三人分1个馒头（即每人分个馒头），根据总人数和总馒头数列方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，小和尚有人， 总人数为100， ； 总馒头数为100，大和尚共分个馒头，小和尚共分个馒头， ． 故方程组为 ， 故选A． 10. 已知直线与的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据题意求出两直线交点坐标，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线和的交点坐标为， ∴， ∴交点坐标为， ∴关于的二元一次方程组即的解为， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先计算27的立方根和4的算术平方根，再将结果相加． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 某辆汽车油箱中原有汽油40升，汽车每行驶50千米耗油4升，写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系． 根据汽车每行驶50千米耗油4升进行求解即可． 【详解】解：由题意得， 则， 解得：， ∴ 故答案为：． 13. 对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作于，由等边三角形的性质和勾股定理可得，，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形，边长为，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 【答案】13，84，85 【解析】 【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数． 观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 设第二个数字为b，则第三个数字为， 由勾股定理，得， 即， 整理得， 解得， 故． 因此第⑥组勾股数为． 故答案为：． 15. 如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键． （1）分别对式子中每一个二次根式进行化简，然后计算机算加减即可； （2）先算乘法和除法，再算加减即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 18. 某厂甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产5天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了4天，则乙组比甲组多生产100个产品；甲、乙两组每天各生产多少个产品？（请用方程组解） 【答案】甲：500，乙：600 【解析】 【详解】试题分析： 设甲、乙两组每天个各生产个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又一起生产了5天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组同时生产4天，则乙组比甲组多生产100个产品两个关系列方程组求解． 试题解析：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得： 解得： 答：甲、乙两组每天个各生产500、600个产品. 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． （1）作关于轴对称的图形，写出点的坐标； （2）在y轴上存在一点，当最小时，请在图中画出点的位置（保留作图痕迹），并求出的最小值． 【答案】（1）见解析，点的坐标 （2）作图见解析，的最小值为 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据要求关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，分别作出、、三点的对应点，连接即可； （2）先作出点关于轴的对称点，连接，即可作出点，利用勾股定理求出即可得解； 【小问1详解】 根据已知图形可知，，， 关于轴对称点的坐标为，，， 作图如下： ． 【小问2详解】 过点作关于轴的对称点，连接，与轴交点即为点，如图所示， 由图可得：， ， 的最小值即为线段的长度， ， 的最小值为． 20. 某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． （1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． （2）成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． 【小问2详解】 解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 21. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【小问1详解】 解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数，该函数的图象记为，图象与轴交于、两点（位于的左侧），与轴交于点，与直线交于点，作直线． （1）若点在图象上，直接写出的值； （2）求直线的解析表达式； （3）直线（）交图象于点，交直线于点，若，求值； （4）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为或 （2） （3）或 （4）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合题．熟练掌握分段函数性质，等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，正确进行分类讨论是解题的关键． （1）分和，分别令，即可求出的值； （2）先求出的坐标，设直线的解析表达式为（），然后把的坐标代入求解即可； （3）分和求出的表达式，令即可求解； （4）总共分三种情况讨论：当时，由等腰三角形的性质得到，即可求出点的坐标；当时，又分2两种情况讨论，先由的坐标，勾股定理求出的值，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：点在图象上， 当时，解得，符合； 当时，解得，符合； 所以的值为或； 【小问2详解】 解：对于，令，则，解得， ； 对于，令，则， ； 设直线的解析表达式为（）， 把点，代入中得， ，解得：， ， 直线的解析表达式为； 【小问3详解】 解：当时，，， ，解得； 当时，，， ，解得． 或； 【小问4详解】 解：①当时，此时在轴正半轴上，如图所示， ， ， ； ②当，且在轴负半轴上时，如图所示， ，， ，． ， ， , , ； ③当，且在轴正半轴上时，如图所示， 由②得，， ， ， 此时， ； 综上所述，在轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，此时点的坐标为或或． 23. 某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 【性质应用】： （1）如图1，中，，，，，过点作，垂足为点，并截取，连接，，过点作垂足为． ①请用含，代数式表示图中的面积＝______；的面积＝______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积＝______； ③根据①②得出什么结论； 【拓展提高】： （2）如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，，直接写出的长． 【答案】（1）① ② ③勾股定理 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理等： （1）①证明，即可求得，和；②利用结论二即可求得答案；结合①②即可求得答案； （2）证得即可求得答案； （3）求得和，利用结论一即可求得答案； 【详解】（1）①∵，， ∴，． ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴，，． ∴． 故答案为：；； ②∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为： ③∵， ∴． ∴． ∴根据①②得出的结论为：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理． （2）∵和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． 设与交于点． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是垂等四边形． （3）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期随堂练习八年数学（三）北师大 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A 0 B. C. D. 2. 中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A ，， B. ，， C ，， D. ，， 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 5. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四组数值是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 7. 64的算术平方根是（ ） A. ±4 B. ±8 C. 4 D. 8 8. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 9. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？题目大意：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．大和尚、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与的交点坐标是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 某辆汽车油箱中原有汽油40升，汽车每行驶50千米耗油4升，写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式______． 13. 对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为______． 14. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 15. 如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 18. 某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产5天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了4天，则乙组比甲组多生产100个产品；甲、乙两组每天各生产多少个产品？（请用方程组解） 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． （1）作关于轴对称的图形，写出点的坐标； （2）在y轴上存在一点，当最小时，请在图中画出点的位置（保留作图痕迹），并求出的最小值． 20. 某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度1微克/毫升． （1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 21. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求所在直线的函数表达式； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数，该函数的图象记为，图象与轴交于、两点（位于的左侧），与轴交于点，与直线交于点，作直线． （1）若点在图象上，直接写出的值； （2）求直线的解析表达式； （3）直线（）交图象于点，交直线于点，若，求值； （4）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 性质应用】： （1）如图1，中，，，，，过点作，垂足为点，并截取，连接，，过点作垂足为． ①请用含，的代数式表示图中的面积＝______；的面积＝______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积＝______； ③根据①②得出什么结论； 【拓展提高】： （2）如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $