2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上学期期末复习试卷02

沪教版八年级数学上学期期末复习试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 3．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．k≤ B． k< C． k≥ D． k> 5．下列说法错误的是（ ） A．一定是非负数 B．当时， C．当时，在实数范围内有意义 D．的倒数是 6．如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 7．方程的解为 ． 8．定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为 ． 9．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的的范围是 ． 10．已知，化简： . 11．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 12．一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于，则两个正方形的边长分别为 ． 13．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）． 14．计算： ． 15.如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 16．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 17.如图，是等腰直角三角形，，D为边上的点，，绕着点A逆时针旋转后到达的位置，那么为（    ） A． B． C． D． 18．如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 19．解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： 20．计算：． 21.（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值． 22．定义：若一元二次方程满足．则称该方程为“和谐方程”． (1)下列属于和谐方程的是 　； ①；②；③． (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知：一元二次方程为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 24．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 25．综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 26．已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版八年级数学上学期期末复习试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，理解其定义是解题的关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同则为同类二次根式，可以合并． 【详解】解：A：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； B：，被开方数为，与相同，可以合并，故该选项符合题意； C：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意； D：，被开方数为，与不同，无法合并，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．2与 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，化简判断即可． 【详解】A、∵，∴与互为相反数，故该项正确，符合题意； B、∵，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意； C、∵与2互为相反数，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意； D、∵，∴2与不是相反数，故该项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，求一个数的算术平方根，立方根，熟练掌握相反数的定义，准确进行化简计算是解题的关键． 3．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 4．关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．k≤ B． k< C． k≥ D． k> 【答案】B 【详解】由题意可知，方程有两个不相等的实数根，所以，解得 5．下列说法错误的是（ ） A．一定是非负数 B．当时， C．当时，在实数范围内有意义 D．的倒数是 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质与化简、二次根式的定义、二次根式有意义的条件及分母有理化判定即可． 【详解】A．一定是非负数，此选项正确； B．当x＜1时，=1﹣x，当1≤x＜2时，=x﹣1，所以此选项错误； C．当x＜0时，在实数范围内有意义，此选项正确； D．﹣1的倒数是+1，此选项正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简、二次根式的定义、二次根式有意义的条件及分母有理化，解题的关键是熟记二次根式的性质与化简、二次根式的定义、二次根式有意义的条件及分母有理化的知识． 6．如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点．证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴，， ∴的面积≠面积的2倍，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 7．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程并能熟练运用求解． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 解得：，． 故答案为：，． 8．定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查新定义运算以及一元二次方程的求解．解题的关键在于根据新定义运算的规则，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解的方法求解方程． 【详解】解：由新运算定义，，则， 由题意，， 整理得， 解得，． 故答案为：，． 9．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的的范围是 ． 【答案】且 【分析】根据同类二次根式的定义求出a的值，再由二次根式及分式有意义的条件求出x的取值范围即可． 【详解】∵最简根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5，∴4a﹣2x=20﹣2x． ∵+有意义，∴，解得：x≤10且x≠3． 故答案为x≤10且x≠3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 10．已知，化简： . 【答案】4 【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴原式= 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键. 11．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，，再整体代入即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ，， ∴， ∴． 故答案为：0． 12．一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于，则两个正方形的边长分别为 ． 【答案】和 【分析】可设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为cm，又因两个正方形的面积和等于160cm2，则可列出方程求解即可． 【详解】设一个正方形的边长为xcm， ∵正方形的四边相等， ∴此正方形的周长是4xcm,另一个正方形的边长是cm， 根据题意得x2+()2=160， 解得x1=12,x2=4. 当x=12时, =4； 当x=4时, =12， 所以另一个正方形的边长为4或12. 答：两个正方形的边长为12cm和4cm. 故答案为12cm和4cm. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用. 13．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空． 【详解】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确； 当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误； 把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，所以x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确； 故答案为①③． 14．计算： ． 【答案】4 【分析】首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解． 【详解】原式=+++…+ =﹣+﹣+﹣+﹣…﹣+ =﹣+ =﹣+ =4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是关键． 15.如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 连接，根据三线合一得出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， 即是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 故答案为：5． 16．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 17.如图，是等腰直角三角形，，D为边上的点，，绕着点A逆时针旋转后到达的位置，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边对等角，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由题意得，，则．由旋转得，，则，由勾股定理得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴． ∵绕着点A逆时针旋转后到达的位置， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 18．如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】解：①当时，如图，过点作，交于点． 是等边三角形，是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， 是的中点， ， ； ②当时，由①，得，则，与矛盾， 此种情况不成立； ③当时， 如图，过点作，交于点． 、是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 19．解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先整理，然后运用直接开平方法求解即可； （2）先整理，然后运用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和正确化简每一项是解题的关键． 依次化简计算零指数幂，绝对值，算术平方根，负整数指数幂即可． 【详解】解： ． 21.（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件求出，从而得出，将代数式先因式分解再化简，最后代入、的值计算即可得解，【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题若不是用因式分解，直接进行分母有理化计算量将明显增加. 22．定义：若一元二次方程满足．则称该方程为“和谐方程”． (1)下列属于和谐方程的是 　； ①；②；③． (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知：一元二次方程为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）计算即可判断； （3）由该方程有两个相等的实数根，得到=0，即可得到． 【详解】（1）解：属于和谐方程的是①③． 故答案为：①③； （2）证明：∵一元二次方程为“和谐方程”， ∴， ∴ ＝ ＝， ∴和谐方程总有实数根； （3）∵一元二次方程为“和谐方程”， ∴， ∵和谐方程有两个相等的实数根， ∴ ＝ ＝ =0 ∴． 【点睛】此题考查了新定义—“和谐方程”，判断一元二次方程根的情况，利用一元二次方程的判别式求参数，正确理解新定义、掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 23．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 24．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 25．综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 26．已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，证明，，再证明，，由此即可求解； （3）延长，过点作于点，作，由判定，，结合全等三角形的性质及三角形的面积得，设，则，可得，，作交于，结合角平分线的性质及 可判定，（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长，过点作于点，作， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴，且， ∴， ， ∴， ， ， ∵与面积之和为5， ， ， ， 设，则， ， ， 如图，作交于， ∵是角平分线， ，， ， 平分， ， ， （）， ， ， ，， （）， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等，能根据题意添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $