第六章 平面向量初步（高效培优单元测试·强化卷）数学人教B版2019高一必修第二册

第六章 平面向量初步单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，，因为与共线，则， 所以. 故选：B. 2．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 3．设O是的外心，则是（   ） A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 【答案】C 【详解】因为是的外心，则有. 因为的方向不同，所以它们是模相等的向量，所以C正确. 对于A，因为它们的方向不同，所以不是相等向量，所以A错误； 对于B，因为它们不共线，所以不是平行向量，所以B错误； 对于D，因为的起点分别为，所以它们的起点不同，所以D错误； 故选：C. 4．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 5．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 6．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 所以，所以， 所以， . 故选：D. 7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（   ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 【答案】C 【详解】取的中点D，则， ∵， ∴，而， ∴P，C，D三点共线， ∴点P的轨迹一定经过的重心． 故选：C. 8．古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， ， 由于，结合正八边形的对称性。 可知当P点位于线段上时，才会取到最大值； 不妨设P点在线段上，设，即， 则， 则， 即，则， 即，当时，取到最大值， 故选：D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【详解】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以不能作为基底，故D正确. 故选：CD 10．如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】易知，所以，因此A错误； 显然，可得B正确； ，所以C正确； 因为为上靠近的三等分点，所以，利用可得； 所以，即D正确. 故选：BCD 11．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 【答案】ACD 【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以，故A正确； ②当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在(不含点)上时，则，且， 所以，即，所以； ④当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于B，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误； 对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确； 对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知为线段上一点，且，若为直线外一点，用，表示，则 . 【答案】 【详解】如图，, 故答案为：. 13．如图，在中，点O在BC上（不含端点），，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】由题意可得，B，O，C三点共线，则共线． 则存在唯一实数，使得， 即， 整理可得． 又， 所以， 所以，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 14．四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为 【答案】 【详解】取的中点为，连接，作于点，如下图所示： 因为四边形内接于圆，所以， 又，可得， 所以，因此可得四边形为等腰梯形， 易知，所以，由可得三点共线， 由圆的性质可知，所以， 可知，可得， 所以，； 可知梯形面积. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） 16．（15分）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）由得， 即，所以. 因为，所以， 又点恰为四边形对角线的交点， 所以，则， 又，所以. 17．（15分）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. 18．（17分）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以. （2）延长与交于点，因为三点共线， 所以， 又因为，且，所以， 即， 所以，解得，所以，则. 所以. 19．（17分）在平面直角坐标系中，，，，，是等腰直角三角形，为直角顶点． (1)求点； (2)设点是第一象限的点，若，，则为何值时，点在第二象限？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1），， 是等腰直角三角形，为直角顶点． ，， 即， 化简为，， 联立解得或． ，或． （2）点是第一象限的点，． 设， ，， ，，，，． ， 解得，． 点在第二象限， ，解得． ，点在第二象限． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量初步单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 2．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．设O是的外心，则是（   ） A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 4．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 5．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 6．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（   ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 8．古代中国的太极八卦图是在一个圆中，以圆心为界，画出的两个全等的阴阳鱼．阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物之间互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的“矛盾对立统一”的辩证法．图2（正八边形）是从图1（八卦模型图）抽象出来，并以正八边形的中心O为旋转中心顺时针旋转22.5°而得到，点P在正八边形的边上运动，若，则的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知为线段上一点，且，若为直线外一点，用，表示，则 . 13．如图，在中，点O在BC上（不含端点），，则的最小值为 ．    14．四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 16．（15分）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 17．（15分）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 18．（17分）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 19．（17分）在平面直角坐标系中，，，，，是等腰直角三角形，为直角顶点． (1)求点； (2)设点是第一象限的点，若，，则为何值时，点在第二象限？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $