第六章 平面向量初步（单元测试·基础卷）数学人教B版2019必修第二册

2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使平面中两个向量作为基底，必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A错误； 对于B，由，B错误； 对于D，由，D错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确. 故选：C. 2．已知点P与共线，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由三点共线，则，所以， 则. 选项A，，不满足，故A错误； 选项B，，满足，故B正确； 选项C，，不满足，故C错误； 选项D，，不满足，故D错误. 故选：B. 3．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 4．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．5N B．N C．10N D．N 【答案】A 【详解】    如图，，，，，. 在中，有， 所以，的大小为5N. 故选：A. 5．已知，是两个不共线的非零向量，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，而， 由向量不共线，得，解得，所以. 故选：B 6．在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】当时，三点共线，与题意矛盾，所以， 因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，解得.    故选：C. 7．已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 故选：B 8．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【详解】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以不能作为基底，故D正确. 故选：CD 10．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 11．如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 【答案】-7 【详解】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7 13．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上， 所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 得，所以， 即的最大值为. 故答案为：. 14．一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 【答案】 2 /2.25 【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 则，传令兵所走的路程为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 【详解】（1）设， 因为的重心是G点， 所以， 2分 ， ， 5分 因为G， P，Q三点共线， 所以存在，使得，即， 所以有； 8分 （2）因为， 所以， 11分 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以m＋n的最小值为. 13分 16．（15分）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 3分 因为是的中点， 所以； 6分 （2）设，所以， 9分 又，所以，所以， 12分 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 15分 17．（15分）已知向量与向量的对应关系用表示． (1)设，，求向量及的坐标； (2)求满足的向量的坐标； (3)证明：对任意向量、，均满足． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． 3分 （2）设，则， 因为，则，即 6分 解得因此． 9分 （3）设，，∴， ， 又，， 12分 所以 ， 所以对任意向量，，均满足． 15分 18．（17分）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 【详解】（1），， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 3分 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 6分 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以. 9分 （2）延长与交于点，因为三点共线， 所以， 11分 又因为，且，所以， 即， 14分 所以，解得，所以，则. 所以. 17分 19．（17分）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 【详解】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 3分 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 由于，所以，又，所以， 5分 在平行四边形中，，所以与的面积之比为. 7分    （2），. 设，，， ，， 9分 ， 14分 又， ，解得. 所以. 17分    学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C A B C B D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 CD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．-7 13．/ 14．2 /2.25 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）设， 因为的重心是G点， 所以， 2分 ， ， 5分 因为G， P，Q三点共线， 所以存在，使得，即， 所以有； 8分 （2）因为， 所以， 11分 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以m＋n的最小值为. 13分 16．【详解】（1）因为，是的中点，所以， 3分 因为是的中点， 所以； 6分 （2）设，所以， 9分 又，所以，所以， 12分 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 15分 17．【详解】（1）因为，所以， 因为，所以． 3分 （2）设，则， 因为，则，即 6分 解得因此． 9分 （3）设，，∴， ， 又，， 12分 所以 ， 所以对任意向量，，均满足． 15分 18．【详解】（1），， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 3分 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 6分 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以. 9分 （2）延长与交于点，因为三点共线， 所以， 11分 又因为，且，所以， 即， 14分 所以，解得，所以，则. 所以. 17分 19．【详解】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 3分 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 由于，所以，又，所以， 5分 在平行四边形中，，所以与的面积之比为. 7分    （2），. 设，，， ，， 9分 ， 14分 又， ，解得. 所以. 17分    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点P与共线，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 4．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．5N B．N C．10N D．N 5．已知，是两个不共线的非零向量，且，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 11．如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 13．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为 . 14．一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 16．（15分）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 17．（15分）已知向量与向量的对应关系用表示． (1)设，，求向量及的坐标； (2)求满足的向量的坐标； (3)证明：对任意向量、，均满足． 18．（17分）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 19．（17分）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第六章 平面向量初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点P与共线，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 4．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．5N B．N C．10N D．N 5．已知，是两个不共线的非零向量，且，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 11．如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 13．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为 . 14．一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 16．（15分）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 17．（15分）已知向量与向量的对应关系用表示． (1)设，，求向量及的坐标； (2)求满足的向量的坐标； (3)证明：对任意向量、，均满足． 18．（17分）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 19．（17分）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足延长线交于点N，求k的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $