6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教B版2019）

第六章平面向量初步4 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 学习任务] 1.理解直线上向量的坐标的含义及运算 2.能运用直线上向量的坐标及长度公式进行相关的计算， 自主学习探新知 课前預习 双基落实 知识点直线上向量的坐标及其运算 续表 法则 1.直线上向量的坐标 文字语言 符号语言 (或公式) 名称 定义 设 $$A \left( x _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 2 } \right)$$ 是数 在直线!上指定一点 作为原点，以e的方 数轴上两 数轴 向为正方向，e的模为单位长度建立数轴 点之间的 轴上两点 $$， A B = | \overrightarrow { A B } |$$ 距离公式 $$= | x _ { 2 } - x _ { 1 } |$$ a在直线 如果 a=xe， ，那么x叫做向量a在直线1上 上的坐标 的坐标 设 $$A \left( x _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 2 } \right) ，$$ 数轴上 2.直线上向量的坐标运算 M(x) 是线段 AB 3的 的中点 法则 坐标公式 中点，则 $$x = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 }$$ 文字语言 符号语言 (或公式) 直线上两个向量 微判断 直线上 相等的充要条件 $$a = x _ { 1 } e ， b = x _ { 2 } e ，$$ ，则 两个向 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”). 是它们的 a bwx， =x： $$a = b \Leftrightarrow x _ { 1 } = x _ { 2 }$$ 量相等 (1)单位向量e的长度为1. () (2)直线上 的坐标不存在. () 直线上两个向量 直线上 和的坐标等于两 设 $$a = x _ { 1 } e ， b = x _ { 2 } e ，$$ ，则 (3)直线上向量的坐标就是终点的坐标.() 求两个 个向量的 $$a + b = \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) e$$ 向量的和 (4)直线上向量 AB 的坐标就是B点坐标减去 A点坐标. () 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一直线上向量的坐标 规律方法 直线上向量的坐标的两种求法 [例1]已知在数轴上点A，B，C的坐标分别 (1)将向量用单位向量表示出来. 为1，7，一3. (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. (1)求 BA，AC，CB 的坐标； 口跟踪训练 (2)若 CD=4， ，求D点的坐标. 1.如图所示，则直线上向量a，b的坐标分别为 () -3-2-1 1 0 1 2 2 3 3 4 A.2，4 B.2，4 C.4，一2 D.-4，-2 91 高中数学·必修第二册(RJB) 探究二直线上向量的坐标运算 探究三数轴上两点间的距离、中点坐标 [例2]已知直线上向量a的坐标为一2，b的：[例3]已知数轴上A,B两点的坐标分别为 坐标为5，求下列向量的坐标： x1,x2,点C是线段AB的中点，求下列条 (1)a+b:(2)b:(3)-2a-3b. 件下AB,BA,AC的坐标及A,B两点间的 距离。 (1).x1=2,x2=-5.3: (2)x1=10,x2=20.5. 川规律方法川 求数轴上向量长度的方法：要先求数轴上向量的 川规律方法 坐标，再根据拒离公式求长度， 直线上向量的坐标的求法：先求出（或寻找已知） 相应点的坐标，再计算向量的坐标。 跟踪训练 口跟踪训练 3.设数轴上两点A,B的坐标分别为一1,3，求： 2.已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与 (1)向量AB的坐标，以及A与B的距离： b都是直线L上的向量，分别在下列条件下写 (2)线段AB中点的坐标. 出a与b的坐标： (1)a=3e,b=-6e: (2a=-e,b=20 92 第六章平面向量初步。 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是0，一1，：3.已知e为直线1上的一个单位向量，向量a与 则AB的坐标是 b都是直线l上的向量，且a=3e,b=-2e,则 ( a,b的坐标分别为 () A.-1 B.1 A.3,-2 B.3,2 C.2 D.-2 C.-3,2 D.-3,-2 2.已知A,B都是数轴上的点，A(3),B(一a),: 4.如图，向量OA的坐标为 且AB的坐标为4，则a= 01 A.-1 B.-7 C.4 D.-4 提示请完成《素能提升训练》训练三十 6.2.3平面向量的坐标及其运算 [学习任务 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 自主学习探新知 保前预习双基落实 知识点一平面向量的坐标 (2)若点A的坐标为(2，一1)，则以A为终点 1.向量垂直 的向量的坐标为(2，一1). () 平面上的两个非零向量a与b,如果它 (3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐 们所在的直线互相 ,就称向量a与 标一定不同. b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都 知识点二 向量的直角坐标运算 垂直 2.正交基底 若a=(xy,).b=(xy).则a+b= 向量的加 .a-b= 如果平面向量的基底{e1,e2}中，e1⊥e, 减法 即两个向量和与差的坐标等于两个向量相 就称这组基底为正交基底：在正交基底下向 应坐标的和与差 量的分解称为向量的正交分解。 3.向量的坐标 若a=(x,y),A∈R,则0= ,即数 实数与向 乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐 给定平面内两个相互垂直的单位向量e, 量的积 标的积 e2,对于平面内的向量a,如果a=e1十e2,则称 (x,y)为向量a的坐标，记作a= 向量的数 微判断 乘、加、减 若a=(1y),b=(x,2),u,v∈R,则@ 混合运算 土vb=(r士，4y士y) 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”) (1)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的。 向量的模 若a=(xy),则a=√/x+y 93(2)证明：因为E,M,F三点共线，所以存在实数A,使得： 【随堂巩固促应用】 OM=aOE+(1-A)OF=Apa+(1-A)gb.结合(1)，易 1.AAB的坐标为一1一0=一1. 1 p=7, 1+3=1. 2,B由题意，向量AB的坐标为终点B的坐标减去起点A 得出 3 的坐标，即一a一3=4，解得a=一7. 1(1-1)4=7: 消去入得，7p9 3.A因为a=3e,所以a在数轴上对应的坐标为3.又由 b=一2e,所以b在数轴上对应的坐标为一2. 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 4.3因为向量OA的始点在原点，周此终点A的坐标就是 【自主学习探新知】 向量的坐标，故向量OA的坐标为3. 知识点 2.坐标相等坐标的和 6.2.3平面向量的坐标及其运算 微判断 (1)(2)×(3)×(4) 【自主学习探新知】 【互动探究解疑难】 知识点 探究一 1,垂直 [例1][解](1)点A,B,C的坐标分别为1,7，一3， 3.(x.y) 微判断 ,,OA的坐标为1，OB的坐标为7，OC的坐标为一3. (1)√(2)×(3)X 又BA=OA-OB. 知识点二 ∴BΛ的坐标为1-7=一6. (x十2y十y2)(,-王y1-y)(x,y) 知识点四 同理，AC的坐标为一4，CB的坐标为10， ny:=r:y (2)设D点的坐标为x,别CD=x一（一3）=x十3=4. 微思考 解得x=1,即D点的坐标为1. [提示]不是充要条件，是充分不必要条件， 跟踪训练 【互动探究解疑难】 1.C向量a的始，点在原，点，则a的坐标为4，把向量b的 探究一 始点平移到原点，则b的坐标为一2.故选C [例1][解]由题知，B,D分别是30°，120°角的终边与 探究二 单位圆的交点 [例2][解](1)a+b的坐标为-2+5=3. 设B(xy),D(xy),由三角函数的定义，得 (2)号b的垒标为号×5=1. x,=cos30°=8 y=m30=7B(停，2） (3)-2a-3b的坐标为(-2)×(-2)-3×5=-11. x=c03120°=- y=sin120=3 1 跟踪训练 2 2.解(1)：a=3e,b=-6e, ∴.a的坐标为3，b的坐标为一6. D(-2)月 (2)a的坐标为一子，b的坐标为2. 探究三 ∴=（停名）D=(←) 跟踪训练 [例3][解](1)：x1=2,=-5.3,.AB的坐标为 1,解(1)设点A(x,y),则x=OAlcos60°=45cos60 -5.3-2=-7.3,BA的坐标为2-(-5.3)=7.3.由 A,B两点的坐标分别为2，一5.3，得点C的坐标为 =2/5,y=0Asim60°=45sin60°=6， 2+(-5.3》=-1.65,故AC的坐标为-1.65-2=-3.65， 即A(2√3,6).所以OA=(23,6) 2 A,B两点间的距离为x一x1=|-5.3-2=7.3 (2)BA=(2√3,6)-(W3,-1)=(3,7) 探究二 (2)x,=10,x2=20.5,AB的坐标为20.5-10= [例2][解](1)周为A(-3,4),B(4,2),C(-1,-2), 10.5,BA的坐标为10-20.5=-10.5.由A,B两点的 所以AB=(7,-2),BC=(-5,-4),CA=(一2,6)， 坐标分别为10,20.5，得点C的坐标为10+20.5=16.25， 2 所以2AB+3BC-CA=(14,-4)+(-15,-12) (-2.6)=(14-15+2,-4-12-6)=(1.-22). 故AC的坐标为15.25-10=5.25，A,B两点间的距离 为x-x,=20.5-101=10.5. (2)设OB=AOA+4OC, 跟踪训练 因为A(-3,4),B(4,2),C(-1,-2), 3.解(1)A,B的坐标分别为一1,3， 即0A=(-3,4),0B=(4,2),0C=(-1,-2),于是得 ∴AB的坐标为3-(-1)=4，AB=|AB=4, (4,2)=x(-3.4)+(-1.-2)=(-31一，4以-2). 即A,B两点之间的距离为4. (2)设线段AB中点的坐标为x,则x=一1，十3=1. 从而有经””解得X=一号=号 2=4-2, 2 即线段AB中点的坐标为1， 所以0i-号0i- 5 33