精品解析：山西省长治市部分学校2025-2026学年上学期第三次月考九年级数学试卷

山西省长治市部分学校2025-2026学年上学期第三次月考 九年级数学试卷 上册全部 说明：共三大题，23小题，满分120分．答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题哈出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩．诗句“东边日出西边雨”描述的事件属于（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解题的关键是掌握：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此解答即可． 【详解】解：诗句“东边日出西边雨”描述的事件属于随机事件． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，熟记余弦的定义是解题的关键；先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】解：在中，．，， 则， ， 故选：B． 4. 如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，由，为的中点，则，，然后通过等边对等角即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴，， ∴， 故选：． 5. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中．某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据点落入黑色部分的频率稳定在 左右，得到点落入黑色部分的概率为，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，点落入黑色部分的频率稳定在左右，即点落入黑色部分的概率为，则估计黑色部分的总面积为， 故选：C． 6. 如图，在中，是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，， ∵垂线段最短， ∴此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是4， 故选：D． 7. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，正确列举出所有的可能组合数，利用概率公式求概率是解题的关键． 根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，从而计算概率即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为： （稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠）， 则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合， 因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是， 故选：A． 8. 如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 即点A，B之间的距离为． 故选：D． 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选B． 10. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一条直线上，点D，F，B在同一条直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意得，、，设，则，证得，根据相似三角形的性质可得，进而求出的值，从而求出的长． 【详解】解：根据题意得，、、， 设，则， 、 ，即 解得或（不符合题意，舍去）， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在实数范围内要使成立，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简公式可得，从而可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为：． 12. 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小宇同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“”、“文心一言”四种应用软件中随机选取一种进行学习，则小宇同学选取的软件为“豆包”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 从四种软件中随机选取一种，总共有4种等可能结果，选取“豆包”有1种结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：总共有4种软件，即“豆包”、“腾讯元宝”、“”、“文心一言”， 小宇同学随机选取一种，所有可能的结果有4种， 每种结果出现的可能性相等，其中选取“豆包”的结果有1种， 因此概率为． 故答案为：． 13. 如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．斜坡的坡度，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．根据坡比的定义即可得从斜坡的起点至房屋门的最短的水平距离长． 【详解】解：在中， ∵ ∴， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形中，E是上一点，，交于点F，若，则的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，关键是判定，得到，由平行四边形的性质推出，，判定，推出，得到，，求出，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 15. 图1为《天工开物》中记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”．图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，，，若分米，分米，，则______分米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．合理的构造直角三角形进行求解是解决本题的关键． 延长交于点，易得，则，设为， 则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得的值，即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ． ，． ． ． 设为，则， ． ． 分米，分米， 分米，． ，解得． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，因式分解法求一元二次方程的根，掌握以上知识的计算方法是关键． （1）根据二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的计算方法求解即可； （2）运用因式分解法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 或， 解得． 17. 如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且．如果是的中点，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．运用如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似与相似三角形对应边成比例列出比例算式和方程的思想是本题解题的关键． 由，可得，，则有，由是的中点，则，可设即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， 设， ∴． ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 18. 2025年10月底，我国将执行神舟二十一号载人飞行任务，在此期间“80后”、“90后”、“00后”科研人员共同协作，为航天事业添砖加瓦，为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内开展了“探索宇宙，放飞梦想”知识竞赛活动，张敏和李华两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学了解航天知识，学校打算邀请这两名同学分别从太空望远镜、宇航员、人造卫星、航天飞船（依次用表示）四个方面任选一个整理自己对其了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个方面的可能性均相同） （1）李华同学选择“宇航员”的概率为_________； （2）请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率． 【答案】（1） （2）张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中李华同学选择“宇航员”的结果有种，结合概率公式，即可得李华同学选择“宇航员”的概率； （2）列表可得出所有等可能的结果，以及张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的结果，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中李华同学选择“宇航员”的结果有种， ∴李华同学选择“宇航员”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能得结果，其中张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的结果有：、、、、、、，共种， ∴张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率为． 19. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 【答案】（1） （2）边CD的长为10米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由木栏总长为45米，列出代数式即可； 设米，则米，根据饲养场矩形的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设米，则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，米米，不合题意，舍去； 当时，米米，符合题意； 答：边CD的长为10米． 20. 打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． （1）条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18； （2） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． （1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m， 360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：调查总人数（名）， ∴（名）， 文学类书籍对应的扇形圆心角的度数， 故答案为：18； ． 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，B） （B，C） （B，D） C （C，B） （C，C） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 21. 阅读与思考 阅读材料，完成任务． 书架摆放设计 素材一 一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放．档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上． 素材二 经测量知，书架内侧的长为，档案盒的长．（参考数据：） 任务一 （1）利用素材二中的数据求的长． 任务二 （2）求出每个档案盒的厚度（即求的长）． 【答案】任务一：的长约为； 任务二：每个档案盒的厚度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意可知，则有， （）由题意得，通过三角形内角和定理得， 设每一个档案盒的厚度为，由（）得，然后求出的值即可． 【详解】解：（）由题意，可知， 在中，， ∴， ∴的长约为； （）解：由题意，得， ∴， ∴， 设每一个档案盒的厚度为， 在中，， ∴， 由（），得， ∴， 答：每个档案盒的厚度为． 22. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 证明：过点作于点． ， ， ． （1）如图2，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 【初步应用】 （2）在中，a，b，c分别是的对边．已知，则_____________． 【综合应用】 晋阳湖是山西省太原市重要的生态湿地和城市景观水源地，也是华北地区最大的人工湖，兼具生态调节、休闲观光等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅晋阳湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中A，B两岛间的实际距离．由于晋阳湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计． 【方案设计】 工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图3，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得． （3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算A，B两岛间的距离． （参考数据：） 【答案】 （1）证明：如图，过点作于点，则， ， ， ， ； （2）2 （3）A，B两岛间的距离为 【解析】 【分析】u本题主要考查三角函数的计算与运用，理解材料提示的计算方法，掌握锐角三角函数值的计算是关键． （1）根据材料提示方法，过点作于点，则，由正弦值的计算即可求解； （2）根据材料题意，运用（1）中的结论，代入计算即可求解； （3）根据三角形内角和定理得到，结合（1）中的结论列式得，代入计算即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）根据（1）的计算得到，， ∴， 解得，， 故答案为：2； （3）， ， 由题意，得， 又， ， 答：A，B两岛间的距离为． 23. 综合与探究 如图，在正方形中，是边上的一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________． （2）求证：． （3）若，请求出的值． 【答案】（1）； （2） 证明：∵四边形，均是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （）利用正方形的性质得，得，又，所以； （）利用正方形的性质得，，所以， 证明， 进而根据相似三角形的性质即可求解； （）由，设，，则，则，，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， 设，，则， ∴，， ∵四边形，均是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省长治市部分学校2025-2026学年上学期第三次月考 九年级数学试卷 上册全部 说明：共三大题，23小题，满分120分．答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题哈出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩．诗句“东边日出西边雨”描述的事件属于（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 必然事件 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中．某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 10. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点D，G，H，C在同一条直线上，点D，F，B在同一条直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在实数范围内要使成立，则的取值范围是_______． 12. 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小宇同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“”、“文心一言”四种应用软件中随机选取一种进行学习，则小宇同学选取的软件为“豆包”的概率为_____． 13. 如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．斜坡的坡度，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是____________米． 14. 如图，平行四边形中，E是上一点，，交于点F，若，则的面积为______． 15. 图1为《天工开物》中记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”．图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，，，若分米，分米，，则______分米． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且．如果是的中点，，，求的长． 18. 2025年10月底，我国将执行神舟二十一号载人飞行任务，在此期间“80后”、“90后”、“00后”科研人员共同协作，为航天事业添砖加瓦，为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内开展了“探索宇宙，放飞梦想”知识竞赛活动，张敏和李华两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学了解航天知识，学校打算邀请这两名同学分别从太空望远镜、宇航员、人造卫星、航天飞船（依次用表示）四个方面任选一个整理自己对其了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个方面的可能性均相同） （1）李华同学选择“宇航员”的概率为_________； （2）请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率． 19. 某农场要建一个饲养场矩形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门不用木栏．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场矩形的一边CD长为x米，则另一边______米． （2）若饲养场矩形的面积为180平方米，求边CD的长． 20. 打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． （1）条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 21. 阅读与思考 阅读材料，完成任务． 书架摆放设计 素材一 一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放．档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上． 素材二 经测量知，书架内侧的长为，档案盒的长．（参考数据：） 任务一 （1）利用素材二中的数据求的长． 任务二 （2）求出每个档案盒的厚度（即求的长）． 22. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 证明：过点作于点． ， ， ． （1）如图2，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 【初步应用】 （2）在中，a，b，c分别是的对边．已知，则_____________． 【综合应用】 晋阳湖是山西省太原市重要的生态湿地和城市景观水源地，也是华北地区最大的人工湖，兼具生态调节、休闲观光等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅晋阳湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中A，B两岛间的实际距离．由于晋阳湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计． 【方案设计】 工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图3，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得． （3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算A，B两岛间的距离． （参考数据：） 23. 综合与探究 如图，在正方形中，是边上的一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________． （2）求证：． （3）若，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $