精品解析：江苏省无锡市吴风中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年无锡市吴风实验学校八年级（上）期中数学试卷 考试时间为100分钟，满分120分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 9的立方根是3 B. 算术平方根等于它本身的数一定是1 C. －2是4的平方根 D. 的算术平方根是4 2. 下列实数中，无理数是（　　） A. 0 B. ﹣4 C. D. 3. 满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 4. 如图，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为( ) A. 12 B. 15 C. 18 D. 12或15 6. 如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 2 7. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点B′恰好落在BC边上，则 的度数为（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 100° 8. 如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（ ） A. 4， B. 4，3 C. 4， D. 3，5 9. 在ABC中，已知D为直线BC上一点，若，，且，则β与α之间不可能存在的关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 2026精确到百位记作为_____． 12. 若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__度． 13. 在实数1.414， ， ，，，中是无理数的有_______个． 14. 如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________ 15. 如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为__________． 16. 如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为______m2． 17. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC=________° 18. 如图，在中， ，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为_______． 三、解答题（本大题共有9小题，共66分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 求下列各式中x值： （1） （2） 21. 已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． （1）求的值； （2）求的平方根． 22. 图1、图2分别是8×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求： （1）在图1中画一个以线段AB为一边，面积为15的轴对称图形，且所画图形的各顶点必须在小正方形的顶点上． （2）在图2中画一个以线段AB为一边的等腰三角形，所画等腰三角形的各顶点必须在小正方形的顶点上． （3）直接写出图2所画三角形的面积． 23. 已知：如图，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 24. 如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求△的周长； （2）若，求的度数． 25. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF． （1）试判断EF和AC的位置关系，并说明理由 （2）若BD=26，EF=5，求AC的长 26. 我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）已知，，求的长． 27. 【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA； 【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年无锡市吴风实验学校八年级（上）期中数学试卷 考试时间为100分钟，满分120分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 9的立方根是3 B. 算术平方根等于它本身的数一定是1 C. －2是4的平方根 D. 的算术平方根是4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：利用立方根及平方根定义判断即可得到结果． 解：9 的立方根为 ，故A.错误； 算术平方根等于本身的数是0 和1 ，故B错误； −2 是4 的平方根，故C正确； ＝4，4 的算术平方根为2 ，故D错误. 故选C. 2. 下列实数中，无理数是（　　） A. 0 B. ﹣4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：0，﹣4是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 3. 满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理进行计算可得答案．此题主要考查了勾股定理逆的定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 【详解】解：A．，，，， ， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意． B．，，，， ， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意． C．， 设，，， ， ， 满足勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意． D．， 设，，， ， ， ， 不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 4. 如图，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，即可求出点A所表示的数． 【详解】解：如图所示， ， 由图可知， 所以点A到原点的距离为， 故点A所表示的数是． 故选：A 【点睛】本题考查勾股定理以及在数轴上表示无理数的方法，掌握解答的方法是关键． 5. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为( ) A. 12 B. 15 C. 18 D. 12或15 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，可得 ，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 当6为腰时，等腰三角形三边为6，6，3，则周长为 ； 当3为腰时，等腰三角形三边为6，3，3，有 ，不能构成三角形，不合题意， ∴等腰三角形的周长为15． 故选：B 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，等腰三角形的定义，熟练掌握绝对值和二次根式的性质，有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 6. 如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可； 本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴， 故选A． 7. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点B′恰好落在BC边上，则 的度数为（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，由等腰三角形的性质得到 ，然后根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵∠B＝50°， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变换——旋转，等腰三角形的性质，平角的定义，解题的关键是熟练掌握图形旋转前后的对应角相等，对应边相等． 8. 如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（ ） A. 4， B. 4，3 C. 4， D. 3，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， 由折叠的性质得： ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得： ，即， 故答案为：A． 9. 在ABC中，已知D为直线BC上一点，若，，且，则β与α之间不可能存在的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需要分点在线段上，在延长线上，在延长线上讨论，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求与的等量关系式． 【详解】解：当点在线段上， ，， ， ， ， ， ， 即，故A不符合题意； 当点在线段的延长线上， 同理可得：，故B不符合题意； 当点在线段的延长线上， 同理可得：，故C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，解题的关键是注意分类思想的应用． 10. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点，先证明四边形是矩形，再证明，继而解得，证明三点同在一条直线上，再证明，中，由勾股定理解得 的长，证明得到，最后由三角形面积公式解答． 【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点 在正方形中， ， 正方形中， ， 四边形是矩形 在和中， ∴，， 三点同在一条直线上， 四边形是矩形 在与中 ∴ 四边形是正方形 设正方形的边长为 则 ， （舍去） 在与中 ∴ 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 2026精确到百位记作为_____． 【答案】2.0×103 【解析】 【分析】根据近似数的精确度求解． 【详解】2026精确到百位记作为2.0×103， 故答案为2.0×103． 【点睛】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法. 12. 若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__度． 【答案】35 【解析】 【详解】试题分析：∵等腰三角形的一个外角等于70°，∴等腰三角形的一个内角为110°，且只能为顶角，∴等腰三角形的底角为：（180°-110°）÷2=35°，故答案为35°． 考点：等腰三角形的性质． 13. 在实数1.414， ， ，，，中是无理数的有_______个． 【答案】4 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数）分类即可． 【详解】解：，， ∵无理数是无限不循环小数， ∴属于无理数的是：，，，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了无理数，解决本题的关键是掌握求解一个数的算术平方根和立方根． 14. 如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________ 【答案】135° 【解析】 【分析】先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案． 【详解】解：如下图 ∵在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠BAC＝∠4， ∵∠BAC＝∠1， ∴∠4=∠1， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵AG=DG，∠AGD=90°， ∴∠2=45°， ∴∠1+∠2+∠3=135°， 故答案为：135° 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 15. 如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【详解】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°， ∴∠ABC=∠DAE， ∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)， ∴BC=AE，AC=ED， 故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16， 即正方形b的面积为16. ， 点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键. 16. 如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为______m2． 【答案】120 【解析】 【分析】利用角平分线的性质定理证明，再根据△ABD的面积为320 m2，求出，即可求出△ACD的面积． 【详解】解：作， ∵AD是的角平分线， ∴， ∵AB＝40 m，AC＝30 m，△ABD的面积为320 m2， ∴，解得：， ∴， ∴△ACD的面积为． 故答案为：24 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． 17. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC=________° 【答案】45 【解析】 【详解】过C作CE⊥AB于点E，连接DE， 则有∠AEC=∠BEC=90°， ∵∠CAB=45°，∠B=30°， ∴∠ACE=∠CAB=45°，∠BCE=60°， ∴AE=CE， ∵AD为三角形的中线， ∴BD=CD=DE=BC， ∴∠BED=30°， ∴△CED是等边三角形， ∴DE=CE=AE，∠CDE=60°， ∴∠ADE=∠DAE=∠BED=15°， ∴∠ADC=∠CDE﹣∠ADE=45°， 故答案为45． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角等，正确地添加辅助线是解题的关键. 18. 如图，在中， ，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 过点C作于点K，过点A作于点H，过点C作交的延长线于点N，证明，则，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【详解】解：如图，过点C作于点K，过点A作于点H， 在中， ∵， ∴, ∴ ∴, 在中， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∵点D为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 过点C作交的延长线于点N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 可得， 在中， ， 当直线时，和重合，最大值为， 综上所述，的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9小题，共66分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，绝对值二次根式的加减，立方根，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算零指数幂，绝对值，再进行二次根式的加减即可； （2）先计算立方根，二次根式运算，绝对值，再进行二次根式的加减即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 求下列各式中x值： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理得，再等号两边同时开立方，得到一个一元一次方程，即可求解． （2）将原方程整理得，再等号两边同时开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 两边同时开立方，得 解得． 【小问2详解】 解： 两边同时开平方，得或 解得，． 21. 已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根、立方根的定义可得，进而求出，，再进行计算即可； （2）求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 解得，， ； 【小问2详解】 解：， 的平方根为． 22. 图1、图2分别是8×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求： （1）在图1中画一个以线段AB为一边，面积为15的轴对称图形，且所画图形的各顶点必须在小正方形的顶点上． （2）在图2中画一个以线段AB为一边的等腰三角形，所画等腰三角形的各顶点必须在小正方形的顶点上． （3）直接写出图2所画三角形的面积． 【答案】（1） 如图，画高为3的矩形即可； （2） 所画图形如下所示：可得； （3）面积为7.5 【解析】 【分析】（1）如图，可画一个高为3的矩形，即可满足题干要求； （2）如图，利用格点三角形找到，从而可画出等腰三角形； （3）结合（2）根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）中图形可得． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 23. 已知：如图，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 即， 在和中， ， ∴； （2） ， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证得，可证明． （2）由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求△的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， ∵， ∴的周长为 ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF． （1）试判断EF和AC的位置关系，并说明理由 （2）若BD=26，EF=5，求AC的长 【答案】（１）结论是：EF⊥ AC， ∵点E是BD中点，∠BAD=∠BCD=90°，BD=26 ∴AE=，CE= ∴AE=CE， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥ AC； （2）24． 【解析】 【分析】（1）结论是：EF⊥ AC，点E是BD中点，∠BAD=∠BCD=90°，由直角三角形的性质AE=，CE=，得到AE=CE，由点F是AC的中点，结论可证； （2）在Rt△AEF中，EF=5，由勾股定理得AF=，点F是AC的中点，则AC=2AF即可． 【详解】（1）略 （2）∵EF⊥ AC， 在Rt△AEF中，EF=5，AE=13， 由勾股定理得AF=， ∵点F是AC的中点， ∴AC=2AF=24． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，中点定义等知识，掌握这些知识，抓住直角三角形斜边中线，起到很重要的作用． 26. 我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解答； （2）． 【解析】 【分析】（1）由翻折得，，则，所以是直角三角形； （2）由题意可知，，可得，根据翻折可得，，，，，，，则、、在同一直线上，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 由翻折可知，，，，， ，，， 则、、在同一直线上，， ∴在中，，则， 在中，， ∴在中， 【点睛】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法，证明、、在同一直线上，是解题的关键． 27. 【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA； 【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】 （1）解：如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB， 即DA=DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM=CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°， ∴∠AMD=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADE=∠MDC， ∴∠ADM=∠EDC， ∵直线a∥AB， ∴∠ACE=∠BAC=60°， ∴∠DCE=120°=∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ∴△ADM≌△EDC(ASA)， ∴AM=EC， ∴CA=CM+AM=CD+CE； 即CD+CE=CA. （3）∠EAF= 【解析】 【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB； （2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∠EAF=； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∴∠EAF=. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $