相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点目录 相似三角形的判定 相似三角形的性质 相似三角形的判定与性质综合 考点一 相似三角形的判定 例1.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，在ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且AE·AB=AD·AC,连 接DE,BD D B (I)求证：△ADE∽△ABC. (②)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长 【答案】(1)见解析 o号 【详解】(1)证明：~AE·AB=AD·AC, &E0 AC-AB 又∠A=∠A, △ADE∽△ABC: (2)解：点E为AB中点，AB=20, AB=号4B=0, AD:AE=6:5, AD=12, 根据解析(1)可知： AE AD AC AB' ÷10-12 AC20, 解得：4C=50 ， CD=AC-AD=5 214 3 1 例2.(25-26八年级上·上海期中)己知在梯形ABCD中，ADBC,∠AEB+∠C=180°； 1 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 E (I)求证：△ADE∽△DBC; (2)连接EC,若CD2=AD·BC,求证：∠DCE=∠ADB. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：~ADBC, ∠ADE=∠DBC, ∠AEB+∠C=180°，∠AEB+∠AED=180°， ·∠AED=LC, 在△ADE与△DBC中， ∠ADE=∠DBC ∠AED=∠C' △ADEn△DBC; (2)证明：如图， E B 由(1)知，△ADEn△DBC, .AD_DE DBBC,即DEDB=ADBC, CD2=AD.BC, ∴CD2=DEDB, 即CD、DE DBCD,且∠CDE=LBDC, ACDE∽△BDC, .ZDCE ZDBC ∠ADE=∠DBC, 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 ∴.∠DCE=∠ADB. 6九年级上：陕西榆林期中)如图，在ABC中，D为AC边上二点，AD=),CD=2,8 △CDB∽△CBA. 【答案】见解析 【详解】证明：金4C中，D为4C边上一点，D-8C=3,=2, 5 +23 AC_AD+CD=2 一= BC BC 32 BC 3 CD2' BC_AC CD BC ZBCD=ZACB, ∴.△CDBn△CBA. 例4.(25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE1BC交BC边于点E,点F在 边AD上，且DF=BE,连接BF交AE于点H. F D H B (I)求证：四边形AECF是矩形； (2)若BF平分∠ABC,且BE=2,AB=6,求线段AH的长. 【答案】()见解析 (2)4H=3V2 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC. BE=DF,:.AF=EC. ∴四边形AECF是平行四边形. 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 AE⊥BC,∠AEC=90°. 四边形AECF是矩形. (2)解：BF平分∠ABC,AD∥BC, LABF=∠CBF=∠AFB. :AB=AF=6. ∴在Rt△ABE中，AE=VAB2-BE2=V6-22=42. ~四边形ABCD是平行四边形， AF∥BE. .△AHF∽△EHB. AH AF 6 HE-BE-2-3. 3 ·AH=AE=3×4V2=3N2 4 4 例5.(25-26九年级上·湖南常德·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点F,E分别在线段BC.AC上， 且∠FAC=∠ADE,AC=AD. A B (I)求证：△DAE≌△ACF; (2)请添加一个条件 ,使△ABF∽△CDE,并写出证明过程. 【答案】()见解析 (2)LB=LCDE或LBAF=∠DCE或AF:CE=BF:DE,证明过程见解析 【详解】(1)证明：ADIBC, ∠DAE=∠ACF, ∠FAC=∠ADE,AC=AD. ADAE≌△ACF(ASA: (2)解：添加条件∠B=∠CDE; △DAE≌△ACF; ∠AED=∠AFC, l80°-∠AED=180°-∠AFC,即∠DEC=∠AFB, 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 ∠B=∠CDE, △ABF∽△CDE; 同理还可添加条件：∠BAF=∠DCE或AF:CE=BF:DE· 变式1.(25-26九年级上·吉林长春月考)如图，平行四边形ABCD中，AE1BC于E,AF⊥CD于F,BD与AE 、AF分别相交于点G、H.求证：△ABE∽△ADF, D H F E 【答案】见解析 【详解】证明：：AE⊥BC,AF⊥CD, LAEB=LAFD=90°， :四边形ABCD是平行四边形， .∠ABE=∠ADF, .△ABE∽△ADF. 变式2.(25-26九年级上广东佛山期中)如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，∠A=36°. B C (I)尺规作图：作∠B平分线，与AC的交点记为点D.(保留作图痕迹，不写作法) (2)证明△ABC∽△BCD. 【答案】()见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：如图，射线BD即为所作， (2)解：AB=AC,∠A=36°， J 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 ∠ABC=∠C=180°∠4=72， 2 由作图可得：BD平分∠ABC, ∠CBD=)∠ABC=36 ∠CBD=∠A, :∠ACB=LBCD, ∴.△ABCn△BCD 变式3.(25-26九年级上陕西渭南期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，连接BD, ∠ABD=∠C.请你用尺规作图法在BC边上找一点E,连接DE,使得△ABD∽△ECD,(不写作法，保留作图痕 迹) B D 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，点E即为所求： B H G 变式4.(25-26九年级上·江西·阶段练习)如图，在等腰ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的角平分线，BE是腰 AC边上的高，垂足为点E.求证：△ACD∽△BCE. E B D C 【答案】见解析 【详解】证明：：等腰ABC中，AD平分∠BAC, .AD⊥BC, :∠ADC=90°， ∠CAD+∠C=90°， 6 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 :BE⊥AC, ∠BEC=90°， LCBE+LC=90°， LCAD=∠CBE, :∠ADC=∠BEC=90°， △ACD∽△BCE. 变式5.(25-26九年级上广东·期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,∠ABC+LADB=180°，求证： △ABD∽△BDC, B D 【答案】见解析 【详解】证明：：AB∥DC, ∠ABD=∠BDC,∠ABC+∠C=180°， :∠ABC+∠ADB=180°， .∠C=∠ADB, △ABD∽△BDC. 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点二 相似三角形的性质 例1.(25-26九年级上重庆期中)如图，ABC和△EDF是以点O为位似中心的位似图形，若0B:BD=2:5, △A0C的面积为4，则△E0F的面积为() A.6 B.8 C.9 D.25 【答案】C 【详解】解：：OB:BD=2:5, ,0B2 BD 5' BD=0B+OD, 0B2 0B+0D5 50B=2(0B+0D 50B=20B+20D 30B=20D OB 2 0D3' :△ABC和△EDF是以点O为位似中心的位似图形， △AOC∽△EOF, S. 12 3 9 :△A0C的面积为4， aD0F的面积为9. 故选C. 例2.(25-26九年级上，湖南永州期中)如图，在ABC中，MN平行于BC,AM:BM=1:2,则三角形△AMN与 四边形MBCN的面积比是() 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 M A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:9 【答案】C 【详解】解：MW‖BC, ∴∠AMN=∠B, LMAN=∠BAC, △MAN∽aBAC, AM:BM=1:2, .AM:BA=1:3 :三角形AMW的面积与四边形MBCN的面积比为1：8， 故选：C. 例3.(25-26九年级上·北京顺义期中)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F,若 ED3,AB=4,则AF的长为(). AE 1 D B A.2 D.3 【答案】B 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,且AB=CD=4, LF=∠ECD,∠EAF=∠D, ÷△AEFn△DEC(AA, AE AF ED CD AE 1 ED=3 CD=4, 0 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 故选：B 例4.(25-26九年级上·浙江宁波月考)如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E,AB∥EF∥DC,若 BE:ED=35,则S的值为《) D E B 3 B. c 3 D.25 【答案】C 【详解】解：AC与BD相交于点E,AB川DC, ·∠A=∠DCE,∠ABE=∠D AABE∽△CDE, BE:ED =3:5 S.ABE=( 9 D' 25’ 故选：C. 例5.(25-26九年级上重庆期中)如图，在ABC中，DE∥BC，当S△4DE:S西边彩D8cE=9:16，BC=10,则 DE的长为」 B 【答案】6 【详解】解：~S△4De:S酒边形DCE=9:I6, ∴设S.DE=9k，则S西边形D8cE=16k, ∴S.4BC=S。ADE+S医边形DBCE=9k+16k=25k, S.4DE:S.4Bc=9k:25k=9:25, 10相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点目录 相似三角形的判定 相似三角形的性质 相似三角形的判定与性质综合 考点一 相似三角形的判定 例1.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，在ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且AE·AB=AD·AC,连 接DE,BD D B (I)求证：△ADE∽△ABC. (2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长. 例2.(25-26八年级上·上海·期中)己知在梯形ABCD中，ADIBC,∠AEB+∠C=180°； D ⊙ (I)求证：△ADE∽△DBC; (②)连接EC,若CD2=AD·BC,求证：∠DCE=∠ADB. 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 年级上陕西榆林期中)如图，在ABC中，D为AC边上一点，AD,CD △CDB∽△CBA. D B 例4.(25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E,点F在 边AD上，且DF=BE,连接BF交AE于点H. F D H B (I)求证：四边形AECF是矩形： (2)若BF平分∠ABC,且BE=2,AB=6,求线段AH的长. 2 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 例5.(25-26九年级上湖南常德·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F,E分别在线段BC.AC上， 且∠FAC=∠ADE,AC=AD. A (I)求证：△DAE≌△ACF; (2)请添加一个条件 ,使△ABF∽△CDE,并写出证明过程. 变式1.(25-26九年级上·吉林长春·月考)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD与AE 、AF分别相交于点G、H.求证：△ABE∽△ADF, B E 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 变式2.(25-26九年级上广东佛山期中)如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，∠A=36°. B C (I)尺规作图：作∠B平分线，与AC的交点记为点D.(保留作图痕迹，不写作法) (2)证明△ABC∽△BCD. 变式3.(25-26九年级上·陕西渭南期中)如图，在Rt△ABC中，LA=90°，点D在AC边上，连接BD, LABD=∠C,请你用尺规作图法在BC边上找一点E,连接DE,使得△ABD∽△ECD,(不写作法，保留作图痕 迹) B 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 变式4.(25-26九年级上江西·阶段练习)如图，在等腰ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的角平分线，BE是腰 AC边上的高，垂足为点E.求证：△ACD∽△BCE, 变式5.(25-26九年级上：广东~期中)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,∠ABC+∠ADB=180°，求证： △ABD∽△BDC. B 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点二 相似三角形的性质 例1.(25-26九年级上重庆期中)如图，ABC和△EDF是以点O为位似中心的位似图形，若0B:BD=2:5, △AOC的面积为4，则△EOF的面积为() A.6 B.8 C.9 D.25 例2.(25-26九年级上·湖南永州期中)如图，在ABC中，MN平行于BC,AM:BM=1:2,则三角形△AMN与 四边形MBCN的面积比是() M 的 A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:9 例3.(25-26九年级上·北京顺义·期中)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F,若 ED有'AB=4,则AF的长为(). A E D B A.2 B. C.4 D.3 6 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 例4.(25-26九年级上浙江宁波月考)如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E,AB∥EF∥DC,若 BE:ED=3:5, S4旺的值为(） D E B 5 A. B. 3-5 c D. 3 例5.(25-26九年级上重庆期中)如图，在ABC中，DE∥BC,当S△DE:S西边形D8cE=9:16,BC=10,则 DE的长为」 D E 例6.(25-26九年级上北京顺义·期中)如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC,如果 DE:BC=1:3,那么AD:DB的值等于一 A D B 变式1.(25-26九年级上甘肃酒泉·月考)如图，在ABC中，CD,BE分别是ABC的边AB,AC上的中线，则 S△DE() SABCF D B C A. 2 1 B.3 4 D.4 > 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 变式2.(25-26九年级上·黑龙江绥化期中)如图在ABC中，点D,E为边AB的三等分点，点F,G在边BC上， AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为() A.1 B.1.5 C.2 D.3 变式3.(25-26九年级上四川达州期中)如图，已知△ACP∽△ABC,AC=4,AP=2,则PB的长为 变式4.(2025山西朔州模拟预测)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在BC,AC上， 且LABE=∠CAD,若BD=√6，CD=√2，则EC的长度是一· 变式5.(25-26九年级上山西临汾·期中)如图，在RtAPMO中，∠PMQ=90°，PM=MQ=2,将PM绕着点P按 顺时针方向旋转60°得到PA,连接AQ交PM于N点，则MN的长为 0 M 变式6.(25-26九年级上辽宁鞍山期中)如图，AD与BC交于0点，∠A=∠C,B0=4,D0=2,AB=3,则 CD的长为_ A D 8 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点三 相似三角形的判定与性质综合 例1.(25-26八年级上·浙江宁波期中)如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点. B B 图① 图② 图③ (I)若AE⊥EF,∠EFC=a,则∠BAE= (2)若E是BC中点： ①如图1，若AE=EF,求证：LBAE=LEFC; ②如图2，若CF=DF,连接BF交AE于G,求S.BGE:S。AEr的值； (3)如图3，若AB=3,AD=5,CF=1,∠AEB=∠AFE=∠EFC,求AF的长. 例2.(25-26九年级上山东威海·月考)如图三角形ABC,BC=I2,AD是BC边上的高AD=8.P,N分别是AB ,AC边上的点，Q,M是BC上的点，连接POMN,PN交AD于E.求： D B B B O DM DM 图一 图二 备用图 (I)若四边形PQMN是正方形，求PQ的长（图一）； (2)若四边形PQMN是矩形，且PQ:PN=1:2.求PO、PN的长（图二）： (3)若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长. 0 相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合专项训练 例3.(25-26九年级上广东深圳期中)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了 如下探究： B 图1 图2 【观察与猜想】 ①)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE⊥CF,则PE的值为-： ②如图2，矩形4BCD中，AD,CD=4,点E是D上的一点，连接CEBD,且CE L BD,则的 值为； 【类比探究】 (③)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED的延长 线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE·AB=CF·AD; D G 图3 图4 【拓展延伸】 《④如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9,0将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD,点 E,F分别在边AB,AD上，连接DE,CF,DE⊥CF. ①DE的值为： CE ②连接BF,若AE=1,则BF的长度为_· 9