反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何综合专项训练-2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何综合专项训练 反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何综合 专项训练 考点目录 反比例函数的图像与性质 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与几何综合 考点一 反比例函数的图像与性质 例1．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）对于反比例函数其中，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第一、第三象限 C．该函数的图象与轴没有交点 D．随的增大而增大 例2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且点，均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 例4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像分布在第二、四象限内 B．图像经过点 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点，都在函数的图像上，且时，则 例5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 例6．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点，和都在反比例函数（k为任意实数）图象上，则，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东威海·月考）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．随的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．当时， 变式3．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）对于双曲线，时，随的增大而减小，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）若点，都在反比例函数的图像上，则 （填>，<或=）． 变式5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”号连接）． 考点二 反比例函数与一次函数综合 例1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)连接，，求． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． (1)求k的值及点B的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)已知点D在x轴上，的面积为8，求点D的坐标． 例3．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)当的面积为9时，求一次函数的表达式． (3)根据图象，写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 变式1．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 变式2．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 变式3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，，求四边形的面积． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b和k的值; (2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； (3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 考点三 反比例函数与几何综合 例1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，若点的横坐标为3，点的纵坐标为，经过点的直线与轴，轴分别交于、，与反比例函数在第一象限交于点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)当时， （ⅰ）点为反比例函数在第一象限的图象上一点，若的面积是面积的两倍时，求点的坐标； （ⅱ）点为直线上一点，点为坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 例2．（25-26九年级上·山西吕梁·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出的解集； (3)点P是反比例函数第二象限上一点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求P点坐标． 例3．（25-26九年级上·广西来宾·月考）如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，连接． (1)求两点的坐标； (2)求的面积； 例4．（25-26九年级上·河南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． (1)求点的坐标及的值； (2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求的面积． (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ (3)若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接 并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； (3)点 P 为 x 轴上一动点，连接 ，将线段 绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 变式3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于的不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出的值． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，直线与反比例函数图象交于，B两点． (1)求点坐标及反比例函数表达式； (2)点是点右侧反比例函数图象上的一动点，过点作垂线，交反比例函数图象于点（异于点），连接．过点作的平行线交反比例函数图象于点，连接，当面积为时，求直线表达式； (3)取中点，连接，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何综合专项训练 反比例函数的图像与性质、反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何综合 专项训练 考点目录 反比例函数的图像与性质 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与几何综合 考点一 反比例函数的图像与性质 例1．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）对于反比例函数其中，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第一、第三象限 C．该函数的图象与轴没有交点 D．随的增大而增大 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数，其中， ∴当时，，故点不在图象上，A错误； ∵，图象仅在第一象限，不在第三象限，故B错误； ∵对于所有，图象与x轴无交点，故C正确； ∵，在时，y随x增大而减小，故D错误； 故选C． 例2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 当 时，有， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 例3．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且点，均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 代入得： ， ， 解析式为 ． 点，均在反比例函数的图象上 ∴， ∴ 故选：C． 例4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像分布在第二、四象限内 B．图像经过点 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点，都在函数的图像上，且时，则 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴图像分布在第二、四象限内，故原说法正确，不符合题意； B、当时，， ∴图像经过点，故原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴当时，y随x的增大而增大，故原说法正确，不符合题意； D、令，，则，， 此时且，故原说法不正确，符合题意； 故选：D． 例5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 例6．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ． 【答案】6 【详解】解：直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、， 和关于原点中心对称，， ，， ． 故答案为：6． 变式1．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点，和都在反比例函数（k为任意实数）图象上，则，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵点在第一象限，点和点在第三象限， ∴，，，故最大， 又∵在第三象限内，随的增大而减小，且， ∴；综上所述，． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·山东威海·月考）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．随的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．当时， 【答案】B 【详解】解：A：当时，，∴图象经过点，正确； B：∵，∴函数图象分布在一三象限，在每个象限内随增大而减小，故错误； C：反比例函数图象关于原点对称，正确； D：当时，，当时，随增大而减小，∴当时，，正确； 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）对于双曲线，时，随的增大而减小，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，随的增大而减小， ， ． 故选． 变式4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）若点，都在反比例函数的图像上，则 （填>，<或=）． 【答案】< 【详解】解：点，都在反比例函数的图像上， ， ， ． 故答案为：<． 变式5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”号连接）． 【答案】 【详解】解：由于，故， 故反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点在第二象限,故； 点，在第四象限，故； 综上，． 故答案为：． 考点二 反比例函数与一次函数综合 例1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)连接，，求． 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． ，， ，， ，反比例函数的解析式为； （2）解：， 解得，， 故， 设与y轴的交点为C， ， ， 如图，连接、，． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． (1)求k的值及点B的坐标； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)已知点D在x轴上，的面积为8，求点D的坐标． 【答案】(1)； (2)4 (3)或 (4)点D的坐标为或 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1， ∴把代入得， ∴， ∴； 解析式联立， 解得或， ∴； （2）解：设直线与x轴的交点为C， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：观察图象，不等式的解集为或； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为或． 例3．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【详解】（1）解：代入到，得， ∴反比例函数的解析式为， 代入到，得， ∴， 代入和到，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知，当或时，， ∴关于x的不等式的解集为或． 例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)当的面积为9时，求一次函数的表达式． (3)根据图象，写出使一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； （2）解：设点，连接， ∵的面积为9， ∴， 解得：， ∴， 将点，代入一次函数得， ， 解得：， ∴； （3）解：根据图象可知，当一次函数值大于反比例函数值时，． 变式1．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入，则， ∴双曲线表达式为， 将点代入，则， ∴， ∴， 然后将，代入，得， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：∵，， ∴当时，或． 变式2．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 把代入得：， ∴， ， 设， 由题意， 解得， ∴或． （3）解：观察图象可得：不等式的解集为：或． 变式3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ，即， ∴反比例函数的表达式为． （2）设直线的表达式为， 将，两点的坐标代入，得，解得 直线的表达式为． 令，得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为， ， 解得，即点的横坐标为． 由题意知，， ． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求b和k的值; (2)求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； (3)将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【详解】（1）解：把点代入得， ， ∴， 把代入得； （2）解：由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得 解得或， ∴， ∴由函数图象可知不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，， ， ， 解得， ∵将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C． ∴， ∴． 考点三 反比例函数与几何综合 例1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，若点的横坐标为3，点的纵坐标为，经过点的直线与轴，轴分别交于、，与反比例函数在第一象限交于点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)当时， （ⅰ）点为反比例函数在第一象限的图象上一点，若的面积是面积的两倍时，求点的坐标； （ⅱ）点为直线上一点，点为坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)正比例函数解析式：，反比例函数解析式： (2)（ⅰ）；（ⅱ）或或或 【详解】（1）∵正比例函数与反比例函数图象都是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点， ∴关于原点对称， ∵点的横坐标为3，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴正比例函数解析式：，反比例函数解析式： （2）（i）如图1，作轴于，作轴于， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得 ∴， ∴点到的距离是点到距离的两倍， ∴当点在上时，的面积是面积的两倍， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设 ∵ ∴ 解得：或（舍去） 当时， ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得：（负值舍去） ∴ （ⅱ）如图 ∵， ∴， ∴ ∴的中点为 ①当时，则点和重合时， ∵、、、为顶点的四边形为菱形 设， ∴的中点重合， ∴ 解得； ∴； ②当时， 设 ∴ 解得：或 ∴或 ∴或 ∴或 解得：或 ∴或 ③当，则垂直平分， ∴ 解得： ∴, ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 例2．（25-26九年级上·山西吕梁·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出的解集； (3)点P是反比例函数第二象限上一点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：依题意把代入，得出 解得 ∴ 把代入中，得出 ∴ 则把和分别代入 得出 解得 ∴； （2）解：由（1）得，， 依题意，得一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． ∴的解集即的解集是或． （3）解：∵点P是反比例函数第二象限上一点，过点P作轴，交直线于点Q， ∴当时，如图所示： 设到的距离是， 则 ∵， ∴， 即， 过点A作平行于轴的直线，交过点B作平行于轴的直线于点 ∵轴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴ ∴ ∵轴， ∴, 把代入，得 ∴； 当时，如图所示： 设到的距离是， 则 ∵， ∴， 即， 观察图中，当时，， 故此种情况不存在，故舍去， 综上，． 例3．（25-26九年级上·广西来宾·月考）如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，连接． (1)求两点的坐标； (2)求的面积； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点， 联立方程得：， 即，， 化简，， 解得，，， ∴，， ∴，， （2）当时，即， 解得，， ∴， ∴， ∴ ． 例4．（25-26九年级上·河南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． (1)求点的坐标及的值； (2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为 【详解】（1）解：（1）∵直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，； 当时，． ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，直线的解析式为， 如图1，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数y的图象上， ∴， ∴． 答：，． （2）解：设，，且， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图2， 则，， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为． （3）解：如图3，设直线交轴于点，连接，过点作轴于点， 由（2）知：直线的解析式为， 则， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 由图象可知，当点从点运动到点时，逐渐减小， ， ． ，点关于轴的对称点为， 当点在的延长线上时，点在的延长线上，此时点与点关于点中心对称， ∴点的坐标为． 变式1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求的面积． (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ (3)若双曲线上存在一点P，使得和的面积相等，请直接写出点P坐标． 【答案】(1) (2)1或9个单位长度 (3)或 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入，得； ， 把，代入得， ， 解得，． 一次函数的解析式为， 把代入，得， ． ； （2）解：设直线向下平移个单位长度，则直线， 根据题意列出方程：， 整理，得． 由于直线与反比例函数图象只有一个交点， 所以． 解得，． 所以将直线向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点； （3）解：，， ， 当点在的平分线上时，，如图， ， ， ． ，平分， ， 把代入，可得， ， ， 如图，过点作， ， 点横纵坐标相等， 设， 即， ， ， 故点坐标为，使得和的面积相等． 根据反比例函数图象的对称性可得或． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接 并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； (3)点 P 为 x 轴上一动点，连接 ，将线段 绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将代入得， ∴点的坐标为； 设反比例函数为， 将点代入得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立 整理得， 解得，， 将代入得， ∴点的坐标为； 连接，作轴，轴， 在中， 由勾股定理求得， 取中点即，， 则是的垂直平分线， 由图知，若为等腰三角形， 当时， 则在的垂直平分线上， ∴是与反比例函数的交点， 设解析式为，代入得： ， ， ∴解析式为， 联立 解得：， ∵在第四象限， ∴点横坐标为，将代入， 得， ∴， 设解析式为，代入，， ， ， ∴解析式为， 令， 解得， ∴； 由于A、B在第二象限，D在第四象限，若或，则需以A或B为圆心、为半径的圆与反比例函数在第四象限有交点，经分析无解，故只有成立， 故； （3）解：分两种情况讨论旋转方向： 顺时针旋转∶ 设点，点， 过作轴，， ∴， 由题意， 则， ∴， ∴， ∴， 则， ， ∴， ∵在上，代入得： ， 整理得， 判别式，无实数解； 逆时针旋转： 设点，点， 过作轴，， ∴， 由题意， 则， ∴， ∴， ∴， 则， ， ∴， ∵在上，代入得： ， 整理得， 解得， ∵， ∴． 变式3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于的不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3)或9 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又在反比例函数的图象上， ， ∴， 把，代入得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象得不等式的解集为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：，，， 当是斜边时，作轴，轴交于，过P作轴交的延长线于M，作轴交于G， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， 解得：， 当是斜边时，作轴，轴，过P作轴交的延长线于M，作轴交于G， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， 解得：， 的值为：或9． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，直线与反比例函数图象交于，B两点． (1)求点坐标及反比例函数表达式； (2)点是点右侧反比例函数图象上的一动点，过点作垂线，交反比例函数图象于点（异于点），连接．过点作的平行线交反比例函数图象于点，连接，当面积为时，求直线表达式； (3)取中点，连接，求的最小值． 【答案】(1)，反比例函数 (2) (3)最小值为 【详解】（1）将代入，得：， ∴， ∴直线为． 将代入，得：， ∴， ∴反比例函数为． 联立方程组： ∴ 故点，反比例函数为． （2） 设，， ∵， ∴在中， ， ， ， 则 ∵点C是点A右侧，不与点重合， ∴， ∴ ∴ ∴点为 设点， 作轴，轴交于， 作轴，轴交于， 点， ∴ ∵ ∴ ∴在和中， ， ∴ ∴， 将代入得右边比值为 ∴， ∴， 则点 过点作轴的垂线，作直线于， 直线于，于直线相交于点， 由点，，得 直线， 则点， ∵， 即 ∴ 即 ∵， ∴ ∵为， ∴， 将，直线代入得 故直线解析式为． （3）由（2）得，， 则中点： ， ∵ ∴点在直线上， ∴点到直线距离最小． 过点作直线， 过点作轴与直线交于， 设点，则点 ，， 由得 ， 解得，（舍）不与重合， 所以， 故AF的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $