核心5 指数与指数函数【讲】小题狂练（实战高考）大二轮

核心5 指数函数与对数函数 1.指数函数的图象及其应用 （1）底数对指数函数图象的影响 当时，越大，指数函数的图象在轴右侧部分越靠近轴； 当时，越小，指数函数的图象在轴左侧部分越靠近轴． 在如图1所示的指数函数图象中，底数的大小关系为．在轴右侧，图象从上至下相应的底数由大变小，形象记为“底大图高”．相应地，在轴左侧“底大图低”． （2）“底大图高”的判断依据 如图1，作直线，则直线与各指数函数图象交点的纵坐标即为各指数函数的底数，分别为，则．可见在轴右侧底数越大，图象越高． （3）图象的对称性 ①底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个函数的图象画出另一个函数的图象． ②（且）为偶函数，其图象如图3所示． 2．对数函数的图象及其应用 （1）底数对对数函数图象的影响 如图1，在直线的右侧，轴的上方，底数越大，对数函数的图象越靠近轴，且底数均大于1；轴的下方，底数越小，对数函数的图象越靠近轴，且底数均在之间． 图中的对数函数的底数的大小关系是． （2）底数大小的判断依据 如图1，作直线，则直线与各对数函数图象交点的横坐标即为各对数函数的底数，分别为，结合单调性，可得． （3）图象的对称性 ①底数互为倒数的两个对数函数且的图象关于轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个对数函数的图象画出另一个对数函数的图象． ②函数（，且）为偶函数，其图象关于轴对称，如图3（1）（2）． ③指数函数（，且）和对数函数（，且）互为反函数，其图象关于直线对称，如图4. 3．方程的根和方程的根的关系 ①若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数. 特别地，与互为反函数. ②在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于对称，即与分别在函数与反函数的图像上. ③若方程的根为，方程的根为，则. 大招1：结论法 【典例1】已知函数是其定义域上的奇函数，则______． 【答案】1 【大招解读】在指数型函数中，函数，且有着极其特殊的地位，我们经常遇到形式各异且与指数函数有关的问题，都与这个函数有一定的联系．下面从三个方面来研究这个函数的性质： （1）的奇偶性：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数． （2）的单调性：因为函数，所以当时，由复合函数的单调性可知在上单调递增；当时，在上单调递减． （3）的值域：令，则，结合（2）知原函数等价于，易知在区间上单调递增，所以，故的值域为． 除了函数，且，常考查的指数型复合函数还有： 函数解析式 奇偶性 单调性 偶 在上单调递减，在上单调递增 奇 时，在上单调递增 时，在上单调递减 奇 时，在上单调递减 时，在上单调递增 奇 时，函数在上单调递减 时，函数在上单调递增 【详细解析】函数符合这一形式时奇函数，则中． 【举一反三】 1. 已知函数是偶函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 大招2：辅助线法 【典例2】如图，曲线，，，分别对应函数，，，的图象，则（ ） A．     B． C．     D． 【答案】A 【大招解读】根据对数函数特点，可作直线，根据各曲线与直线的交点越靠左，对应底数越小判断即可.指数函数作出直线即可得到底数的大小. 【详细解析】作直线，它与各曲线，，，的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：.故选：A. 【举一反三】 2. 已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作出直线得到，即得解. 【详解】 如图，作出直线得到， 所以. 故选：B 陷阱1：忽视参数的隐含条件 【典例3】已知函数（，且）(a>0，且a≠1)，若在区间上恒成立，则实数取值范围是__________． 【答案】 【易错归纳】本例题中因不熟悉对数和对数函数的定义，未对底数进行分类讨论. 1.对数和对数函数中容易忽略底数的取值范围； 2.对数函数的符号常受到底数和真数范围的制约，注意对底数a的讨论． 【详细解析】当时，在上是减函数，由在区间上恒成立， 知，且，解得. 当时，在上是增函数，由在区间上恒成立， 知，且.解得，且，故不存在． 综上可知，实数a的取值范围是. 【举一反三】 3. 使对数式有意义的a的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】要使有意义，则解得或． 陷阱2：忽略换元后范围致误 【典例4】已知，则函数的值域是（ ） A．     B．     C．     D． 【答案】B 【易错归纳】本题的错误在于换元后未求出新自变量的范围.自变量的取值范围是影响函数的重要因素，在复合函数中，采用换元法时需要计算换元后的新自变量的取值范围. 【详细解析】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 【举一反三】 4. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 逻辑1：估算法 【典例1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【大招解读】估算法是一种在无法或不需要进行精确计算时，通过合理的近似和简化来快速得到问题大致结果的方法.估算的关键在于抓住主要因素，忽略次要细节，使问题简化但仍保持合理精度． 【详细解析】因为， 而，因为，所以， 又因为，所以，所以； 而 ， 因为，所以， 所以，所以，所以 综上，可知 故选：A 【举一反三】 5. 已知，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件和的性质，结合换底公式以及指数、对数函数的性质，找到相应参照基准，比较大小，最终得出. 【详解】， ， 又， . 根据换底公式： ， 已知， ，由于底数，且真数，底数越大，对数值越小, 因此， 所以. 综上，，即. 故选：C. 逻辑2：排除法 【典例6】已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程有且只有一组解 【答案】D 【逻辑分析】排除法是一种通过逐步剔除错误或不相关选项，最终锁定正确答案或解决方案的逻辑推理方法． 【详细解析】令，则 令， 由幂函数图象的性质可知： 当时，在上单调递增，故，即； 当时，在上单调递减，故，即； 故AB不一定正确； 假设成等比数列，则， 则，与已知矛盾，故C错误； 令，由指数函数的性质可知在上单调递减， 注意到，故只有一个零点，即只有一个解， 所以只有一组解，故D正确. 故选：D 【举一反三】 6. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 思想1：分类讨论 【典例7】已知函数，若不等式仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思想归纳】分类讨论是指在解决问题时，由于对象的取值可能不同，导致其性质或结果发生变化，因此需要按照一定的标准将问题分成若干类，分别进行讨论和求解，最后综合各类结果得出最终结论. 【详细解析】由，则由.可得，， 当时，，，单调递减，时，，单调递增，且， 则有两个整数解为1，2，所以，且，解得， 当时，，，单调递减，且，则整数解有无数个，不满足题意. 故选：C. 【举一反三】 7. 若函数有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再对a的值进行分类讨论，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围. 【详解】由题意知，， 当时，函数在区间上单调递减，无极值点； 当时，根据与的图象， 设两个函数在第一象限的交点的横坐标为， 当时，，， 函数在区间上单调递增， 当时，，， 函数在区间上单调递减， 故当时，函数有一个极大值点. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用导函数研究函数的极值，分类讨论的思想，属于较难题. 思想2：函数与方程思想 【典例8】已知，不等式对任意实数恒成立，则实数a的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【思想归纳】函数思想就是用运动变化的观点、方法分析和研究问题中的数量关系，构造出相应的函数，运用函数的知识，使问题得到解决的思想方法． 【详细解析】不等式变形为 ， 即，设， 则不等式对任意的实数恒成立， 等价于对任意恒成立， ，则在上单调递增， ，即对任意恒成立， 恒成立，即， 令 ，则 ， 当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 时，取得最小值 ， ，即， 的最小值是. 故选：D 【举一反三】 8. 设分别是方程 和的根（其中）, 则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程 和的根转化为函数图像的交点的横坐标，将化为，转为同种变量，利用对勾函数解决. 【详解】根据题意可知， 为函数的图像与函数的图像的交点的横坐标， 为函数的图像与函数的图像的交点的横坐标， 根据同底的指数函数和对数函数互为反函数， 所以有， 结合的条件，可知， 所以有， 结合对勾函数的单调性，可知原式的取值范围为， 故选：A． 类型1：指对同构 【典型例题】已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解法一】（构造函数）由题意得， 因为，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故选D 【解法二】（切线放缩）由题意得， 因为，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，， 所以（时取等号） 【解法三】（不完全分离）由题意得， 因为，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，， 所以， 令，，取切点 ，，即的最大值为 【解法优选】切线放缩为本题最优解，根据条件转化成一个变量问题，然后通过切线不等式放缩后求解即可，此种方法简单高效，符合此类问题的通法优先原则. 【举一反三】 9. 已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析得出在上恒成立，变形成同构不等式求参问题，构造函数，对进行分类讨论，得出只需讨论当时，即可，进一步构造函数求出它的最大值即可. 【详解】因为，所以. 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，，且由题干可知，即， 所以当时，恒成立，此时可以是任意实数， 当时，恒成立， 等价于，当时，， 所以当时，，即当时，. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数m的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是逐步分析得出只需当时，恒成立，即可构造函数顺利得解. 类型2：比较大小 【典型例题】设为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【解法一】（利用图象规律）设，为正数，， ，，，由对数函数的图象知． 【解法二】（特殊值法）设，则，， 均为正数，，不妨设，则 ，故． 【解法三】（指对互化作商）令为正数，，则，且，即． ①． 同理， ②，由①②得． 【解法优选】指对互化作商为本题最优解，根据条件表示出，然后通过作商法求解即可，此种方法简单高效，符合此类问题的通法优先原则. 【举一反三】 10. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：化简后根据函数单调性得到，进而比较出，比较出，得到结论； 方法二：比较出，得到答案. 【详解】方法一：，， 在上单调递增，且， 可排除AC， ，， 底数都大于，所以都是增函数，，又， ， ，故可以排除B. 方法二：由题意，，，， 即， ， 而， ， ， 而，即， 又，， 而，则，即， 同理，， 而，则，即， 综上得：， . 故选：D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 核心5 指数函数与对数函数 1.指数函数的图象及其应用 （1）底数对指数函数图象的影响 当时，越大，指数函数的图象在轴右侧部分越靠近轴； 当时，越小，指数函数的图象在轴左侧部分越靠近轴． 在如图1所示的指数函数图象中，底数的大小关系为．在轴右侧，图象从上至下相应的底数由大变小，形象记为“底大图高”．相应地，在轴左侧“底大图低”． （2）“底大图高”的判断依据 如图1，作直线，则直线与各指数函数图象交点的纵坐标即为各指数函数的底数，分别为，则．可见在轴右侧底数越大，图象越高． （3）图象对称性 ①底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个函数的图象画出另一个函数的图象． ②（且）为偶函数，其图象如图3所示． 2．对数函数的图象及其应用 （1）底数对对数函数图象的影响 如图1，在直线的右侧，轴的上方，底数越大，对数函数的图象越靠近轴，且底数均大于1；轴的下方，底数越小，对数函数的图象越靠近轴，且底数均在之间． 图中的对数函数的底数的大小关系是． （2）底数大小的判断依据 如图1，作直线，则直线与各对数函数图象交点的横坐标即为各对数函数的底数，分别为，结合单调性，可得． （3）图象的对称性 ①底数互为倒数的两个对数函数且的图象关于轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个对数函数的图象画出另一个对数函数的图象． ②函数（，且）为偶函数，其图象关于轴对称，如图3（1）（2）． ③指数函数（，且）和对数函数（，且）互为反函数，其图象关于直线对称，如图4. 3．方程的根和方程的根的关系 ①若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数. 特别地，与互为反函数. ②在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于对称，即与分别在函数与反函数的图像上. ③若方程的根为，方程的根为，则. 大招1：结论法 【典例1】已知函数是其定义域上的奇函数，则______． 【答案】1 【大招解读】在指数型函数中，函数，且有着极其特殊的地位，我们经常遇到形式各异且与指数函数有关的问题，都与这个函数有一定的联系．下面从三个方面来研究这个函数的性质： （1）奇偶性：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数． （2）的单调性：因为函数，所以当时，由复合函数的单调性可知在上单调递增；当时，在上单调递减． （3）的值域：令，则，结合（2）知原函数等价于，易知在区间上单调递增，所以，故的值域为． 除了函数，且，常考查的指数型复合函数还有： 函数解析式 奇偶性 单调性 偶 在上单调递减，在上单调递增 奇 时，在上单调递增 时，在上单调递减 奇 时，在上单调递减 时，在上单调递增 奇 时，函数在上单调递减 时，函数在上单调递增 【详细解析】函数符合这一形式时为奇函数，则中． 【举一反三】 1. 已知函数偶函数，则______. 大招2：辅助线法 【典例2】如图，曲线，，，分别对应函数，，，的图象，则（ ） A．     B． C．     D． 【答案】A 【大招解读】根据对数函数特点，可作直线，根据各曲线与直线交点越靠左，对应底数越小判断即可.指数函数作出直线即可得到底数的大小. 【详细解析】作直线，它与各曲线，，，的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：.故选：A. 【举一反三】 2. 已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 陷阱1：忽视参数的隐含条件 【典例3】已知函数（，且）(a>0，且a≠1)，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【易错归纳】本例题中因不熟悉对数和对数函数的定义，未对底数进行分类讨论. 1.对数和对数函数中容易忽略底数的取值范围； 2.对数函数的符号常受到底数和真数范围的制约，注意对底数a的讨论． 【详细解析】当时，在上是减函数，由在区间上恒成立， 知，且，解得. 当时，在上是增函数，由在区间上恒成立， 知，且.解得，且，故不存在． 综上可知，实数a的取值范围是. 【举一反三】 3. 使对数式有意义的a的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 陷阱2：忽略换元后范围致误 【典例4】已知，则函数的值域是（ ） A．     B．     C．     D． 【答案】B 【易错归纳】本题的错误在于换元后未求出新自变量的范围.自变量的取值范围是影响函数的重要因素，在复合函数中，采用换元法时需要计算换元后的新自变量的取值范围. 【详细解析】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 【举一反三】 4. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 逻辑1：估算法 【典例1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【大招解读】估算法是一种在无法或不需要进行精确计算时，通过合理的近似和简化来快速得到问题大致结果的方法.估算的关键在于抓住主要因素，忽略次要细节，使问题简化但仍保持合理精度． 【详细解析】因为， 而，因为，所以， 又因为，所以，所以； 而 ， 因为，所以， 所以，所以，所以. 综上，可知 故选：A 【举一反三】 5. 已知，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 逻辑2：排除法 【典例6】已知正实数x，y，z满足，则（    ） A． B． C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程有且只有一组解 【答案】D 【逻辑分析】排除法是一种通过逐步剔除错误或不相关选项，最终锁定正确答案或解决方案的逻辑推理方法． 【详细解析】令，则 令， 由幂函数图象的性质可知： 当时，在上单调递增，故，即； 当时，在上单调递减，故，即； 故AB不一定正确； 假设成等比数列，则， 则，与已知矛盾，故C错误； 令，由指数函数的性质可知在上单调递减， 注意到，故只有一个零点，即只有一个解， 所以只有一组解，故D正确. 故选：D 【举一反三】 6. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 思想1：分类讨论 【典例7】已知函数，若不等式仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思想归纳】分类讨论是指在解决问题时，由于对象的取值可能不同，导致其性质或结果发生变化，因此需要按照一定的标准将问题分成若干类，分别进行讨论和求解，最后综合各类结果得出最终结论. 【详细解析】由，则由.可得，， 当时，，，单调递减，时，，单调递增，且， 则有两个整数解为1，2，所以，且，解得， 当时，，，单调递减，且，则整数解有无数个，不满足题意. 故选：C. 【举一反三】 7. 若函数有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思想2：函数与方程思想 【典例8】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【思想归纳】函数思想就是用运动变化的观点、方法分析和研究问题中的数量关系，构造出相应的函数，运用函数的知识，使问题得到解决的思想方法． 【详细解析】不等式变形为 ， 即，设， 则不等式对任意的实数恒成立， 等价于对任意恒成立， ，则在上单调递增， ，即对任意恒成立， 恒成立，即， 令 ，则 ， 当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 时，取得最小值 ， ，即， 的最小值是. 故选：D 【举一反三】 8. 设分别是方程 和的根（其中）, 则 的取值范围是 A B. C. D. 类型1：指对同构 【典型例题】已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解法一】（构造函数）由题意得， 因为，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故选D 【解法二】（切线放缩）由题意得， 因为，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，， 所以（时取等号） 【解法三】（不完全分离）由题意得， 因为，所以， 所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，， 所以， 令，，取切点 ，，即的最大值为 【解法优选】切线放缩为本题最优解，根据条件转化成一个变量问题，然后通过切线不等式放缩后求解即可，此种方法简单高效，符合此类问题的通法优先原则. 【举一反三】 9. 已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 类型2：比较大小 【典型例题】设为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【解法一】（利用图象规律）设，为正数，， ，，，由对数函数的图象知． 【解法二】（特殊值法）设，则，， 均为正数，，不妨设，则 ，故． 【解法三】（指对互化作商）令为正数，，则，且，即． ①． 同理， ②，由①②得． 【解法优选】指对互化作商为本题最优解，根据条件表示出，然后通过作商法求解即可，此种方法简单高效，符合此类问题的通法优先原则. 【举一反三】 10. 若，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $