精品解析：山东省德州市宁津县张宅中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试八年级数学试题 2025.11 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 依据下列条件能画出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 6. 如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若是三角形的三边长，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（ ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D. 9. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ） ①；②为的平分线；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴的对称点是__________． 12. 在中，三个内角，，满足，则___________． 13. 如图，中，，平分，，，，则的面积是______． 14. 已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 _____．（用“”连接） 15. 如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则_____． 16. 如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过_________秒时，与全等． 三 、解答题（共 8 小 题 ， 共 86 分 ） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，写出点的坐标； （2）求出的面积； （3）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 19. （1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 20. 如图，． （1）求证：； （2）当，时，求点A到点的距离． 21. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． （1）若，求的周长． （2）试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 22. 在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段上时，求证：平分： （3）如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 23. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 24. 在中，，平分交于点E，交于点F．P是边上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，记． （1）如图1，点P与点E重合时，用含α的式子表示； （2）当点P与点E不重合时， ①如图2，若，平分，交于点G，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由； ②若，请直接写出的大小（用含α，β的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试八年级数学试题 2025.11 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如图，是的外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由外角性质可得，然后代入即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解题的关键．依次对每个选项根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方的运算法则进行计算，判断正误． 【详解】解：，选项A正确； 与不是同类项，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D错误． 故选：A． 4. 依据下列条件能画出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，，，可画出无数个三角形，故本选项不符合题意； B、，，，，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，，，不是的夹角，不能画出唯一三角形； 故本选项不符合题意； D、，，，边角边，可以画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 6. 如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 7. 若是三角形的三边长，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 8. 如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（ ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理．根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称， ∴, 由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等， ∴它们的周长也相等，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点， ∴对称轴l是线段的垂直平分线， 即且，故B正确，不符合题意； C项：连接，，∵与关于直线l对称， ∴，，三条线段都垂直于对称轴l， 在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行， ∴， 又∵对称轴l是对应点所连线段的垂直平分线， ∴，，三条线段被对称轴l垂直平分，但，，三条线段不相等，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称， ∴， 在中，，，根据三角形内角和定理，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ≌， ， 点在的垂直平分线上， 又是的垂直平分线， 点是的外心， ， ， 根据折叠的性质可得， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ） ①；②为的平分线；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ∵， ， ∵四边形中，， ． 故结论①正确； 如图，过点作的延长线于点，作于点． 则， ，， ， 又， ， ， ∴为的平分线． 故结论②正确； ， 平分， ∴垂直平分， ∴． 故结论③正确； ， 而， ， ． 故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴的对称点是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点对称问题，解题的关键是熟知点关于x轴对称点为． 根据点关于x轴对称点为直接求解即可． 【详解】解：由点关于x轴对称点为， 故答案为：． 12. 在中，三个内角，，满足，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出是解题的关键．先整理得到，再利用三角形的内角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 故答案为：． 13. 如图，中，，平分，，，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 _____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．通过幂的乘方的逆运算，将指数化为相同，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：∵， ， ， 且， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】解：连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ， ； 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 16. 如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过_________秒时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 三 、解答题（共 8 小 题 ， 共 86 分 ） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2），28 【解析】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式，多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式，然后计算多项式除以单项式； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并，然后代数求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 将代入，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，写出点的坐标； （2）求出的面积； （3）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3） 如图所示，点即为所求， ； 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，割补法求三角形的面积，根据成轴对称图形的特征进行求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，得出，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）先连接交轴于一点，即为点，此时最小，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，； 【小问3详解】 解：因为， 所以连接交轴于一点，即为点， 此时最小， 观察平面直角坐标系，得． 19. （1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 20. 如图，． （1）求证：； （2）当，时，求点A到点的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形和等边三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，然后再根据即可证明结论； （2）连接，由全等三角形的性质可得，然后证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得的长即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即点A到点的距离为4． 21. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． （1）若，求的周长． （2）试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）12 （2） 解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； 【小问2详解】 略 22. 在中，，，点是射线上一点，连接，过点B作于点F直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段上时，求证：平分： （3）如图3，在（2）的条件下，若，的面积为16，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1， ∵点D是射线上一点，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：如图2，过点C分别作于点H，于点K， ∴． 同（1），． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴点C在的平分线上， 即平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据直角三角形的性质可得，进而可证，最后问题可求证； （2）过点C分别作于点H，于点K，根据题意易证，则有．然后根据角平分线的判定定理可求证； （3）过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M．同（1）（2）问，，由题意易证，则有，然后根据等积法可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点C分别作于点H，于点K，过点F作于M． 同（1）（2）问，． ∵D是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 23. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 24. 在中，，平分交于点E，交于点F．P是边上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，记． （1）如图1，点P与点E重合时，用含α的式子表示； （2）当点P与点E不重合时， ①如图2，若，平分，交于点G，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由； ②若，请直接写出的大小（用含α，β的式子表示）． 【答案】（1） （2） ①，理由如下： ∵平分， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、平行线的性质等知识点，弄清角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据得出，从而得出，由翻折得，再根据角的和差即可解答； （2）①先证明从而得出，可证得和是等腰直角三角形，从而得出，根据线段的和差即可解答；②设，则，由得，从而得出，于是，进而求得，进而得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折得，， ∴． 【小问2详解】 解：①略 ②设，则， 由得，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $