精品解析：广东省云浮市田家炳学校2025-2026学年上学期九年级数学学科10月月考试卷

2025-2026学年上学期九年级数学学科10月月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 说明：1．全卷共 4 页，满分为120分，考试用时 120 分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、班别．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答在试卷上的答案无效． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不得使用铅笔或涂改液，否则答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. ax2+bx+c=0 B. x+y=2 C. x2+3y −5＝0 D. x2-1=0 2. 方程 （x-5）(x+2)=0的解是 ( ) A. x＝5 B. x＝－2 C. x1＝－5，x2＝2 D. x1＝5，x2＝-2 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ） A. y=2(x+2) 2+2 B. y=2(x+2) 2-2 C. y=2(x-2) 2-2 D. y=2(x-2) 2+2 5. 若方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )． A. 4 B. －4 C. D. 6. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是 A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≥y2 D. y1＞y2 8. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点．下列说法，①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是_____． 12. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式_______． 13. 已知点，点是抛物线的两个不同的点，则_______． 14. 对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 15. 如图，线段的长为3，点C是线段上一个动点，分别以为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么当__________时线段的长最小． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程 （1）． （2） 17. 已知关于x的一元二次方程x2－(k—1)x－6＝0的一个根为3，求k的值及另一个根． 18. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为，墙对面有一个宽的门，篱笆总长为，围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙．要使围成的养鸡场面积为，则的长为多少？ 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 23. 综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； （3）已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级数学学科10月月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 说明：1．全卷共 4 页，满分为120分，考试用时 120 分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、班别．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答在试卷上的答案无效． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不得使用铅笔或涂改液，否则答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. ax2+bx+c=0 B. x+y=2 C. x2+3y −5＝0 D. x2-1=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可得出答案． 【详解】选项A应标明a≠0； 选项B是二元一次方程； 选项C中有两个未知数； 这三个选项都不是一元二次方程， 选项D是一元二次方程． 故答案选D． 考点：一元二次方程的定义． 2. 方程 （x-5）(x+2)=0的解是 ( ) A. x＝5 B. x＝－2 C. x1＝－5，x2＝2 D. x1＝5，x2＝-2 【答案】D 【解析】 【详解】（x-5）(x+2)=0， x-5=0或x+2=0， 所以x1=5，x2=-2， 故选D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式． 4. 已知函数的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ） A. y=2(x+2) 2+2 B. y=2(x+2) 2-2 C. y=2(x-2) 2-2 D. y=2(x-2) 2+2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平移规律（左加右减，上加下减）求新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y=2x2向上、向左平移2个单位后的解析式为：y=2（x+2）2+2． 故选A． 【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 5. 若方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )． A. 4 B. －4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程x2−4x＋m＝0有两个相等的实数根，所以△＝b2−4ac＝0． 【详解】∵方程x2−4x＋m＝0的二次项系数a＝1，一次项系数b＝−4，常数项c＝m， ∴△＝b2−4ac＝16−4m＝0， 解得，m＝4； 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 6. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 7. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是 A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≥y2 D. y1＞y2 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象和解析式，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大. ∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2. 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 8. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意找准等量关系是解题关键． 设年平均增长率为x，根据增长率模型，2023年销售量经过2年增长到2025年销售量，列出方程，即可解题． 【详解】解：∵ 初始销售量为18万辆，年增长率为x，经过2年增长后销售量为， ∴ 由题意得：． 故选：D． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象可得，，， ∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点．下列说法，①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，则，于是可对①进行判断；由于时，，则得到，则可对③进行判断；把代入函数解析式，结合对称轴方程对④进行判断，根据根据抛物线与x轴有2个交点即可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则． ∵抛物线对称轴为直线， ∴，则．故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴．故①正确； ∵时，， ∴．故③错误； 根据抛物线的对称性知，当时，， ∴， ∴，即． 故④正确； 根据抛物线与x轴有2个交点， ∴，即 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象的开口方向得到，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下． 12. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式_______． 【答案】2021 【解析】 【分析】由方程的解的含义把代入原方程，从而可得答案. 【详解】解： m是一元二次方程的一个根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握“一元二次方程的解的含义”是解本题的关键. 13. 已知点，点是抛物线的两个不同的点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到点P与点Q关于直线对称，得到即可． 【详解】解：∵点和点是抛物线的两个不同的点， ∴点P与点Q关于直线对称， ∴1， ∴． 答案：． 14. 对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 15. 如图，线段的长为3，点C是线段上一个动点，分别以为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么当__________时线段的长最小． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用二次函数的性质求最值，解题的关键是熟练掌握转化的思想． 先对等腰运用勾股定理得到，再对运用勾股定理得到，由得到，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：在等腰和等腰中，，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ， 令， ∵， ∴当时，取得最小值为，此时取得最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程 （1）． （2） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）． ， ， （2）． ， ， ， ， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法和配方法解方程． 17. 已知关于x的一元二次方程x2－(k—1)x－6＝0的一个根为3，求k的值及另一个根． 【答案】k的值为2，另一个根为－2． 【解析】 【分析】设另一根为x．由根与系数的关系得出方程组，求解即可． 【详解】设另一根为x．由根与系数的关系得： 解得：x=－2，k=2． 答：k的值为2，另一个根为－2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的知识，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 18. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； 【小问2详解】 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为，墙对面有一个宽的门，篱笆总长为，围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙．要使围成的养鸡场面积为，则的长为多少？ 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，根据长方形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得， 解得或， 当时，，此时符合题意； 当时，，此时不符合题意； ∴， 答：的长为． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． 【答案】（1）， （2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据“如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利每件售价每件成本，即可解得； （2）根据总利润单件利润数量，列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：如果每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理得， 解得：， ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 【答案】（1）； （2） 该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 把代入得，， ∴该巡逻船能安全通过大孔； （3）． 【解析】 【分析】（）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式； （）求出时的值，与作比较即可判断； （）求出点坐标，即可得到答案； 本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， 设大孔抛物线的解析式为， 把点代入解析式得，， 解得, ∴大孔抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴由抛物线对称性可得，， ∴， 答：大孔的水面宽度为． 23. 综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； （3）已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N， ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）存在，点Q的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $