四川省成都市新世纪光华学校2026届高三一诊模拟素质测试数学试题

成都一诊素质测试数学模拟试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合.集合.则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 2．已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（　　） A．10 B．20 C．9 D．18 3．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． v D． 4．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为． ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（ ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 5． 祈年殿(图1)是北京市的标志性建筑之一,距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱,分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱,寓意一年四季;中圈有12根约为13米的金柱,代表十二个月;外圈有12根约为6米的檐柱,象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1,CC1形成的几何体ABC-A1B1C1(图2)中,AB=AC=8,∠BAC=144°,则平面A1B1C1与平面ABC所成角的正切值为(　　) 图1 图2 A. B. C. D. 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 8. 已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 10．已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（   ） A．函数的图象关于对称 B．函数的对称中心是 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 11. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A是△ABC的最小内角，且tanA为整数，，则下列说法正确的是（　　） A． B．c＝3 C．当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝﹣3 D．△ABC面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中 的系数为 13．，恒成立，则实数的最大值为 14．对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 16. ．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 17. 如图所示，已知四棱锥中，底面是平行四边形，侧面为直角三角形，是的中点，是直线上的动点，过直线的平面与侧棱，分别交于，且，其中，. (1)求证：； (2)求异面直线与所成的角； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立． (1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； (2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望； (3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益． 19．已知函数． (1)求在点处的切线的方程，并证明除切点外，函数的图象在切线的下方； (2)若， （i）证明：函数恰有两个零点； （ii）设为的较大零点，，证明：． 成都一诊素质测试数学模拟试题 参考答案 1． 【答案】B 【详解】由题意，得或，又， ∴，集合中有2个元素， ∴的子集个数为个. 故选：B 2．【答案】B 【详解】， 且为纯虚数， ， ， ， ． 故选：B． 3． 【答案】D 【分析】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 4． 【答案】C 【分析】利用回归方程判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图象的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：， 由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 故选：C. 5．【答案】A　解析 若平面ABC∥平面DB1C1,则平面A1B1C1与平面ABC所成角,即为平面A1B1C1与平面DB1C1所成角, 由题意有△ABC≌△DB1C1,即△DB1C1是等腰三角形,腰长约为8米,∠B1DC1=144°, 易知∠DB1C1=∠DC1B1=18°,若E是B1C1的中点,连接DE,A1E,则DE⊥B1C1,且A1D⊥平面DB1C1,由B1C1⊂平面DB1C1,则A1D⊥B1C1,DE∩A1D=D,DE,A1D⊂平面A1DE,所以B1C1⊥平面A1DE,则∠A1ED是平面A1B1C1与平面DB1C1所成角的平面角,其中A1D=19-13=6,DE=8sin 18°,则tan∠A1ED=.故选A. 6． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 所以，， 所以， 故选：C 7．【答案】A 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 8. 【答案】D 【详解】由题意，当时，，因，则由解得：， 当时，因，可得，即，两边取平方整理得， 即是以为首项，公差为2的等差数列，故， 于是，则， 由可得：，解得，所以正整数的最大值为5. 故选：D. 9． 【答案】BC 【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断. 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 10． 【答案】BD 【分析】化简得到，由最小正周期为可得，从而，进而由三角函数的对称轴、对称中心、单调性及图象平移依次判断各选项即可. 【详解】函数 ， 函数的最小正周期为，解得，所以， 不是最大值和最小值，故A不正确； 令，，即，， 所以函数的对称中心是，故B正确； 时，， 显然在上不单调，故C错误； 的图象向右平移个单位得到，故D正确. 故选：BD. 11.【答案】ABD 【解答】解：对于A，因A是△ABC的最小内角，则， 又因tanA为整数，故tanA＝1，可得，故A正确； 对于B，由，，可得， 由正弦定理，，可得，解得c＝3，故B正确； 对于C，由A+B+C＝π，可得B+C，因，且tanB也是整数， 若tanB＝2，因 ， 则，则， 此时，符合题意； 若tanB＝3，则，同理，此时，，不合题意， 随着tanB取更大的整数，tanC的值逐渐减小，不合题意， 故当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝3，故C错误； 对于D，由正弦定理，和， 可得， 因A是△ABC的最小内角，则，，则， 当时，， △ABC的面积为， 当时，，因tanC≥1， 则，， 故， 综上，△ABC面积的取值范围是[，故D正确． 故选：ABD． 12． 【答案】 【详解】的通项公式为， 令可得含的项， 此时系数为， 故答案为： 13． 【答案】 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 14．【答案】 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 15． 【详解】（1）当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. （2）由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以， 16. 【详解】（1）双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 17. 【详解】（1）由题意可知四边形是平行四边形，所以， 即有平面， 又由平面，平面平面，所以， 即得. （2）由（1）知，则直线与所成的角为（或其补角）， 又由为直角三角形，且，所以， 即得异面直线与所成的角为 （3）设直线与平面所成角为， 取的中点为，连接，， 由，所以， 又由是直角三角形，且， 所以， 又因为，分别是，的中点， 所以可得， 又由，平面，且， 所以平面， 又因为平面，所以可得， 又由，所以， 所以平面. 此时分别以，，可为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 则可得，，，，，. 方法1：， 由，可得，即得， 设平面的一个法向量， 又由可得； 令，则，所以， 所以可得， 当且仅当与点重合时取得等号， 所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为. 方法2：设平面与平面所成锐二面角记为，则有. 由方法1知，平面的一个法向量， 由可得，易知； 设平面的一个法向量， 所以，解得，令，可得； 即， 所以，所以可得， 即得 所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 【详解】（1）设“小时后机器正常”为事件，设“加急检修，1小时修复”为事件，设“常规检修，1小时修复”为事件． 由题意，， 从而2小时后机器正常的概率为 （2）依题意， 的所有可能的值为 的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元， 从而 的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元， 从而 的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元， 则 于是X的分布列为 X 11 P 0.01 0.27 0.72 数学期望为元． （3）初始状态正常，即；1个小时后正常的概率为；2个小时后正常的概率为； 同理，n个小时后正常的概率为 即，故 从而数列是首项，公比为的等比数列，于是， 因此．               初始状态正常，第1个小时期望收益为元；第2个小时期望收益为； 同理，第k个小时期望收益为． 因此n个小时累计期望收益为 19． 【详解】（1），所以，即在点处的切线的斜率为l， 又，所以在点处的切线l的方程为． 令 当时， 单调递增， 当时， 单调递减， ， 所以除切点外，函数的图象在切线l的下方． （2）（i）由题可知， 则， 设， 则， 因为，所以，所以在上是减函数． 由，又结合，得， 所以， 所以存在，使得， 所以当时，，即，此时单调递增， 当时，，即，此时单调递减， 所以是唯一的极值点， 显然， 因为在上递增， 所以在上必存在一个零点， 由（1）可知，所以， 又因为，即 所以，则， 所以在区间上必存在一个零点， 综上所述：在区间上恰有两个零点． （ii）证明：由（i）可知，，得， ，得， 所以， 即， 因为， 所以， 所以，即所以成立． 5 / 12学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $