第一章集合（6知识点7题型+分层过关）期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过内容导图和知识框架图系统构建集合知识体系，以表格对比呈现常用数集、元素关系、子集真子集及交并补集的定义与性质，梳理集合概念、表示方法、运算等核心要点，突出确定性、互异性等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于覆盖元素关系、集合运算、Venn图应用等7大题型，含基础选择、综合解答及新定义题，如“影子关系”集合问题，培养数学抽象与逻辑推理素养。每个题型分层设置，基础生可掌握方法，优秀生能深化探究，配套过关检测助力教师精准教学与学生自主复习。

期末复习讲义专题01 集合 览内容导图 巩知识要点 知识点1 集合的相关概念 1.集合：一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母来表示集合的元素. 2.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 3.常用数的表示：若为偶数，则 ；若为奇数，则；若被3整除，则；若被3除余1，则. 4.集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作 知识点2 元素与集合的关系 1元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A a∉A或aA a不属于A 元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 2.集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性，(2)互异性，(3)无序性 知识点3 集合的表示 1.列举法：将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔,元素不重复,元素无顺序. (2)元素个数较少时,把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律,可用列举法,但必须把规律显示清楚,然后加省略号. 2.描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这样表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)用描述法表示集合时,应写清该集合中元素的代表符号,并用简明、准确的语言描述集合的特征性质. (2)从上下文的关系来看,若元素的取值(或变化)范围是明确的,则可省略不写. 2.为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 3.集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等. 4.集合的分类 按照集合元素的多少,集合可以分为有限集和无限集. (1)一般地,含有有限个元素的集合称为有限集.含有无限个元素的集合称为无限集. (2)不含任何元素的集合称为空集,记作∅. 知识点4 集合间的基本关系 1.子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A； (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A,B,C,若AB且BC,则AC； (2)若A≠∅,则∅A 知识点5 集合的基本运算 1.交集并集补集 项目 交集 并集 补集 定 义 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩B⊆A,A∩B⊆B. (1)A∪B=B∪A. (2)A⊆A∪B,B⊆A∪B. (1)A⊆S,∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)=A； (3)∁SS=∅,∁S∅=S 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时,R便可看作一个全集U. 3.∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 4.如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B=∅. 5.并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 6.德摩根公式 7.容斥定理之集合中元素个数 知识点6 区间及其表示 1.区间概念(a,b为实数,且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a,b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a,b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 破重难题型 一、题型一 元素与集合的关系 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 5．已知，则 ． 6．已知，，若集合，则的值为 ． 7．已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 二、题型二 集合间的基本关系 8．下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 10．已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 11．已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 12．已知集合，，则满足的集合的个数为 . 13．已知集合，，，则 . 14．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 15．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 三、题型三 集合的基本运算 17．已知集合或，，则（    ） A．, B．,1, C．,0, D．,0,1, 18．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．若全集，则（　　） A． B． C． D． 20．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 21．已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 22．已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 23．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 24．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 25．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 26．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 四、题型四 Venn图的应用 27．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 28．设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 29．如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 30．图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C．B D． 31．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 32．设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 33．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 五、题型五 容斥原理 34．某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 35．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 36．浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（   ）. A．6 B．10 C．13 D．15 37．若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 38．现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为 . 39．2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有 人. 40．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有 人. 六、题型六 集合综合题 41．已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 42．已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 43．已知集合， (1)求 (2)已知集合，且，求实数m的取值范围． 44．已知全集，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 45．已知集合． (1)求集合； (2)若，且，求实数的取值范围． 46．已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 47．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 48．我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集);    (2)若，，求； (3)若集合，集合，且，求实数的取值范围. 49．已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． (1)若，求集合M，N； (2)若A中有5个元素，求m； (3)证明：． 50．已知集合具有性质对任意、，与至少一个属于. (1)直接写出集合与是否具有性质． (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求． 七、题型七 集合的新定义 51．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 52．设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（ ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 53．定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 54．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 . 55．定义，已知，则集合中所有元素乘积为 ． 56．对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义 (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 57．已知元有限集合.，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出2个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素中，至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 过关检测 一、单选题 1．已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 5．已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 7．设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 11．已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 三、填空题 12．已知,若集合，则的值为 . 13．已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为 . 14．设集合，.若，则实数a的取值范围是 ；若，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．集合， (1)求A、B； (2)． 16．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 17．设全集为，集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 18．已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 19．设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. (1)已知，直接判断集合是否为“”集. (2)若为“”集，，求的值； (3)若为“”集，，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义专题01 集合 览内容导图 巩知识要点 知识点1 集合的相关概念 1.集合：一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合. 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母来表示集合的元素. 2.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 3.常用数的表示：若为偶数，则 ；若为奇数，则；若被3整除，则；若被3除余1，则. 4.集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作 知识点2 元素与集合的关系 1元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A a∉A或aA a不属于A 元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 2.集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性，(2)互异性，(3)无序性 知识点3 集合的表示 1.列举法：将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔,元素不重复,元素无顺序. (2)元素个数较少时,把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律,可用列举法,但必须把规律显示清楚,然后加省略号. 2.描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这样表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)用描述法表示集合时,应写清该集合中元素的代表符号,并用简明、准确的语言描述集合的特征性质. (2)从上下文的关系来看,若元素的取值(或变化)范围是明确的,则可省略不写. 2.为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 3.集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等. 4.集合的分类 按照集合元素的多少,集合可以分为有限集和无限集. (1)一般地,含有有限个元素的集合称为有限集.含有无限个元素的集合称为无限集. (2)不含任何元素的集合称为空集,记作∅. 知识点4 集合间的基本关系 1.子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A； (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A,B,C,若AB且BC,则AC； (2)若A≠∅,则∅A 知识点5 集合的基本运算 1.交集并集补集 项目 交集 并集 补集 定 义 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩B⊆A,A∩B⊆B. (1)A∪B=B∪A. (2)A⊆A∪B,B⊆A∪B. (1)A⊆S,∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)=A； (3)∁SS=∅,∁S∅=S 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时,R便可看作一个全集U. 3.∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 4.如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B=∅. 5.并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 6.德摩根公式 7.容斥定理之集合中元素个数 知识点6 区间及其表示 1.区间概念(a,b为实数,且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a,b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a,b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 破重难题型 一、题型一 元素与集合的关系 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 2．已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再判断元素与集合的关系. 【详解】， 因为元素与集合的关系是属于和不属于，所以. 故选：A. 3．已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助集合与元素关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 4．设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 【答案】AC 【分析】分析，的特点，得到的值必为奇数，再对选项是奇数的进行验证. 【详解】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】直接根据元素与集合的关系进行求解即可. 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 6．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 7．已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 二、题型二 集合间的基本关系 8．下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合关系依次判断选项即可. 【详解】对于A，空集表示一个元素也没有，表示有一个元素，所以A不正确； 对于B，由元素与集合关系可得：，故B正确； 对于C，由集合与集合关系可得：，故C错误； 对于D，，则，故D正确； 故选：AC 9．设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合子集的个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合， 所以集合的子集个数有． 故选：C． 10．已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用枚举法逐一判断即可. 【详解】当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，不满足. 故选：ABD 11．已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 12．已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】由，得中含有，再结合的真子集即可求解. 【详解】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 13．已知集合，，，则 . 【答案】或0或 【分析】求解方程，讨论集合，计算. 【详解】由得到或；为的子集， 当，则； 当，则或，得到或； 综上，或或. 14．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 15．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【详解】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 16．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 三、题型三 集合的基本运算 17．已知集合或，，则（    ） A．, B．,1, C．,0, D．,0,1, 【答案】C 【分析】直接利用交集的运算法则求解即可. 【详解】集合或，， 则. 故选:C 18．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并集的概念运算. 【详解】集合，，则. 故选：A 19．若全集，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的运算求出和，根据交集的运算求出. 【详解】， ，， . 故选：A. 20．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合集合的补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，，则， 且，所以. 故选：D. 21．已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，则， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值所组成的集合是. 故选：D. 22．已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【详解】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或 23．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为，故. （2）因为，则，且，． 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得，无解， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，且， 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得或，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 24．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的概念求解. （2）根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为，所以. 所以实数的取值范围为. 25．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 26．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用交集的定义直接求解. （2）利用交集的结果，列式求解. （3）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）当时，，或， 所以. （2）当时，则，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由，得，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 四、题型四 Venn图的应用 27．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，求出集合B，根据韦恩图，结合交集的概念与性质即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 28．设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项. 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 29．如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从图中可知，阴影部分为集合中的元素去掉中的元素. 【详解】，，，选项C正确. 故选：C. 30．图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C．B D． 【答案】A 【分析】结合图形可得阴影部分区域内的元素满足或，即可求解. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 31．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简两个集合，即可根据补集和交集的定义，结合图形求解. 【详解】由，可得或，， 故或 由图可知阴影部分表示的集合为， 故选：D 32．设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图直接得出结果. 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合. 故选：A 33．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 五、题型五容斥原理 34．某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【分析】设只选择了白色的小朋友有人，由题意列出方程求解即可. 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 35．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先考虑2部电影和3部电影的情况，进而可归纳得出只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，即得. 【详解】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 36．浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（   ）. A．6 B．10 C．13 D．15 【答案】B 【分析】首先求出仅第一场抢购成功和仅第二场抢购成功的人数，即可得解. 【详解】因为第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人， 则仅第一场抢购成功的有（人），仅第二场抢购成功（人）， 所以两场门票都没抢购到的人数为（人）. 故选：B 37．若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 38．现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为 . 【答案】4 【分析】根据集合的容斥原理求解. 【详解】既是奇函数又是偶函数的函数个数为. 故答案为：4 39．2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有 人. 【答案】4 【分析】根据题意结合韦恩图求各类情况的人数，进而可得三个地方都没去过的同学的人数. 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. 40．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有 人. 【答案】7 【分析】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 六、题型六 集合综合题 41．已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定时集合的范围，求出其补集后与求交集； （2）将转化为，通过集合端点的包含关系列不等式组求解. 【详解】（1）当时，，则， 又，故. （2）由，得到，需满足，，且， 解得，，， 综合得，故的取值范围是. 42．已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 43．已知集合， (1)求 (2)已知集合，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由交集和并集的运算即可求解； （2）由得到求解即可. 【详解】（1）集合，又集合， 所以， ． （2）因为， 所以有， 解得， 所以实数的取值范围为． 44．已知全集，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，的且，得到不等式，即可求解； （2）根据题意，分，和，三种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. （2）解：当时，可得集合，此时是空集， 不存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，可得，则， 因为，所以不存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，可得，则， 因为，所以存在，使得，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 45．已知集合． (1)求集合； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合A求出补集，再由并集的定义运算即可得解； （2）根据，可转化为，列出不等关系，求解即可. 【详解】（1），， 又， ． （2），， ，解得． 46．已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【分析】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【详解】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 47．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 48．我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集);    (2)若，，求； (3)若集合，集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：    （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得：. （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是. 49．已知集合A满足：若，则，集合中的元素个数为m，中的元素个数为n． (1)若，求集合M，N； (2)若A中有5个元素，求m； (3)证明：． 【答案】(1)，． (2)19或13． (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合； （2）设中5个元素为，，，，，且，根据集合中元素性质可得，再根据集合的新定义确定集合的元素即可得集合中的元素个数的值； （3）设，根据集合的新定义确定集合的元素，从而得结论. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）设中5个元素为，，，，，且． 因为若，则，所以，，，即． 对于M中的元素，若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为． 若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，，，． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为，． 若，则，即．若，则，即． 若，要使得，一定符合题意的有序数对为，，可能符合题意的有序数对为．若，则，即． 综上，若，则，若则．即m的值为19或13． （3）证明：设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于M中任意一个元素，都有对应的，所以． 设，则，，且． 因为若，则，所以，，所以， 即对于N中任意一个元素，都有对应的，所以．综上，． 50．已知集合具有性质对任意、，与至少一个属于. (1)直接写出集合与是否具有性质． (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求． 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质 (2) (3) 【分析】（1）根据性质的定义判断即可得出结论； （2）根据可判断，根据得，而可得，即可求解； （3）根据结合条件可得可得，，，，，即可利用累加法得，进而可求解. 【详解】（1）集合中，因为，，所以，不具有性质， 集合中，因为，，， ，，，，所以具有性质. （2）因为，且具有性质， 由于，所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为具有性质， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 而时， 所以，，，，， 所以， 即， 所以，故. 七、题型七 集合的新定义 51．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（    ）    A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合的元素，根据Venn图求，进而求得子集个数. 【详解】，， 则，， 所以，其子集个数为个. 故选：B. 52．设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（ ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】BCD 【分析】根据“闭集合”的定义可判断ABD选项；取，结合“闭集合”的定义可判断C选项. 【详解】对于A，对于，因，故集合不是“闭集合”，A错误； 对于B，对任意的、，必有成立，故正整数集是“闭集合”，B正确； 对于C，若取，因、、均在集合中，即为“闭集合”，C正确； 对于D，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，D正确. 故选：BCD. 53．定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 54．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为 . 【答案】7 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 55．定义，已知，则集合中所有元素乘积为 ． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 56．对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义 (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 57．已知元有限集合.，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出2个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素中，至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1)，，答案不唯一，只要满足即可 (2)证明见解析 (3)有，一个，理由见解析 【分析】（1）由“元和谐集”的概念易得结果； （2）利用反证法进行证明； （3）设满足要求，则，不妨设，，从而可得，，从而可得答案. 【详解】（1）“二元和谐集”可以是，， 答案不唯一，只要满足即可. （2）假设，因为集合中的元素互异，所以，不妨设，则 ， 因为是“二元和谐集”，所以，即.① 因为，所以，故， 结合①得这与假设矛盾， 所以元素中至少有一个大于2. （3）假设正整数集是“三元和谐集”，则② 不妨设，则由②可得，所以， 又因为是互不相等的正整数，所以只能是，代入②得， 所以元素均为正整数的“三元和谐集”有且仅有1个，为. 过关检测 一、单选题 1．已知，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合元素的意义和常用集合的意义逐一判定. 【详解】选项 A：空集 是一个集合，而 是一个数集，因此错误 ,故该选项错误. 选项 B： 满足 ，因此 ，故该选项错误. 选项 C： 满足 ，因此 ，故该选项正确. 选项 D： 表示自然数集（ ），集合 包含非整数元素， 如 （满足 ，故 )，但 ，因此 不是 的子集，故该选项错误. 故选：C 2．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集、补集的定义求解即可. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：B. 3．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 4．若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 5．已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得到集合，再根据集合真子集个数计算即可． 【详解】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． 6．高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据容斥原理求解. 【详解】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 7．设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【详解】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A ． 8．若全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图阴影部分表示在中，且在集合的补集中,即可求解. 【详解】由图阴影部分表示在中，且在集合的补集中， 即， 故选：C 二、多选题 9．已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据集合的包含关系可判断AB；根据韦恩图可判断CD. 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 10．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 11．已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 【答案】BCD 【分析】根据题意若，则，则；若，则，则，则；由此逐项判断即可. 【详解】对于A选项：假设，则，又因为，则无意义，与题意矛盾，故A错误； 对于B选项：假设，则，则，则， 若中有3个元素，则，此时中所有元素之积，故B正确； 对于C选项：假设，则，则，则，则， 若中有4个元素，则，此时中所有元素之积，故C正确； 对于D选项：若由四个元素组成，则，所有元素之和为3，即，化简得，两边同时除以得： 所以或， 当时，， 当时，, 所以 所以，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知,若集合，则的值为 . 【答案】 【分析】利用集合的互异性、无序性，集合相等的含义解决即可. 【详解】 易知,因此. 因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 故答案为：. 13．已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为 . 【答案】0或4 【分析】根据子集个数公式，结合方程解的个数分类讨论进行求解即可. 【详解】设集合元素个数为， 由题意可得，所以该集合的元素只有一个， 当时，方程，符合题意； 当时， 要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程的判别式， 即，显然，符合题意， 综上所述实数的值为0或4， 故答案为：0或4 14．设集合，.若，则实数a的取值范围是 ；若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简集合，由可得，由此列方程求，再求，结合关系列不等式求的范围. 【详解】方程的解集为，， 故， 因为，所以， 当时，，满足关系； 当时，，矛盾； 当时，，矛盾； 所以若，则a的取值范围是， 因为，所以， 因为， 当时，，此时，与条件矛盾； 当时，，，，与条件矛盾； 当时，，可得，所以； 所以若，则a的取值范围是， 故答案为：；. 四、解答题 15．集合， (1)求A、B； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别解分式不等式及绝对值不等式求出集合； （2）运用补集的概念和运算法则求出，再利用交集的运算法则计算求解． 【详解】（1），等价于，解得， 集合， ，，解得， 集合． （2）， 或， 或． 16．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 17．设全集为，集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 ； (2) 【分析】（1）根据集合利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果； （2）由可知实数需满足，即可解得实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得； 或，或 所以； 或； （2）因为，， 若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 18．已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）解分式不等式求得集合，进而求得，可求和． （2）由题意可得，分与讨论，列出不等式，计算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得，所以，所以 所以，解得， 所以，所以， 当时，， 所以，或； （2）由，则，由（1）可知 若，则，解得，满足； 若，由，得，解得，即， 综上所述：实数的取值范围为． 19．设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. (1)已知，直接判断集合是否为“”集. (2)若为“”集，，求的值； (3)若为“”集，，，求. 【答案】(1)为“”集，不为“”集. (2)32 (3) 【分析】（1）按照“”集的定义列举验证即可； （2）根据“”集的定义分析得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案； （3）根据“”集的定义分析可得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案. 【详解】（1）对于集合，当时，；当时，； 当，；当，；故为“”集. 对于集合，当时，，故不为“”集. （2）因为， 所以. 又因为， 所以， 所以. 所以. （3）因为， 所以. 又， 所以， 所以，同时. 因为，所以， 因为，所以. 又，所以， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $