第01讲 集合的基本运算讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义通过思维导图系统构建集合知识体系，知识点梳理部分按子集、真子集、集合相等、空集及并集、交集、补集的逻辑关系分层呈现，明确各概念的定义、符号语言及性质，突出空集特殊性与运算性质的内在联系。 讲义亮点在于“题型归纳举一反三”设计，涵盖元素关系、集合运算、参数问题等8类题型，如“新定义运算”题型引导学生用数学思维理解抽象概念，“求参数范围”题培养逻辑推理能力。每个题型配例题与变式题，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，过关测试助力自主复习，教师可据此实施精准教学。

第01讲 集合的基本运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：集合的含义 6 题型二：元素与集合的关系 6 题型三：集合与集合的关系 7 题型四：集合的运算 7 题型五：求参数范围问题 8 题型六：求参数的值 9 题型七：容斥原理 9 题型八：新定义运算 10 05 过关测试 11 1、子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2、真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为（或）， 3、集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为. 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 5、并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 6、交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 7、补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 补集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：集合的含义 【例1】（2025·高一·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【变式1-1】（2025·高一·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【变式1-2】（2025·高一·云南昭通·期中）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高一·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 题型二：元素与集合的关系 【例2】（2025·高一·云南曲靖·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·江西吉安·期中）已知集合，则下列关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·云南丽江·期中）设集合A＝，若，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．，或 D． 【变式2-3】（2025·高一·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 题型三：集合与集合的关系 【例3】（2025·高一·湖北随州·期中）已知集合，、则集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3-1】（2025·高一·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 【变式3-2】（2025·高一·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【变式3-3】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（   ） A． B． C． D． 题型四：集合的运算 【例4】（2025·高一·广东东莞·期中）设全集，，，求 (1)； (2). 【变式4-1】（2025·高一·浙江嘉兴·期末）已知集合． (1)求集合； (2)求． 【变式4-2】（2025·高一·福建厦门·期中）已知集合，集合 (1)求集合； (2)求和． 【变式4-3】（2025·高一·安徽滁州·期中）（1）设全集是小于的正整数，集合，求； （2）集合，求. 题型五：求参数范围问题 【例5】（2025·高一·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【变式5-1】（2025·高一·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【变式5-2】（2025·高一·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 【变式5-3】（2025·高一·福建南平·期中）已知集合. (1)若有且只有1个真子集，求的值； (2)若，求的取值范围. 题型六：求参数的值 【例6】（2025·高一·上海·期中）已知，则 ． 【变式6-1】（2025·高一·河北唐山·期中）已知集合，若，则 . 【变式6-2】（2025·高一·湖北·期中）已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为 . 【变式6-3】（2025·高一·辽宁抚顺·期中）若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为 题型七：容斥原理 【例7】（2025·高一·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【变式7-1】（2025·高一·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高一·福建福州·期中）高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【变式7-3】（2025·高一·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 题型八：新定义运算 【例8】（2025·高一·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-1】（2025·高一·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-2】（2025·高一·安徽六安·期中）全集，非空集合，且S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数一定为偶数； ④若，则. 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】（多选题）（2025·高一·安徽池州·期中）整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则整数属于同一个类 1．（2025·高一·湖北黄冈·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·全国·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·全国·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·贵州·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 6．（2025·高一·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，集合，若中有且只有三个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·山西晋中·期中）已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 8．（2025·高一·上海·期中）“”是“不等式对一切实数恒成立”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 9．（2025·高一·安徽合肥·月考）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 10．（2025·高一·宁夏吴忠·月考）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 11．（多选题）（2025·高一·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 12．（多选题）（2025·高一·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 13．（2025·高一·安徽合肥·月考）已知集合，若，则实数m的取值范围是 ． 14．（2025·高一·河南·期中）已知有限集合中元素的个数记作，已知集合，，均为实数，若，则实数的所有取值组成的集合为 ． 15．（2025·高一·山西太原·月考）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 16．（2025·高一·贵州·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 17．（2025·高一·甘肃兰州·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．（2025·高一·湖南长沙·期中）已知集合， (1)求 (2)已知集合，且，求实数m的取值范围． 19．（2025·高一·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的基本运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：集合的含义 6 题型二：元素与集合的关系 7 题型三：集合与集合的关系 8 题型四：集合的运算 9 题型五：求参数范围问题 10 题型六：求参数的值 13 题型七：容斥原理 14 题型八：新定义运算 16 05 过关测试 19 1、子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2、真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为（或）， 3、集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为. 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 5、并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 6、交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 7、补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 补集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：集合的含义 【例1】（2025·高一·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【答案】A 【解析】对于A：符合集合元素的确定性，正确； 对于BCD，都不符合集合元素的确定性，错误， 故选：A 【变式1-1】（2025·高一·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【答案】D 【解析】选项A中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项A错误； 选项B中字母和重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项B错误； 选项C中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项C错误； 选项D中字母没有重复，满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项D正确. 故选：D. 【变式1-2】（2025·高一·云南昭通·期中）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合，即集合的元素为点的坐标， 所以“函数的图象”的集合表示. 故选:D. 【变式1-3】（2025·高一·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合. 故选：C. 题型二：元素与集合的关系 【例2】（2025·高一·云南曲靖·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是元素，不是集合，故A错误； 不含任何元素，故B错误； 表示自然数集，表示整数集，所以是的子集，故C正确； 表示的是集合，，故D错误. 故选：C. 【变式2-1】（2025·高一·江西吉安·期中）已知集合，则下列关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合是表示大于的有理数构成的集合，而是无理数，则，故B正确，CD错误； 另外，是表示集合，在此它显然不是元素，故A错误. 故选：B. 【变式2-2】（2025·高一·云南丽江·期中）设集合A＝，若，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【解析】因，则，即，得或； 因，则或，即或，得， 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2-3】（2025·高一·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【解析】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 题型三：集合与集合的关系 【例3】（2025·高一·湖北随州·期中）已知集合，、则集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】当时，为奇数， ∴共2个元素， ∴集合的子集的个数个， 故选：C 【变式3-1】（2025·高一·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【解析】因为，所以，又，所以， 结合，可得： 当时，；当时，；当时，； 所以， 即中有5个元素，则集合的真子集个数为． 故选：B． 【变式3-2】（2025·高一·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解析】由题意,当集合中有四个个元素时,集合, 当集合中有三个元素时, 集合或， 即满足条件的集合的个数为3． 故选：B． 【变式3-3】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， ，则， ，则， 所以的关系满足. 故选：A 题型四：集合的运算 【例4】（2025·高一·广东东莞·期中）设全集，，，求 (1)； (2). 【解析】（1），，如图： 所以. （2）. 因为全集，，所以或.如图： 所以. 【变式4-1】（2025·高一·浙江嘉兴·期末）已知集合． (1)求集合； (2)求． 【解析】（1）由，解得：或，所以； （2），， . 【变式4-2】（2025·高一·福建厦门·期中）已知集合，集合 (1)求集合； (2)求和． 【解析】（1）； （2）， 故； 或， . 【变式4-3】（2025·高一·安徽滁州·期中）（1）设全集是小于的正整数，集合，求； （2）集合，求. 【解析】（1）因为是小于的正整数，， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为， 所以. 题型五：求参数范围问题 【例5】（2025·高一·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 【变式5-1】（2025·高一·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）根据题意可得：，则 （2） 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 【变式5-2】（2025·高一·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 【解析】由全集，，， 当，即时，，， 又因为 或，且，成立； 所以； 当，即时，或， 则， 又因为 或，且， 所以或，解得或， 此时或， 综上：实数的取值范围是. 【变式5-3】（2025·高一·福建南平·期中）已知集合. (1)若有且只有1个真子集，求的值； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为有且只有1个真子集，所以中有且只有1个元素， 则，解得或. （2）由，可得， 由，解得，则. 当时，解得，则，符合； 当时，解得或， 当，则，符合；若，则，符合； 当时，解得或，则，. 若，则，不符合； 若，则，不符合. 综上所述，的取值范围为. 题型六：求参数的值 【例6】（2025·高一·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【解析】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 【变式6-1】（2025·高一·河北唐山·期中）已知集合，若，则 . 【答案】1 【解析】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 【变式6-2】（2025·高一·湖北·期中）已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为 . 【答案】0或4 【解析】设集合元素个数为， 由题意可得，所以该集合的元素只有一个， 当时，方程，符合题意； 当时， 要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程的判别式， 即，显然，符合题意， 综上所述实数的值为0或4， 故答案为：0或4 【变式6-3】（2025·高一·辽宁抚顺·期中）若关于的方程的解集中只含有一个元素，则的取值集合为 【答案】 【解析】因为，则，故，即， 因为关于的方程的解集中只含有一个元素， 所以方程有两个相等的实数根，且该根不等于1，或者方程有两个不等的实数根，且这两根中有一个根是1， 当方程有两个相等的实数根时，，解得， 方程的解为，符合题意； 当方程有两个不相等的实数根，且这两根中有一个根是1时， 则，解得，此时有两根1和0，则的根为0，符合题意； 故答案为： 题型七：容斥原理 【例7】（2025·高一·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【解析】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 【变式7-1】（2025·高一·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 【变式7-2】（2025·高一·福建福州·期中）高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解析】 设这两部电影都观看的有人， 由图形可知，解得. 故选：C 【变式7-3】（2025·高一·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解析】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 题型八：新定义运算 【例8】（2025·高一·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【变式8-1】（2025·高一·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 【变式8-2】（2025·高一·安徽六安·期中）全集，非空集合，且S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数一定为偶数； ④若，则. 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称， 所以当时，则有， 进而有，. 对于①，若，则，故①正确； 对于②，若，则，，则S中能确定4个元素， 故②不正确； 对于③，若，当时，S中能确定4个元素； 当时，S中也能确定4个元素；当时，S中能确定8个元素； 所以当，则S中元素的个数一定为偶数，故③正确； 对于④，若， 由S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称可知， ， ，即， 故④正确.综上，①③④正确. 故选：C 【变式8-3】（多选题）（2025·高一·安徽池州·期中）整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则整数属于同一个类 【答案】ABD 【解析】对于A，，即，故A正确； 对于B，因任意一个整数除以3，所得余数只能为0或1或2，即， 反之，集合中任一数都是整数，即，所以，故B正确； 对于C，当时，，但，故C错误； 对于D，，不妨令，，，， 则，因，于是得，即，因此整数属于同一个类，故D正确. 故选：ABD. 1．（2025·高一·湖北黄冈·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以. 故选：A 2．（2025·高一·全国·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，，可得. 故选：B. 3．（2025·高一·全国·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以. 故选：B. 4．（2025·高一·贵州·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，所以，由，解得，所以， 因此. 故选：B. 5．（2025·高二·湖南·期中）集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】B 【解析】由题意有：，又，所以， 所以或或， 所以，所以中的元素个数为3个， 故选：B. 6．（2025·高一·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，集合，若中有且只有三个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式 由于中有且只有三个元素，则或， 解得， 故选：A. 7．（2025·高一·山西晋中·期中）已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】D 【解析】. 当时，； 当时，； 当时，； ，所以集合的真子集个数是： 故选：D 8．（2025·高一·上海·期中）“”是“不等式对一切实数恒成立”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】若不等式对一切实数恒成立， 当时，可得，符合题意； 当时，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“不等式对一切实数恒成立”的充分非必要条件，故A正确. 故选：A. 9．（2025·高一·安徽合肥·月考）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】C 【解析】由，得，解得， 则， 对于A，当时，，又，则，故A错误； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，由定义知，又， 则，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，， 又，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：C. 10．（2025·高一·宁夏吴忠·月考）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解析】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 11．（多选题）（2025·高一·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【解析】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD 12．（多选题）（2025·高一·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【解析】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 13．（2025·高一·安徽合肥·月考）已知集合，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 14．（2025·高一·河南·期中）已知有限集合中元素的个数记作，已知集合，，均为实数，若，则实数的所有取值组成的集合为 ． 【答案】 【解析】因为集合中有3个元素，所以， 所以或或， 因为，， 所以无实数根， 由得；得． 当时，，，此时． 当时，，，不成立． 当时，，，不成立， 所以实数b的所有取值组成的集合为． 故答案为： 15．（2025·高一·山西太原·月考）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 16．（2025·高一·贵州·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）根据题意，可得， 当时，， 所以． （2）由，可得， 可得以下两种情况： 当时，，解得； 当时，则，解得； 综上所述，， 即实数的取值范围是,． 17．（2025·高一·甘肃兰州·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ， 所以， 所以. （2）若，则， 当时，； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 18．（2025·高一·湖南长沙·期中）已知集合， (1)求 (2)已知集合，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）集合，又集合， 所以， ． （2）因为， 所以有， 解得， 所以实数的取值范围为． 19．（2025·高一·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【解析】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $