精品解析：江西省赣州市安远县蔡坊学校2025-2026学年上学期八年级数学第5次学情检测

2025－2026学年上学期安远县蔡坊学校八年级数学第5次学情检测 一、单项选择题（本大题共6小题、每小题3分、共18分） 1. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 2. 把代数式 分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， =3x（x2-2xy+y2）， =3x（x-y）2． 故选D． 3. 下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据提取公因式和平方差公式“”因式分解，逐项判定即可． 【详解】解：A、，不能因式分解，故该选项不符合题意； B、，只用了提取公因式来因式分解，故该选项不符合题意； C、，用了提取公因式和平方差公式进行因式分解，故该选项符合题意； D、 ，只用了提取公因式来因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握用提取公因式和平方差公式因式分解是解题的关键． 4. 下列各式中，计算结果为81－x2的是（ ） A. （－x－9）（x－9） B. （x+9）（－x－9） C. （－x+9）（－x－9） D. （x+9）（x－9） 【答案】A 【解析】 【详解】本题是平方差公式的应用，选项A中，-9是相同的项，互为相反项是x与-x，据此即可解答． 解：81-x2=（-x-9）（x-9）或者（9+x）（9-x）． 故选A． 5. 利用因式分解计算等于（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法进行分解因式，先整理原式，再运算括号内，即可作答． 【详解】解：， 故选：C． 6. 已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【详解】证明: ∵，， ∴． ∵，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， ∴四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是4的倍数，另一个是2的倍数；同时必有一个数是3的倍数，一个数是5的倍数（或含因数5）． ∴，恰好为四个连续正整数． ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】将看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键． 9. 若一个正方形的面积为，则此正方形的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的作用，根据正方形的面积公式，面积等于边长的平方，因此需要将给定的面积表达式因式分解为完全平方形式，从而求出边长，再计算周长． 【详解】解：正方形的面积为，因式分解得， 所以边长为， 周长为边长的4倍，即， 故答案为：. 10. 已知，则_________． 【答案】36 【解析】 【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】∵， ∴原式=， 故答案是：36． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 11. 若代数式的值为0，则_______，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先把原式化为，可得，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练的利用完全平方公式分解因式是解本题的关键． 12. 已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2-6a-4b＋13=0，则c为______ 【答案】2或3或4 【解析】 【分析】由a2＋b2－6a－4b＋13＝0，，得（a-3）2+（b-2）2=0，求得a、b的值，再根据三角形的三边关系定理求得c的取值范围，根据c为整数即可求得c值． 【详解】∵a2+b2-6a-4b+13=0，∴（a-3）2+（b-2）2=0， ∴a-3=0，b-2=0， 解得a=3，b=2， ∵1＜c＜5，且c为整数， ∴c=2、3、4， 故答案为：2或3或4． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、三角形三边关系，根据非负数的性质求得a、b的值，再利用三角形的三边关系确定c的值是解决此类题目的基本思路． 三、解答题（本大题共5小题、每小题6分＋共30分） 13. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首项系数为负数，需把“-”号提出来； （2）利用提公因式法解答，注意符号的变化． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，找准多项式的公因式是解题的关键． 14. 已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负． 【答案】的值是负值． 【解析】 【分析】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】=（a-b+c）(a-b-c) 因为任意两边的之和大于第三边可得a-b+c大于零，a-b-c小于零，所以（a-b+c）(a-b-c) 小于零，即小于零． 故的值是负值． 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法及三角形的三边关系． 15. 已知，求的值． 【答案】121 【解析】 【详解】∵x²+y²−4x+6y+13=(x−2)²+(y+3)²=0， ∴x−2=0，y+3=0，即x=2，y=−3， 则原式=(x−3y)²=11²=121． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法， 非负数的性质：偶次方，已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 16. 先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】；64 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式，再代入数据进行计算即可. 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 17. 通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分组分解法因式分解 （1）根据题干所提供的方法，结合分组分解法的分组原则进行解答即可； （2）根据分组分解法的分组原则进行解答即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 四、解答题（本大题共3小题、每小题8分、共24分） 18. 某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． （1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． （2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 分解因式的结果为，理由如下， ∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， ∴分解因式的结果为 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解，根据例题的方法求解是解题的关键； （1）根据例题的方法可得有一个因式是，进而设，展开，即可求解． （2）同（1）的方法求解，即可． 【小问1详解】 解：∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 19. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：___________； （2）因式分解：____________； （3）若为正整数，试说明的值为某一个正整数的平方． 【答案】（1）； （2）； （3） 解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）原式变形为，再用平方差公式因式分解即可； （3）将原式转化为，令，则原式，，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 略 20. 已知m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，求m3－2mn＋n3的值． 【答案】－2 【解析】 【分析】先由已知式子可求出的值，再把所求式子变形成的形式，然后将已知的式子代入整理即可与建立联系，进而可求出结果． 【详解】解：∵m2＝n＋2，n2＝m＋2， ∴由已知两式相减，得：， ∴， ∴， ∵ m≠n，∴，即． ∴ ． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解和代数式的变形求值，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键 五、解答题（本大题共2小题，共小题9分，共18分） 21. 【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 【答案】 （1）① ；② ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究与应用，解题的关键是发现与多项式相乘的结果规律． （1） 依据已知式子的规律，直接写出结果； （2） 逆用规律将分解为与对应多项式的乘积； （3） 把底数看作，逆用规律计算式子的值． 【详解】（1）①解：由规律得， 故答案为：． ②解：由规律得， 故答案为：． （2）解：逆用规律得， 故答案为：． （3） 解：令， 原式 22. 阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 【答案】（1）①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）9， 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【小问1详解】 解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； 【小问2详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）如图1所示的四个图形可拼成如图2所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解： ； （2）如图3，有足够多的边长为的大正方形，长为、宽为的长方形和边长为的小正方形，利用拼图将多项式进行因式分解，在图4虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； （3）若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则 ． 【答案】（1）； （2）如图，； （3）4或3 【解析】 【分析】本题考查因式分解，构造图形，利用面积关系分解是求解本题的关键． （1）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解，即可； （2）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解，即可； （3）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解，即可． 【详解】解：（1）由图形得； 故答案为：； （2）略 （3）如图： 或 根据图形可得：， 或， 故答案为：4或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期安远县蔡坊学校八年级数学第5次学情检测 一、单项选择题（本大题共6小题、每小题3分、共18分） 1. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 把代数式 分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果为81－x2的是（ ） A. （－x－9）（x－9） B. （x+9）（－x－9） C. （－x+9）（－x－9） D. （x+9）（x－9） 5. 利用因式分解计算等于（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 2025 6. 已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 8. 因式分解：________． 9. 若一个正方形的面积为，则此正方形的周长为________． 10. 已知，则_________． 11. 若代数式的值为0，则_______，________． 12. 已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2-6a-4b＋13=0，则c为______ 三、解答题（本大题共5小题、每小题6分＋共30分） 13. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 14. 已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负． 15. 已知，求的值． 16. 先分解因式，再求值：，其中，． 17. 通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． （1）． （2）． 四、解答题（本大题共3小题、每小题8分、共24分） 18. 某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． （1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． （2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 19. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：___________； （2）因式分解：____________； （3）若为正整数，试说明的值为某一个正整数的平方． 20. 已知m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，求m3－2mn＋n3的值． 五、解答题（本大题共2小题，共小题9分，共18分） 21. 【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 22. 阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）如图1所示的四个图形可拼成如图2所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解： ； （2）如图3，有足够多的边长为的大正方形，长为、宽为的长方形和边长为的小正方形，利用拼图将多项式进行因式分解，在图4虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； （3）若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $