精品解析：辽宁省东北育才高中2025-2026学年高三上学期第五次周练数学试题

2025—2026学年度上学期东北育才高中高三年级第五次周练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 3. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5 5. 若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知2019—2024年中国台球相关企业年注册量（单位:万家）依次为0.64，0.87，2.01，3.16，4.15，5.54，则下列结论正确的是（ ） A. 这6个数据的极差为5.09 B. 这6个数据的中位数为2.585 C. 这6个数据的平均数大于2 D. 从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2024年 10. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为8 C. D. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 13. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________． 14. 已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． （1）若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． （2）记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 16. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 18. 已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标. 19. 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. （1）求证：四边形是矩形； （2）若 求二面角 的正弦值； （3）记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期东北育才高中高三年级第五次周练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数值域求出集合，即可求两集合的并集. 【详解】由， 则， 故选：A. 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算即可得到答案. 【详解】， 则其虚部为1. 故选：A. 3. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程是椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 4. 已知平面向量均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合模长关系可得，结合题意可得，进而可求模长. 【详解】因为，且， 则， 即，可得， 又因为，则 则， 所以. 故选：C. 5. 若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数过点，求出点关于直线对称点，进而求得，设函数图象上的点关于点的对称点为，点在函数的图象上，代入求解即可. 【详解】函数过点， 而点关于直线对称的点为， 因为函数的图象关于直线对称， 所以点在函数的图象上， 则，即，则， 设函数图象上的点关于点的对称点为， 所以，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，所以. 故选：B 6. 若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，可得出函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正数的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 则函数. 因为函数满足，所以函数是奇函数， 则，解得， 而，因此最小可取. 故选：D. 7. 已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆相交，求出两圆公共弦方程，由点在两圆的公共弦上，得，根据均值不等式求出的最小值. 【详解】由题知：圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径， 易证得，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即，则在，即有， 则， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为． 故选：C． 8. 已知正方体的棱长为1，平面α过点A，C，且与棱交于点E，若平面α将该正方体分成体积之比为的两部分，则点E 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先说明与、与不重合，作出截面，设，根据台体的体积公式求出，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离. 【详解】如图，设平面与线段交于点，连接， 又平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又，所以， 则，所以， 当与重合时，截面为， ，不合题意； 同理，与重合时，也不合题意； 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，则，，，， 故，，， 所以三棱台的体积， 所以，化简整理得，解得或（不合题意）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离. 故选：C 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知2019—2024年中国台球相关企业年注册量（单位:万家）依次为0.64，0.87，2.01，3.16，4.15，5.54，则下列结论正确的是（ ） A. 这6个数据的极差为5.09 B. 这6个数据的中位数为2.585 C. 这6个数据的平均数大于2 D. 从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2024年 【答案】BC 【解析】 【分析】利用极差的定义可判断A，利用中位数的定义可判断B，利用平均数的定义可判断C，分别计算2020到2024年的年注册量增长率可判断D. 【详解】对于A，这6个数据的极差为，故A错误； 对于B，，所以这6个数据的中位数为2.585，故B正确； 对于C，这6个数据的平均数为，故C正确； 对于D，2020到2024年的年注册量增长率依次为 ，，，，， 所以从2020年开始，每年与上一年相比，年注册量增长率最大的是2021年，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为8 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差比较法，可判定A错误；根据基本不等式求最值，可判定B正确；将C转化为不等式，求得不等式的解集，可判定C正确；化简得，构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，由， 因为，可得，所以，即，所以A错误； 对于B，由于， 则， 当且仅当，且时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由不等式两边同除，可得， 即，即，因为，解得，所以C正确； 对于D，由不等式，可得， 即，构造函数， 可得，所以函数在上单调递增， 因为，所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意. 【详解】由题意可知，，，，解得， 则，，, 当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 , 等号成立时，故B正确； 设过点的圆的方程为， 设，且，，， 则，，， 得，， 则过点的圆的方程为，圆心， 因为圆的直径，则关于点对称，则， 令，则， 因，则， 因，则点的轨迹方程为，C正确； 当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，即当时，，则满足 解不等式组可得x的取值范围． 【详解】，不等式恒成立 即，不等式恒成立 设，即当时， 所以 ，即，解得或 故答案为： 13. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设 因为 ，所以 ，因为是等腰直角三角形，所以可得 ，又因为在函数图象上，所以 ，解得 点A的横坐标为 ，故答案为. 14. 已知等差数列的公差，前项和为，若，且 ，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列为等差数列以及题中所给条件得到，因为，可以得到的最大值在处取得，求解即可. 【详解】因为为等差数列，且，，所以 ，解得，因为，所以，因为，所以，所以的最大值在处取得， ，所以若，则一元二次方程开口向上，无最大值，不符合题意，若，则一元二次函数的图像开口向下，最大值在对称轴处取得，，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． （1）若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． （2）记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出次轮障碍穿越成功的概率； （2）先求出挑战成功的概率，利用独立事件的性质得出挑战成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解． 【小问1详解】 设事件为“首轮悬停定位成功”，事件为“次轮障碍穿越成功”， ， 根据全概率公式，次轮障碍穿越成功的概率为： ， 随机抽取一名参赛学生，次轮障碍穿越成功的概率为． 【小问2详解】 挑战成功需要两项任务均成功，即为事件，其概率为： ， 不同学生的首轮成功相互独立，并且次轮成功概率仅依赖于自身首轮结果， 各学生的挑战成功事件相互独立， 记为名学生中挑战成功的人数，则服从二项分布， 数学期望：， 方差：． 16. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）结合导数，分及进行讨论即可得； （2）将不等式化简后可令，可得在上单调递增，结合导数正负与单调性的关系求导后参变分离计算即可得. 【小问1详解】 ，， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； 【小问2详解】 由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 18. 已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标. 【答案】(1) ； （2）（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：. 设PQ的中点为，则 又TF的方程为，则得， 所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程. （2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化简得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标. 【详解】（1），又. （2）椭圆方程化为. （ⅰ）略 （ⅱ）， 又，所以 . 当时取等号，此时T的坐标为. 【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题. 19. 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. （1）求证：四边形是矩形； （2）若 求二面角 的正弦值； （3）记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 【答案】（1）证明: AI 如图，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面. 因为平面，所以， 因为，所以， 又四边形是平行四边形，所以四边形是矩形. （2） （3）证明:由题可得：， 因为为线段的中点，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 所以， 所以， 由于，所以，因此得证：. 【解析】 【分析】（1）首先连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，在利用线面垂直的性质证明，最后利用三棱柱的性质证明四边形是矩形； （2）首先以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.然后分别求平面与平面的法向量，最后利用二面角的夹角公式进行求解即可. （3）首先根据三棱锥的体积公式确定数列是等比数列，并求其通项公式，再利用裂项相消法求和，并结合放缩法即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：. 设二面角的平面角的大小为， 则， 所以， 即二面角的正弦值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $