精品解析：北京市第九中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025北京九中高一12月月考 数学 2025.12 年级：高一 科目：数学 考试时间100分钟 满分100分 一、单选题（共45分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是减函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A. B. C. D. 5. 函数，且的图象过定点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知命题“，”，那么命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. （ ） A. 11 B. 7 C. 0 D. 6 8. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（ ） A. B. C. D. 9. 为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（ ） A. 0.017，0.048 B. 0.017，0.48 C. 0.17，0.048 D. 0.17，0.48 10. 测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（ ） A. 两组学生身高的极差不相等 B. 甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大 C. 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大 D. 甲组学生身高在175cm以上的人数较多 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D. 函数有3个零点 二、填空题（共15分） 16. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，事件B表示“向上的点数不超过4”，则______． 17. 某次期中考试10位同学的数学成绩数据如下：.则这组数据的第75百分位数为__________. 18. 化简的结果是____________. 19. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．甲乙两位同学以相同分数考入某高中，甲同学每天以饱满的热情去学习，每天都在“进步”，乙同学沉迷于手机，每天都在“退步”．如果甲每月的“进步”率和乙每月的“退步”率都是20%，那么甲“进步”的是乙“退步”的100倍需要经过的时间大约是________个月（四舍五入，精确到整数）（参考数据：，）． 20. 函数有如下命题： 函数图象关于y轴对称． 当时，是增函数，时，是减函数． 函数的最小值是． 无最大值，也无最小值． 其中正确命题的序号是______． 三、解答题（共40分） 21. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 22. 为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 23. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，． （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （2）若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ （3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 24. 已知函数； （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 25. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京九中高一12月月考 数学 2025.12 年级：高一 科目：数学 考试时间100分钟 满分100分 一、单选题（共45分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，进而可求函数的定义域. 【详解】若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2. 下列函数中是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用解析式直接确定单调性即可判断得解. 【详解】对于A，函数是增函数，A不是； 对于B，函数在定义域上不单调，B不是； 对于C，函数是增函数，C不是； 对于D，函数是定义域上的减函数，D是. 故选：D 3. 某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的性质求解即可． 【详解】从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽到的概率为． 故选：D． 4. 如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 5. 函数，且的图象过定点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质求解. 【详解】由指数函数的性质可知的图象过定点， 则，故. 故选：B 6. 已知命题“，”，那么命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 而命题“，”是特称命题， 所以命题“，”的否定是“，”， 故选：D. 7. （ ） A. 11 B. 7 C. 0 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分数指数幂的性质以及对数的性质求解即可 【详解】 故选:B 【点睛】本题主要考查分数指数幂的性质以及对数的性质，属于基础题. 8. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出样本空间，利用古典概率求解即可. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有： ，，，，，，，， 共13个基本事件， 所以. 故选：D 9. 为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，，的值为（ ） A. 0.017，0.048 B. 0.017，0.48 C. 0.17，0.048 D. 0.17，0.48 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，由频率分布直方图中矩形高度的概念可求出，由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 故选：A 10. 测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（ ） A. 两组学生身高的极差不相等 B. 甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大 C. 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大 D. 甲组学生身高在175cm以上的人数较多 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据极差, 平均数和中位数的定义计算, 结合选项得出答案. 【详解】选项A，甲组学生身高的极差为，乙组学生身高的极差为， 则两组学生身高的极差不相等，A正确； 选项B，甲组学生身高的平均值为， 乙组学生身高的平均值为， 则甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值小，B错误； 选项C，甲组学生身高的中位数为，乙组学生身高的中位数为， 甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数小，C错误； 选项D，甲组学生身高在以上的有3人，乙组学生身高在以上的有4人， 则甲组学生身高在以上的人数较少，D错误． 故选：A． 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，将代入可得答案. 【详解】 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算性质，属于基础题. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中间变量比较大小即可. 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 13. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数， 故，解得或者， 且函数，在上单调递减，上单调递增， 函数为单调减函数， 根据复合函数的单调性可得，函数的单调增区间为. 故选：D 14. 已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可． 【详解】若在上为增函数， 则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 15. 已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D. 函数有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得周期为4，对A，根据条件，利用偶函数的性质，即可求解；对B，利用函数的周期性，即可求解；对C，假设结论成立，从而有，再根据题设有，即可求解；对D，将问题转化成图象交点的个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且， 则，即周期为4， 对于选项A，因为时，， 则时，，，又， 所以时，，故A正确， 对于选项B，，故B正确， 对于选项C，若的图像关于点对称， 则，又， 则与矛盾，故C错误， 对于选项D，令，得， 由选项A知，， 又的周期为，则同一直角坐标系中， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知，有个交点， 所以函数有个零点，故D正确， 故选：C. 二、填空题（共15分） 16. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，事件B表示“向上的点数不超过4”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知事件：点数为偶数或点数不超过4有1，2，3，4，6，结合古典概型分析求解. 【详解】由题意可知：向上的点数为1，2，3，4，5，6， 事件：点数为偶数或点数不超过4，有1，2，3，4，6， 所以． 故答案为：. 17. 某次期中考试10位同学的数学成绩数据如下：.则这组数据的第75百分位数为__________. 【答案】89 【解析】 【分析】根据百分位数的概念和公式求解即可. 【详解】因为，所以第75百分位数是第8个数， 由数据可以看出第8个数字是89，所以第75百分位数是89. 故答案为：89. 18. 化简的结果是____________. 【答案】0 【解析】 【分析】由指数幂的运算性质及对数运算性质化简即可. 【详解】原式. 故答案为：0 【点睛】本题考查指数幂的运算性质及对数运算性质，属于基础题. 19. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．甲乙两位同学以相同分数考入某高中，甲同学每天以饱满的热情去学习，每天都在“进步”，乙同学沉迷于手机，每天都在“退步”．如果甲每月的“进步”率和乙每月的“退步”率都是20%，那么甲“进步”的是乙“退步”的100倍需要经过的时间大约是________个月（四舍五入，精确到整数）（参考数据：，）． 【答案】11 【解析】 【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解. 【详解】经过个月后，“进步”的是“退步”的比， 所以，两边取以10为底的对数得，解得. 要使“进步”的是“退步”的倍，则大约需要经过11个月. 故答案为：11. 20. 函数有如下命题： 函数图象关于y轴对称． 当时，是增函数，时，是减函数． 函数的最小值是． 无最大值，也无最小值． 其中正确命题的序号是______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：（1），函数为偶函数，所以图像关于y轴对称； （2）当时，由复合函数单调性可知增区间为，减区间为 （3）中当时取得最小值为2，函数最小值为 （4）由（3）可知函数有最小值，无最大值 考点：函数奇偶性单调性及最值 三、解答题（共40分） 21. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由真数大于零可求出函数的定义域； （2）由对数函数的单调性得出，解出即可. 【详解】（1），，解得， 因此，函数的定义域为； （2），得，解得， 因此，的取值范围是. 【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，同时也考查了对数不等式的求解，涉及对数函数单调性的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 22. 为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）由各小矩形的高之和为求解； （2）由比例求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以在，，内应各抽取： ，，. 故在，，内分别抽取，，人. 23. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，． （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （2）若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ （3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求，再由平均数计算公式即可求解； （2）由百分位数计算公式即可求解； （3）确定样本空间，由古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由， 得， 平均数为 【小问2详解】 前4个矩形面积为： ， 前5个矩形面积为： ， 所以若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号， 则成绩至少要达到 【小问3详解】 区间有人， 区间有人， 设内两人为，内3人为， 则随机抽取2名学生共有： ， 来自不同组的有， 所以这2名学生成绩不在同一分组的概率为. 24. 已知函数； （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或 【解析】 【分析】 （1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性； （2），则，利用复合函数的单调性判断； （3）利用函数单调性解不等式即可． 【详解】解：（1）由得，或， 又， 故函数是奇函数； （2）令，其在上单调递增， 又在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增， 又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增， 所以函数的单调增区间为，； （3），且函数在上单调递增得， 解得或． 25. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $