3.3数量之间的关系（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

本讲义聚焦数量之间的图形规律探索核心知识点，通过“观察图形趋势-列表分析数量-代数式表示验证”的一般方法，系统梳理点的排列、线段个数、图形拼接、周期性等常见规律类型，结合思维导图构建从方法到应用的完整学习支架。 该资料以分层提分（30分至70分）为设计目标，通过国庆小彩旗、沥青分子结构等生活实例，引导学生用数学眼光观察规律，用数学思维推理数量关系，如三角形数规律、正方形拼接规律的探究。课中辅助教师系统授课，课后练习题帮助学生强化规律应用，查漏补缺，提升抽象能力与模型意识。

3.3数量之间的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 图形规律探索的一般方法： · 观察图形的变化趋势，从简单图形入手，分析图形数量（如个数、长度、面积等）随着图形序号（或图形的变化次数）的增加而变化的情况。 · 列出图形序号与对应数量的表格，通过表格寻找数量之间的关系。 · 尝试用代数式表示所发现的规律，并进行验证，确保规律对后续图形依然成立。 2. 常见图形规律类型及代数式表示： · 点的排列规律： · 例如，如图是由点组成的图形，第1个图形有1个点，第2个图形有3个点，第3个图形有6个点，第4个图形有10个点……第(n)个图形中点的个数为（此为三角形数规律）。 · 线段、角、三角形等个数规律： · 例如，在一条直线上有(n)个点，那么这条直线上线段的总条数为。 · 图形的拼接规律： · 例如，用相同的小正方形拼大正方形，第1个大正方形由1个小正方形组成，第2个大正方形由4个小正方形组成，第3个大正方形由9个小正方形组成……第(n)个大正方形所需小正方形的个数为。 · 图形的周期性规律： · 例如，一组图形按“△□○△□○……”的顺序排列，周期为3，第(n)个图形的形状可通过的余数来判断，若余数为1则是△，余数为2则是□，余数为0则是○。 3. 利用规律解决问题：根据所探索出的图形规律，用代数式表示出第(n)个图形的相关数量后，可解决已知图形序号求数量或已知数量求图形序号等问题。例如，若第(n)个图形中某种图形的个数为(2n + 1)，则第10个图形中该图形的个数为。 型 习 练 题 一、单选题 1．观察下列数字规律 2          8  32        128     则第8行第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律等知识，考查了乘方运算，有理数的加法等知识，发现数字变化规律是解题关键．观察数字，得到第n个数字可以表示为．所以第k行有个数，从而得到第8行第10个数为第个数，把代入，即可求解． 【详解】解：由题意得 这些数字由上往下依次为 ， 所以第n个数字可以表示为． 因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数， 所以第k行有个数， 所以到第8行第10个数共有个数， 当时，． 故选：A 2．如图，为庆祝国庆76周年，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形；按照这种方法摆下去，当要摆第76个图形时需要棋子的枚数是（    ） A．232 B．231 C．230 D．229 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探究，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察图形，可以发现第一个图形有4个点，之后的每个图形都比前面的图形多3个点，据此推出规律即可解答． 【详解】解：观察图形可知， 第1个图形点的个数有（个）， 第2个图形点的个数有（个）， 第3个图形点的个数有（个）， 第4个图形点的个数有（个）， ∴第n个图形点的个数有个 ， ∴第76个图形点的个数有． 故选：D． 3．观察下图，图（1）有3个圆形，记作；图（2）有6个圆形，记作；图（3）有9个圆形，记作；图（4）有12个圆形，记作，按此方法继续下去，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆形个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中圆形的个数，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， …， ． 故选：C． 4．如图所示，下列图案是由黑白两种颜色的六边形地砖组成的，第1个图案中有6块白色六边形地砖，第2个图案中有10块白色六边形地砖，第3个图案中有14块白色六边形地砖，那么第7个图案中有 白色六边形地砖（   ）块 ． A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现规律． 观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地砖包围，再每增加一个黑色地砖就要增加四个白色地面砖，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得，第1个图案中有白色六边形地面砖块； 第2个图案中有白色六边形地砖块； 第3个图案中有白色六边形地砖块； ∴第n个图案中有白色地砖块； ∴第7个图案中有白色地砖块， 故选：B． 5．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为，…，依次类推，则的值为（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字与图形的变化规律、有理数的混合运算，首先根据图形的变化规律得到的变化规律，再用裂项相消的方法进行计算． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， ， 第幅图形中“●”的个数为， ． 故选：B． 6．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有个点，每个图形总的点数为．当时，（   ） A．26 B．12 C．33 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律探索题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题中图形总结可得，图形总的点数为个点，代入，即可求解． 【详解】解：当时，图形总的点数有个点； 当时，图形总的点数有个点； 当时，图形总的点数有个点； …… 所以 当时； 故选C． 7．如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．4个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现白色圆片个数变化的规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出黑色圆片周围白色圆片的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 1个黑色圆片周围白色圆片的个数为：； 2个黑色圆片周围白色圆片的个数为：； 3个黑色圆片周围白色圆片的个数为：； 4个黑色圆片周围白色圆片的个数为：； ， ∴n个黑色圆片周围白色圆片的个数为个； ∴个黑色圆片周围白色圆片的个数为（个）． 故选：C． 二、填空题 8．请将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆……按此规律依次递增，第个图形有 个小圆． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式，可先分别列出前四个图形中计算小圆个数的算式，找到规律，即可求得第个图形中小圆的个数． 【详解】第个图形中小圆的个数； 第个图形中小圆的个数； 第个图形中小圆的个数； 第个图形中小圆的个数； ······ 第个图形中小圆的个数． 故答案为： 9．海口近几年城市发展迅速，交通越来越便利．修建公路时，会用到一种叫“沥青”的主要材料，沥青里含有一类叫做“稠环芳香烃”的物质．图4中的一系列图形为同一类“稠环芳香烃”物质的分子结构图．第1个图表示的分子结构，其分子中含有10个原子；第2个图表示的分子结构，其分子中含有16个原子；第3个图表示的分子结构，其分子中含有22个原子．则根据规律，第4个图表示的分子结构中，原子的个数为 ；第个图表示的分子结构中，原子的个数为 【答案】 28 / 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现原子的个数依次增加6是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构中原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图表示的分子结构中，原子的个数为：； 第2个图表示的分子结构中，原子的个数为：； 第3个图表示的分子结构中，原子的个数为：； 第4个图表示的分子结构中，原子的个数为：； ， 所以第个图表示的分子结构中，原子的个数为个． 故答案为：28，． 10．如图,自左至右，第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；．按照此规律，第个图中正方形个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探究；观察图象，根据前几个图形中正方形的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：第个图由个正六边形、个正方形； 第个图由个正六边形、个正方形； 第个图由个正六边形、个正方形； ． 按照此规律，第个图中正方形个数为 故答案为：． 11．用火柴按如图方式搭正方形，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，…，搭10个正方形需要 根火柴棒，搭n个正方形需要 根火柴棒． 【答案】 31 【分析】本题考查了图形的规律，根据图形中火柴棒根数的变化找出“每增加一个正方形需要多用3根火柴棒”的变化规律是解题的关键．观察图形，搭一个正方形要火柴4根；搭2个正方形需要火柴根；搭3个正方形需要火柴根；从而发现每增加一个正方形需要多用3根火柴棒，即可得搭10个正方形需要的火柴棒，搭个正方形需要的火柴棒． 【详解】解：观察第一个图得，搭1个正方形要4根火柴棒； 观察第二个图得，搭2个正方形要7根火柴棒； 观察第三个图得，搭3个正方形要10根火柴棒； 所以搭10个正方形要31根火柴棒； 搭个正方形要火柴根，即根火柴棒． 故答案为：31，． 12．小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，按照这种方法摆下去，摆第n个这样的图形需要 枚棋子．（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，通过观察发现出规律是解题的关键． 先列举前几个图形的棋子枚数，然后归纳规律即可解答． 【详解】解：由图可知： 第1个图形中共有枚； 第2个图形中共有枚； 第3个图形中共有枚； …， 则第n个图形共有枚棋子． 故答案为：． 13．《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完，那么第次截取后剩下的木棒长为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，关键是审清题意，熟练掌握有理数乘方的性质．根据题意分析每次截取后剩余长度的变化规律，即可得出第次截取后剩余长度的表达式． 【详解】解：由题意得， 初始木棒长度为尺，每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半， 因此第次截取后剩余长度为 （尺）． 故答案为：． 14．巴尔末成功的从光谱数据：，，，，……中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门．请你根据以上光谱数据的规律写出它的第20个数据 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律探究，解题的关键是找出分子与分母的规律，用含序号的式子表示第个数据． 观察数据得，第个数据的分子是，分母是（或）；代入 计算分子和分母，化简得结果． 【详解】解：由题意，第个数据的分子为，分母为， 当时， 分子：， 分母：， 故第20个数据为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3数量之间的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 图形规律探索的一般方法： · 观察图形的变化趋势，从简单图形入手，分析图形数量（如个数、长度、面积等）随着图形序号（或图形的变化次数）的增加而变化的情况。 · 列出图形序号与对应数量的表格，通过表格寻找数量之间的关系。 · 尝试用代数式表示所发现的规律，并进行验证，确保规律对后续图形依然成立。 2. 常见图形规律类型及代数式表示： · 点的排列规律： · 例如，如图是由点组成的图形，第1个图形有1个点，第2个图形有3个点，第3个图形有6个点，第4个图形有10个点……第(n)个图形中点的个数为（此为三角形数规律）。 · 线段、角、三角形等个数规律： · 例如，在一条直线上有(n)个点，那么这条直线上线段的总条数为。 · 图形的拼接规律： · 例如，用相同的小正方形拼大正方形，第1个大正方形由1个小正方形组成，第2个大正方形由4个小正方形组成，第3个大正方形由9个小正方形组成……第(n)个大正方形所需小正方形的个数为。 · 图形的周期性规律： · 例如，一组图形按“△□○△□○……”的顺序排列，周期为3，第(n)个图形的形状可通过的余数来判断，若余数为1则是△，余数为2则是□，余数为0则是○。 3. 利用规律解决问题：根据所探索出的图形规律，用代数式表示出第(n)个图形的相关数量后，可解决已知图形序号求数量或已知数量求图形序号等问题。例如，若第(n)个图形中某种图形的个数为(2n + 1)，则第10个图形中该图形的个数为。 型 习 练 题 一、单选题 1．观察下列数字规律 2          8  32        128     则第8行第10个数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为庆祝国庆76周年，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形；按照这种方法摆下去，当要摆第76个图形时需要棋子的枚数是（    ） A．232 B．231 C．230 D．229 3．观察下图，图（1）有3个圆形，记作；图（2）有6个圆形，记作；图（3）有9个圆形，记作；图（4）有12个圆形，记作，按此方法继续下去，则（    ）． A． B． C． D． 4．如图所示，下列图案是由黑白两种颜色的六边形地砖组成的，第1个图案中有6块白色六边形地砖，第2个图案中有10块白色六边形地砖，第3个图案中有14块白色六边形地砖，那么第7个图案中有 白色六边形地砖（   ）块 ． A．29 B．30 C．31 D．32 5．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为，第幅图形中“●”的个数为，…，依次类推，则的值为（    ） A．， B． C． D． 6．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有个点，每个图形总的点数为．当时，（   ） A．26 B．12 C．33 D．23 7．如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．4个黑色圆片周围一共摆有个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．请将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆……按此规律依次递增，第个图形有 个小圆． 9．海口近几年城市发展迅速，交通越来越便利．修建公路时，会用到一种叫“沥青”的主要材料，沥青里含有一类叫做“稠环芳香烃”的物质．图4中的一系列图形为同一类“稠环芳香烃”物质的分子结构图．第1个图表示的分子结构，其分子中含有10个原子；第2个图表示的分子结构，其分子中含有16个原子；第3个图表示的分子结构，其分子中含有22个原子．则根据规律，第4个图表示的分子结构中，原子的个数为 ；第个图表示的分子结构中，原子的个数为 10．如图,自左至右，第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第个图由个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；．按照此规律，第个图中正方形个数为 个． 11．用火柴按如图方式搭正方形，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，…，搭10个正方形需要 根火柴棒，搭n个正方形需要 根火柴棒． 12．小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，按照这种方法摆下去，摆第n个这样的图形需要 枚棋子．（用含n的代数式表示）    13．《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完，那么第次截取后剩下的木棒长为 尺． 14．巴尔末成功的从光谱数据：，，，，……中得到巴尔末公式，从而打开光谱奥妙的大门．请你根据以上光谱数据的规律写出它的第20个数据 ． 学科网（北京）股份有限公司 $