专题10 函数综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

专题十函数综合题（必考） 【方法指导】本专题的综合性较强，对数形结合、分类讨论等数学思想方法要求较高.常见的设问类 型及方法： (1)与含参一次函数有关的交点问题，详见课堂精讲册P37; (2)与二次函数有关的最值问题，详见课堂精讲册P49: (3)与二次函数有关的交点、整点、距离问题，详见课堂精讲册P53~P54, 类型1工一次函数综合题(10年5考：2023.25)2.跨学科物理-光的反射水平放置的平台高 1.原创如图，在平面直角坐标系中，有一动 度为1dm,平台上的光源A和竖直放置的 点P(-a,a+3)和两定点A(-1,-1),B(1, 不透光屏幕MN都可以左右平移，但光源 -3) A的照射角度和方向不变，MN=5dm,平 (1)求直线AB的解析式； 台左端是竖直放置的平面镜PQ(无限 (2)当a=-2时，判断点P是否在直线 大)，没有屏幕遮挡，从点A发射的光线会 AB上； 照射到平面镜的点B处；若屏幕与平面镜 (3)嘉嘉说：当α取不同的两个值时，得到 相距1dm,则光线照射到屏幕上的点C 两个点P1,P2,则直线P,P2与直线AB平 处，建立如图所示的平面直角坐标系，单位 行.嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行 长度是1dm,点A,B的坐标分别为(3,1)， 说理； (0,3) (4)直接写出△PAB的面积 (1)①在图中补画出x轴和原点0，并求光 线AB所在直线的解式； ②直接写出点C的坐标 (2)将屏幕向右平移到与平面镜相距6dm 的M'N'处，若使光线经过平面镜反射后恰 好照射到顶端M',求光源A的平移方向和 距离. P平 M M' 屏 A平台N” 61 3.[三点共线问题](2023河北25题12分)4.[整点问题](2022河北25题10分)如图， 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移 在平面直角坐标系中，线段AB的端点为 动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称 A(-8,19),B(6,5). 为一次甲方式；从点(x,y)移动到点(x+1, (1)求AB所在直线的解析式 y+2)称为一次乙方式： (2)某同学设计了一个动画：在函数y= 例点P从原，点0出发连续移动2次：若 都按甲方式，最终移动到点M(4,2):若都 mx+n(m≠0，y≥0)中，分别输入m和n 按乙方式，最终移动到，点N(2,4);若按 的值，便得到射线CD,其中C(c,0).当c= 1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 2时，会从C处弹出一个光点P,并沿CD E(3,3) 飞行：当c≠2时，只发出射线而无光点 (1)设直线L1经过上例中的点M,N,求 弹出. 的解析式，并直接写出将11向上平移9个 ①若有光点P弹出，试推算m,n应满足的 单位长度得到的直线，的解析式 (2)点P从原点0出发连续移动10次，每 数量关系； 次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的 Q(x,y).其中，按甲方式移动了m次 整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就 ①用含m的式子分别表示x,y; 会发光，求此时整数m的个数 ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在 20 条确定的直线上.设这条直线为3，在图中 18 直接画出l3 16 (3)在(1)和(2)中的直线11,12,13上分别 有一个动点A,B,C,横坐标依次为a,b,c, 10 8 若A,B,C三点始终在一条直线上，直接写 6 D 出此时a,b,c之间的关系式 2 33 -10-8-6-4-2 2468x 30 27 2 十十 2 18 12 ++H++H+ T■ 3691215182124273033x 62 5.(2025邯郸育华中学二模)如图，在平面直 类型2二次函数综合题(10年3考) 角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴、y轴 6.[台阶问题](2021河北25题10分)如图 于点A、B,直线y=x+b(k≠0)交直线y= 是某同学正在设计的一动画示意图，x轴 x+4于点C,交x轴于点D(1,0) 上依次有A,O,N三个点，且A0=2,在0N (1)求点A的坐标 上方有五个台阶T1~T(各拐角均为 (2)若点C在第二象限，△ACD的面积 90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5， 是5 台阶T,到x轴的距离OK=10.从点A处 ①求点C的坐标； 向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+12发出 ②直接写出不等式组x+4>kx+b>0的 个带光的点P 解集； (1)求点A的横坐标，且在图中补画出 ③连接BD,将△CAD沿x轴平移，点C,A, y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上 D的对应点分别为C,A1,D,设点D,的 (2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形 横坐标为m,直接写出平移过程中 成了另一条与L形状相同的抛物线C,且 △C1A1D1只有两个顶点在△BAD外部时， 最大高度为11，求C的解析式，并说明其 m的取值范围. 对称轴是否与台阶T,有交点； (3)在x轴上从左到右有两点D,E,DE= 1,从点E向上作EB⊥x轴，且BE=2.在 △BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2) 中沿抛物线C下落的点P能落在边BD (包括端点)上，则点B横坐标的最大值比 最小值大多少？ [注：(2)中不必写x的取值范围] B N DE 63 7.(2025石家庄外国语学校模拟)如图，在平8.原创如图，抛物线L1:y1=mx2+2mx+m+2 面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与 与y轴交于点C,抛物线L2:y2=-x2+nx-5 x轴分别交于点A(-3,0)与点B(1,0).已 与y轴交于点D.已知两条抛物线交于点 知P是该抛物线上的一个动点（不与点B M(t,-2),过点M作y轴的垂线，分别交两 重合) 条抛物线于点A和点B. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (1)直接写出点D的坐标 (2)将抛物线上P,B两点之间的部分（包 (2)甲同学说：抛物线L1必经过一个定点， 括端点)记作图象W,当图象W上最高点 乙同学说：无论x为何值，抛物线L2与x 与最低点的纵坐标的差是5时，求点P的 轴都没有交，点. 坐标： 请选择其中一人的说法，判断是否正确，并 (3)若动点P的横坐标是n,另有坐标系中 说明理由， 一动点Q,其坐标是(-3n,n).如图2，在坐 (3)当以A,B,C,D为顶点的四边形是正 标系中构造一个各边均与坐标轴垂直的矩 方形时， 形，使PQ为矩形的对角线.当抛物线在矩 ①求t的值； 形内部的部分对应的函数值y随x的增大 ②直接写出在该四边形内部（不包括边 而增大时，直接写出n的取值范围， 界)的所有整点（横、纵坐标都是整数）的 坐标 (4)若AM与MB的长相等，均为d(d≠ 0),直接用含d的式子分别表示m和n. D 图1 图2 64 类型3多种函数结合的综合题 10.[整点问题]如图，抛物线L,y=- 2(x+ (10年4考：2025.24,2024.26) 9.(2025石家庄校级一模)如图，抛物线1： t)(常数t>0)与x轴的负半轴交于点G, 其顶点为Q.过点Q作QM⊥x轴于点M, y=ax2-2ax-3a(a≠0)与x轴交于A,B两 点（点A位于点B左侧），与y轴交于点 交双曲线L2:y=二(x<0)于点P,且OG· C(0,3).抛物线1，由抛物线11先向左平移 MP=4. 2个单位长度，再向下平移5个单位长度 (1)求k的值； 得到，顶点为D. (2)当t=2时，求PQ的长： (1)求a的值及点B的坐标； (3)当P是QM的中点时，求t的值： (2)请说明：无论x为何值，抛物线12对应 (4)若抛物线L,与双曲线L,所围成的区 的函数值都小于0； 域（不含边界）内的整点（点的横坐标与 (3)连接BC,CD,BD,请判定△BCD的形 纵坐标均为整数)只有1个，直接写出t 状，并说明理由； 的取值范围. (4)将抛物线11，l2位于x≤0的部分组合 成新图象，记作G.当直线y=k(x+1)-1与 图象G有3个交点时，请直接写出k的取 值范围. D 65 1如图，直线y=子46与轴y轴分别交 12.[整点问题]如图，若b是正数，直线1：y= b与y轴交于点A,直线a:y=x-b与y轴 于A,B两点，点A的坐标为(6,0).在 交于点B,抛物线L:y=-x2+bx的顶点为 x轴的负半轴上有一点C(-4,0),直线 C,且L与x轴的右交点为D. AB上有一点D,且CD=OD. (1)若AB=8,求b的值，并求此时L的对 (1)求b的值. 称轴与a的交点坐标； (2)若反比例函数)y=的图象过点D. (2)当点C在1下方时，求点C与1距离 的最大值 ①求反比例函数y=的解析式： (3)设x0≠0，点(x0,y1),（x0,y2),（x0, y3)分别在l,a和L上，且y3是y1,y2的平 ②若直线y=a与反比例函数y=(x<0) 均数，求点(xo,0)与点D之间的距离； (4)在L和a所围成的封闭图形的边界 的图象交于点，与直线y= 2+b交于 上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美 点N,且MN=6,求a的值 点”，分别直接写出b=2025和b=2025.5 (3)在线段AB上有一个动点P,点P的 时“美点”的个数 横坐标为p,作点P关于y轴的对称点Q. 当点Q落在△CD0的内部（不包括边界） 时，直接写出p的取值范围. 66 13.[交点问题](2025河北24题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经 过点A(0,3),B(6,3),顶点为P.抛物线y=a(x-3)+d(a<0)经过点C(2,2.两条抛物 线在第一象限内的部分分别记为L1,L2 (1)求b,c的值及点P的坐标 (2)点D在么上，到x轴的距离为判断么，能否经过点D,若能，求a的值：若不能，请 说明理由， (3)直线AE:y=x+n(k>0)交L1于点E,点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横 坐标的一半 ①若点E与点P重合，点M恰好落在L,上，求a的值： ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值. b C 67 14.原创如图，抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点M. 过点M的直线I:y=kx-5与抛物线C的另一交点为N. (1)求抛物线C的解析式 (2)若点N在x轴的上方， ①求四边形AMBN的最大面积 ②当∠NAB+∠NBA=90°时，求点N的坐标. (3)如图2，将抛物线C在x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的曲线与抛物线C在x轴下 方的部分合起来记为C' ①当-1≤x≤4时，曲线C'上点的纵坐标y的最大值与最小值分别为多少？ ②当直线1与曲线C'有三个交点时，直接写出所有符合题意的k的取值， 图1 图 68 15.[距离问题](2024河北26题13分)如图，抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0)，顶点为Q.抛 物线Cy=()+-2(其中1为常数，且2，顶点为户 2 (1)直接写出a的值和点Q的坐标 (2)嘉嘉说：无论t为何值，将C,的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C,上 洪淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点 请选择其中一人的说法进行说理. (3)当t=4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线PQ,当1与C,的交点到x轴的距离恰为6时，求1与x轴交点的横坐标. (4)设C,与C,的交点A,B的横坐标分别为xA,xg,且x4<xg点M在C,上，横坐标为m (2≤m≤x).点N在C2上，横坐标为n(xA≤n≤t).若点M是到直线PQ的距离最大的 点，最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n. 6 4 2042468 -6 69则点E,F分别落在边AD,BC上， A D ÷AES矩形程。R, AB R,+R R R2 AE<ADR+ <R1 RR,∠R 同理可证R+R, 8.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为 2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N. (2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉办关于x 的函数解析式为F拉力=kx+b. 将(6,4)和(10,2.8)分别代入， 得2降伦， :当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函 数解析式为F拉=-0.3x+5.8(6≤x≤10). (3)m=0.6,n=1.6.【解法提示】根据图象，圆柱体小铝 块所受重力为4N,当x=8时，F拉方=-0.3×8+5.8=3.4， 4-3.4=0.6(N),.m=0.6.当6≤x≤10时，设弹簧测力 计B的示数F拉助关于x的函数解析式为F拉力=k1x+b1,将 (6,4)和(102.5)分别代人，得0=4，解得 10k+b1=2.5, {k,=-0.375,、.当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数 (b1=6.25. F拉力关于x的函数解析式为F拉力=-0.375x+6.25(6≤x≤ 10),当-0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6,7.6-6= 1.6(cm),∴.n=1.6. 专题十函数综合题 1.解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b. 将A(-1,-1),B(1,-3)分别代入， 公子 (k+b=-3. ∴.直线AB的解析式为y=-x-2. (2)当a=-2时，点P的坐标为(2,1). 由(1)知，直线AB的解析式为y=-x-2, 当x=2时，y=-4≠1， ∴.当a=-2时，点P不在直线AB上. (3)嘉嘉说得对.说理如下： 点P的坐标为(-a,a+3), 点P在直线y=-x+3上运动. :直线y=-x+3与直线y=-x-2平行， .直线PP2与直线AB平行. (4)△PAB的面积为5.【解法提示】由(3)知，点P所在 直线l的解析式为y=-x+3,与直线AB平行，.无论a取 何值，点P到直线AB的距离为定值.如解图，过点O作 OC⊥直线I于点C,延长CO交直线AB于点D.易得点D 与点A重合，直线1和直线AB与x轴所夹锐角均为45°， 0,0c=39cn=0c+0n52 2 :A(-1, -1),B(1,-3),AB=√(-1-1)+(-1+3)7=2√2， ∴.S△PB= 2CD·AB=5 A(D 2.解：(1)①如解图，x轴和原点0即为所求. 设光线AB所在直线的解析式为y=kx+b, 将A(3,1),B(0,3)分别代入， 得3+6=1， 2 解 k=-3’ (b=3, b=3, 2 ·光线AB所在直线的解析式为)=3x+3, 7 ②C(1,3 4 M M 面 屏 镜 Q NA平台N” (2)如解图，连接BM',M'M,并延长M'M交y轴于点T. 设A0=3mdm,则B0=2mdm. ∠MBT=∠ABQ,∠M'TB=∠AQB=90°， .△M'TB∽△AQB, 7B.即550，解得m=分 1 AQ OB'3m 2m 1 3 经检验，m=2是所列分式方程的解AQ=之dm, 光源1的平移方向为狗左，平移鹿离为3子-(dm. 3.解：(1)设，的解析式为y=x+b(k≠0)， 将M(4,2N24分别代人，得秋子解得-， (b=6. .1,的解析式为y=-x+6,∴.1，的解析式为y=-x+15. (2)①根据题意可知，x=2m+(10-m)=m+10, y=m+2(10-m)=-m+20. ②：x+y=m+10-m+20=30, ∴.无论m怎样变化，点Q都在直线：y=-x+30上. 画出直线l3略. (3)a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b.【解法提示】 点A,B,C的横坐标依次为a,b,c,.A(a,-a+6),B(b, -b+15),C(c,-c+30).当a≠b≠c,-a+6≠-b+15≠-c+30 时，设直线AB的解析式为y=px+q(p≠0)，由题意可得 9 pa+g=-a+6解得 p=-1 b-a .直线AB的解析式为 pb+q=-b+15 /9=6 9a b-a )+6-90A,B,C三点始终在一条直线 9 y=(-1+ b- b-a 43 9 上，.(-1+ 9)c+6-90=-c+30,化简得5a+3c=8h:当 b-a b-a =b=c或-a+6=-b+15=-c+30时，满足5a+3c=8b.故a b,c之间的关系式为5a+3c=8b 4.解：(1)设AB所在直线的解析式为y=x+b(k≠0)， 将A(-8,19),B(6,5)分别代入 彩g海公2 ∴.AB所在直线的解析式为y=-x+11 (2)①若有光点P弹出，则c=2, 此时点C的坐标为(2,0). 把C(2,0)代入y=mx+n,得2m+n=0, .m,n应满足的数量关系是2m+n=0(m≠0). ②.：2m+n=0,∴.n=-2m,∴.y=mx+n=mx-2m. 联立x+11, 解得m=+11 9 =-1 （y=mx-2m, x-2 x-2 -8≤x≤6，m为整数， ∴.当x=-7时，m=-2,击中AB上的整点(-7,18)； 当x=-1时，m=-4,击中AB上的整点(-1,12)： 当x=1时，m=-10,击中AB上的整点(1,10)： 当x=3时，m=8,击中AB上的整点(3,8)： 当x=5时，m=2,击中AB上的整点(5,6). 综上所述，整数m的个数为5. 5.解：(1)令y=x+4=0,得x=-4,.A(-4,0) (2)①D(1,0),A(-4,0),.AD=5. S△4cw=5,点C在第二象限， 2D·c=5,y6=2, 对于y=x+4, 当y=2时，2=x+4,解得x=-2,∴.C(-2,2). ②不等式组x+4>kx+b>0的解集为-2<x<1. ③如解图 对于y=x+4,当x=0时，y=4,.B(0,4). 设直线BD的解析式为y=k'x+b'(k'≠0) 把B(0,4),D(1,0)分别代入， 得=4， '+b'=0 年代 .直线BD的解析式为y=-4x+4. 把y=2代人y=-4x+4, 得2=-4+4，解得=宁 5 此时平移距离为2(-2)= 2 57 :当点C,在直线BD上时，点D,的横坐标为1+22 当点A,在点D处时，点D,的横坐标为1+5=6， .当△CAD沿x轴向右平移，且△C1A,D1只有两个顶点 44 7 在△BMD外部时，2<m≤6： 当△CAD沿x轴向左平移，且△C,A,D,只有两个顶点在 △BAD外部时，-4≤m<1. 综上所述，平移过程中△C,AD,只有两个顶点在△BAD 外部时，m的取值范围为)<m≤6或-4≤m<1 6.解：(1)令y=-x2+4x+12=0,解得1=-2，x2=6. :点A是抛物线L与x轴的左侧交点， .点A的横坐标为-2 补画y轴如解图，点P会落在台阶T,上 B N DE (2)对于y=-x2+4x+12,令y=7,得x=5或x=-1, 抛物线L与台阶T,的交点坐标为(5,7) 设抛物线C的解析式为y=-(x-k)2+11(其中k>5), 将(5,7)代入，得k=7, .抛物线C的解析式为y=-(x-7)2+11,其对称轴为直 线x=7. 台阶T,两端的坐标分别为(6,6)与(7.5,6)， ·.抛物线C的对称轴与台阶T,有交点. (3):抛物线C固定，要使点P落在边BD上，点B、点D 的纵坐标分别为2,0，点B、点D的横坐标都大于7， .当-(x-7)2+11=2时，解得x=4(舍去)或x=10,点B 横坐标的最小值为10：当-(x-7)2+11=0时，解得x=7- √T(舍去)或x=7+√T,点B横坐标的最大值为7+√T +1=8+w√/Π. :8+/T-10=√T-2, .点B横坐标的最大值比最小值大T-2. 7.解：(1)由题意可得，抛物线的解析式为y=(x+3)(x-1) =x2+2x-3. y=x2+2x-3=(x+1)2-4,.顶点坐标为(-1，-4). (2)设P(m,m2+2m-3), 当m<1时，m2+2m-3-(-4)=5, 解得m,=-1-√5，m2=-1+√5（舍去），∴.P(-1-√5,1)： 当m>1时，m2+2m-3=5, 解得m1=2,m2=-4(舍去)，P(2,5) 综上所述，点P的坐标为(-1-5,1)或(2,5). (3)n的取值范围为-√+l<n<0或m- 2 2 【解 法提示】：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,抛物线的对称轴为 直线x=-1.当n>0时，-3n<0,点Q(-3n,n)在第二象限， P(n,n2+2n-3),如解图1.抛物线在矩形内部的部分对 应的函数值y随x的增大而增大，.n2+2n-3>n,.n< 万或万：0当0时， 2 -3n>0,点Q(-3n,n)在第四象限，如解图2.拋物线在矩 形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大，∴n2+2- 3xn,-3+1B-1 <n< 2 n<0-3+ <n<0. 2 2 综上所述，n的取值范围为-√+ 2 cn<0或m3-1 2 B 解图1 解图2 8.解：(1)点D的坐标为(0，-5) (2)(答案不唯一，选择其中一个进行说明即可) 甲同学的说法正确.理由如下： y1=mx2+2mx+m+2=m(x2+2x+1)+2=m(x+1)2+2, .抛物线L,必经过定点(-1,2)，.甲同学的说法正确 乙同学的说法错误.理由如下： 令y2=0,得-x2+nx-5=0,即x2-nx+5=0, 该一元二次方程的根的判别式为4=n2-20. :n值的大小无法确定，△的正负无法确定， 抛物线L,与x轴的交点个数无法确定， .乙同学的说法错误. (3)①如解图1，记AB与CD的交点为N. 设点A的坐标为(a,m(a+1)2+2)(a<0). .·AB⊥y轴，∴.AB∥x轴，AN=-a, ∴.yN=yA=yM=-2, ∴.m(a+1)2+2=-2①，DN=(-2)-(-5)=3. 易得点C的坐标为(0，m+2),∴.CN=m+2-(-2)=m+4. .·四边形ADBC是正方形，.CN=DN, ∴.m+4=3,.m=-1. 将m=-1代人①，得a=-3或a=1(舍去)， ∴.抛物线L,的解析式为y=-x2-2x+1. 将M(t,-2)代入，得-2=-t2-2t+1, 解得t=1或t=-3(舍去).t的值为1. ②由①可知，A(-3,-2),B(3,-2),C(0,1),D(0,-5), ·在该正方形内部（不包括边界）的所有整点的坐标为 (0,-4),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(-2,-2),(-1, -2),(0,-2),(1,-2),(2,-2),(-1,-1),(0,-1),(1, -1),(0,0) (4)ms-16 ，m=2山-2【解法提示】如解图2，当AM= MB=d时，抛物线L,:y1=m(x+1)2+2的对称轴为直线 x=-1,∴点A的坐标为(-12，一2)，点M的坐标为（一 2,-2).点A在抛物线L,上-2=m(-1- 2+1)2+ 2,整理，得m=-16 点M在抛物线L,上，抛物线L2 的对称轴为直线x=-1+ 2+2 -1+d=分整理，得n= dd 2d-2. 解图1 解图2 9.解：(1)将C(0,3)代入y=ax2-2ax-3a, 得-3a=3,解得a=-1, y=-x2+2x+3. 令y=-x2+2x+3=0, 解得x1=3,2=-1. ·点A位于点B左侧，.B(3,0) (2)证明：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线1，的解析式为y=-(x+1)2-1, -1<0. .当x=-1时，y=-(x+1)2-1有最大值-1<0， .无论x为何值，抛物线12对应的函数值都小于0. (3)△BCD是等腰三角形.理由如下： 由(2)知，D(-1,-1). C(0,3),B(3,0), .BD=√17，CD=√I7,BC=32, .BD=CD,△BCD是等腰三角形. (4-1≤k4且≠0,6≠子 【解法提示】如解图，设， 与y轴交于点F,l,l2交于点H.由(2)知，抛物线2的解 析式为y=-(x+1)2-1=-x2-2x-2,当x=0时，y=-2, F(0,-2).联立=--2x-2, +5 解得 4, y=-x2+2x+3, 7 y=16 17 16 .y=k(x+1)-1,当x=-1时，y=-1,.直线y=k(x +1)-1恒过点D(-1,-1).当k=0时，直线为y=-1,此时 直线与离象G有2个交点：当直线过点（芹品）时。 名=(-子+1)-1，解得=子此时直线与图象G有2 17 个交点；当直线过点C(0,3)时，k=4,此时直线与图象G 有4个交点；当直线过点F(0,-2)时，k=-1,此时直线与 图象G有3个交点.综上所述，当-1≤k<4且≠0，} 时，直线y=k(x+1)-1与图象G有3个交点. 45 10解：(1)由题意，得G(-t,0).M(-7,0),0G=t en=4p-品÷m-5 把风子代入y兰得手解得6=2之 (2)当t=2时， 地物线L:y子(x+2)子(+1分 0(-1,子)，P的臢坐标为-1， 由(1)得，双曲线Ly=-2 x 2 当x=-1时，y=- =2， -1 P(-1,2)0=2-1=3 22 1 1 (3)抛物线L1y=-2x(x+t)=2(x 8 0子g. P是QM的中点，QMLx轴， 把（宁记）代人=是 名解得=4 2 (4):的取值范围是<1≤4【解法提示0如解图1， L具有对称性.当=-2时，=子×(-2)x(-2)满 足1<y≤2，.1<t-2≤2，解得3<t≤4.当x=-3时，y= -2×(-3)x(-3)满足1<y≤21<(-3)≤2，解得 1 3s3 11 1的取值范眉是号<≤45②如解图2.当 x=-2时，y=t-2满足2<y≤3,2<t-2≤3，解得4<t≤5. 当x=-3时，y=之(1-3)满足0≤y≤1,0≤ 3 2(3)s 1,解得3≤三号，此时无解综上所述，的取值花周是 11 解图1 解图2 11解：(1)将A(6,0)代入y=-2+b,解得6=3. (2)①CD=0D,C(-4,0),点D的横坐标为-2. .1 由(1)得=3，y=2+3, 46 当x=-2时，y=4,D(-2,4) 将-2,4代入y=车，得=-8 ·反比例函数的解析式为y=-8 x ②：直线y=a与反比例函数)=-兰（x<0)的图象交于 1 点，与直线y=2x+3交于点N, 8 ∴.a>0,M(-,a）),N(6-2a,a) MW=6,.1- 8 --6+2a1=6. ∴.a=2或a=3+√13（负值已舍去）. 6 10 (3)5p<3 【解法提示】：点P所在直线的解析式 1 为y=2+3(0≤x≤6)，点P关于y轴的对称点为Q, 六点Q所在直线的解析式为)=2+3(-6<x<0).设CD 所在直线的解析式为y='x+b',将C(-4,0),D(-2,4) 分别代入解析式，得k'=2,b'=8,即y=2x+8.设OD所在 直线的解析式为y=mx,将D(-2,4)代入解析式，得m= 10 x=- -2,即y=-2x.联立 2+3解得 3 联立 4 y=2x+8. 3 6 1 = 1y= 2+3解得 5, 12 点Q的横坐标为-P,点Q y=-2x, 10 路在△cD0的内部（不包括边界），，<P<-(,解 得6 10 p<3 12.解：(1)直线1：y=b与y轴交于点A,.A(0,b). 直线a:y=x-b与y轴交于点B,.B(0,-b). 又AB=8,0A=0B=4, ∴.b=4,∴抛物线L的解析式为y=-x2+4x, 抛物线L的对称轴为直线x一22， 对于y=x-4,当x=2时，y=-2, ∴.抛物线L的对称轴与直线a的交点坐标为(2，-2). (2):抛物线L的解析式为y=-x2+bx, :点C在1下方， .点C与1的距离为b- 2-=4(6-2)2+1≤1， .点C与1距离的最大值为1. (3)由题意可得，y1=b,y=x0-b,y3=-x6+bxo y3是y1y的平均数， 空-城宁 解得0=0或。=62 1 1 x0≠0,0=6-2 对于抛物线L,当y=0时，0=-x+bx,解得x1=0,x2=b. b>0,点D的坐标为(b,0), ÷点(x,0)与点D之间的距离为6-(62)=2 1、1 (4)4052;1013.【解法提示】当b=2025时，直线a的解 析式为y=x-2025,抛物线L的解析式为y=-x2+2025x.联立 -2025，解得{2026或{025抛物线 y=-x2+2025x, 和直线a的交点坐标为(-1，-2026)，(2025,0)，美点 的个数为2027+2025=4052：当b=2025.5时，直线a的 解析式为y=x-2025.5,抛物线L的解析式为y=-x2+ 2025.5x.联立 y=x-20255,。解得 x=-1, (y=-x2+2025.5x, -2065或 {=2025.5,.抛物线L和直线a的交点坐标为(-1， (y=0, -2026.5),(2025.5,0),.美点的个数为0+1013=1013. 13.解：(1)抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,3),B(6,3), {。-A ∴y=-x2+6x+3=-(x-3)2+12,P(3,12) (2)L,不能经过点D.理由如下： “点D在L,(第一象限)上，到x轴的距离为23，☐ _23 y24 令y=46+3-孕解得=或 2 1123 2)或(24 ~抛物线=a(x-3)2+d(a<0)经过点c(3,2). .抛物线L,的对称轴为直线x=3, L经过点c(分2)和点（号2. .L,不能经过点D (3)①.P(3,12), .当点E与点P重合时，E(3,12). A(0,3),且易知M是AE的中点，M(3,15 2,2） ~点M恰好落在五上，L经过点C(分2)，。 解得a=-8 11 2=(分3)ad, ②k的值为6-√I5.【解法提示】直线AE:y=kx+n(k> 0)交L,于点E,A(0,3),∴.n=3,.直线AE的解析式为 y=+3.y=a(x-3)+d(a<0)经过点c(7,2)2 40+dd=2-2 2 a,y=a(x-3)2+2-25a 4a=ax-6ax+ 11 +2.联立 11 =ax2-6ax+ 4a+2,消去y,得a2--6a+ y=x+3, 11 +3).:点 a M的横坐标是点E横坐标的一半，M(g+,6k+K 2a’2a 3).将点E的坐标代人y=-+6r+3,得6ak+ +3= a _(6a+h)+6×6a+6+30.:点M为直线AE与L2的唯 a2 11 一公共点4=(k+6a)°-4xax(4a-1)=02.联立① 之名6布行4 当k=6+√15时，唯一 公共点不在第一象限，不符合题意，.k=6-√5. 14.解：(1)点M在y轴上，且在直线l:y=kx-5上， .M(0,-5) :抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点 B(5,0), .抛物线C的解析式可表示为y=a(x-1)(x-5) 将M(0.-5)代入.得a=-1, .抛物线C的解析式为y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5. (2).A(1,0),B(5,0),M(0,-5),.AB=5-1=4,0M=5, Sa=5ae5e宁4h.0N4Bx分× 1 4×5+2×4yw=10+2y, ∴当yw最大时，四边形AMBN的面积最大. .点N在抛物线C上，且在x轴的上方， 当点N为抛物线C的顶点时，yw最大. y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4, .抛物线C的顶点坐标为(3,4) ∴y%最大为4，此时S助形AwN=10+2yx=18, ∴.四边形AMBN的最大面积为18. ②当∠NAB+∠NBA=90时，∠AWB=90°. 如解图，过点N作NH⊥x轴于 点H, 则∠AHN=∠NIHB=90°， .∠NMH+∠ANH=90°. .·∠AWH+∠BWH=90°. .∠NAH=∠BNH, 、AHNH △ANH△NBH,NHBH .NI =AH BH. 设点N的坐标为(n,-n2+6n-5)(1<n<5), 则N㎡=(-n2+6n-5)2=(n-1)2(n-5)2,AH=n-1,BH= 5-n, .(n-1)2(n-5)2=(n-1)(5-n), 化简整理，得n2-6n+6=0, 解得n,=3-√3，n,=3+√3 .点N的坐标为(3-√5,1)或(3+5,1). (3)①观察图象C'可知，在x=-1时，y取得最小值，最小 值为-1-6-5=-12， 在x=1时，y取得最大值，最大值为0. ②k的取值为1或2√10-6. 1 15.解：(1)a=2,Q(2,-2) (2)(任选其中一个进行说明即可) 选择嘉嘉的说法：Q(2,-2)向左平移2个单位长度后为 (0,-2), 当x=0时，Gy=0-)+之-2=-2. .无论t为何值，Q(2,-2)向左平移2个单位长度后一 定落在C,上 47 选择祺跳的说法：Gy子(-)+-2=- x2十 2 2 tx-2. 当x=0时，y=-2,∴.C2一定过点(0，-2)， ∴无论t为何值，C,总经过一个定点 (3)①当=4时，C,的解析式为y=2(x-4)+6, .顶点P的坐标为(4,6). 设直线PQ的解析式为y=ex+f, 将P(4,6),Q(2,-2)分别代入， 得仁6解得i0 ∴.直线PQ的解析式为y=4x-10. ②当1与C,的交点到x轴的距离为6时， 交点的纵坐标y=6或y=-6. 对于C=2(x-4)2+6, 当y=6时，x=4,到x轴的距离为6的点即为点P,不合 题意，舍去 当)-6时，-6=2x-4)+6, 解得x1=4-2√6，x2=4+26. ∵直线PQ,.设直线1的解析式为y=4x+h. 将x1=4-26,y=-6代人， 得4(4-26)+b=-6,解得b=8√6-22. .直线1的解析式为y=4x+86-22. 当y=0时，x=11-46 2 ~1与x轴交点的横坐标为Ⅱ-46 2 同理，当2=4+26时，1与x轴交点的横坐标 为+46 2 综上所述，1与x轴交点的横坐标为1-46或1+46 2 2 (4)n=t-m+2. 【解法提示】小：C:y= 2（x-2)2-2, Gy=子)-26是曲G,通过旋转10， 1 再平移得到的，两个抛物线的形状相同，如解图，连接AB 交PO于点L,连接AO,BQ,AP,BP,易知四边形APBQ是 平行四边形.·点M是到直线PQ的距离最大的点，最 大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,∴M与 B重合，N与A重合Q(2,-2),P,7-2)点L 的横坐标为空，点业的酸坐标为，点V的损坐标为 几，点L的横坐标为m+nm+n_2+t 2 2=2,n=m+2, B(M 48 专题十一三角形、四边形综合题 1.解：(1)4. (2)证明：如解图1，过点P作PE⊥OB 于点E,作PF⊥OA于点F .·点P在∠AOB的平分线上， .PE=PF=4. -B 0 ED 在R△DPE和R△CPF中，PE=PF, (PD=PC, 解图1 .Rt△DPE≌Rt△CPF(HL), .∴.ED=FC,∴.OC+OD=OE+OF ·∠AOB=∠OEP=∠OFP=90°，.四边形OEPF为矩形. .OE+0F=PF+PE=8...0C+OD=8. .OC+0D的长为定值 (3)点N与点P的最大距离为4.【解法提示】由(2)可 知Rt△DPE≌Rt△CPF,四边形OEPF为矩形，.∠FPC= ∠EPD.∠FPE=90°，.∠CPD=∠CPE+∠EPD=∠CPE+ ∠FPC=∠FPE=90.又：PC=PD,.△PCD为等腰直角 三角形.6D502N为cD的中点子6n=号 2 CP,.当CP取最大值时，NP有最大值点C,D分别 在射线0A,0B上，且0C+0D=8,.当点C与点0重合 时，CP取得最大值，此时CD与OD重合.点P到OB的 距离为4，点P到CD的距离为4.由等腰三角形三线合 一可得NP=4,∴.点N与点P的最大距 A 离为4 (4)①作图如解图2. ②由(2)可知0C+OD=8. .0D=2,.0C=6. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= 解图2 2√/10. 解法1：∠COD=∠OMD,∠CD0=∠0DM, △0CD∽△M0D,OMOD OC CD 0w=0C.0D310 CD 5 解法2：Saam=20C.0D=20M.CD, 0M=0C.0D3v10 CD 5 2.(1)证明：·△ABC是等边三角形， .∴.AC=BC=AB=12,∠ACB=60°. AE=BF=4. .∴.AC-AE=BC-BF=8,即EC=FC. .△EFC是等边三角形 (2)解：.·△EFC是等边三角形， .EF=EC=FC,∠FEC=60° △EPM是等边三角形，.EP=EM,∠PEM=60°， .∠FEC-∠PEC=∠PEM-∠PEC,即∠FEP=∠CEM. (EF=EC, 在△EFP和△ECM中，〈∠FEP=∠CEM. EP=EM. ∴.△EFP≌△ECM(SAS),.FP=CM. EC=FC=FP+PC,..EC=CM+PC.