专题9 综合与实践-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

专题九综合与实践（近2年连续考查） 【考情解读】河北数学中考连续两年(2024、2025)考查综合与实践，这也是近年全国中考的热点题 型，落实2022年版课标精神 【方法指导】此题型的特点是：题干长、涉及知识点多，但实际上难度并不大.同学们在做此类题时， 一定要沉着冷静，认真读题，从冗长的题干中抽取有用的信息，并转化为数学语言. 类型1几何操作型(2025.23,2024.23) 1.（2025达州)开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP 作法：甲同学用尺规作出了角平分线； 乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； 丙同学也用尺规作出了角平分线： 工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为 ∠AOB的平分线. 甲同学 乙同学 丙同学 工人师傅 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角 形全等，其判定全等的方法是 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS,ASA或HL, ② 对丙同学的作法陷入了沉思 任务：(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证： 已知∠AED=∠AOB,EP=EO,求证：OP平分∠AOB. 53 2.(2025邢台任泽区一模)图1是一张三角形纸片ABC,∠ABC=90°，AB=6,BC=8,沿垂直 于斜边AC的方向裁剪一刀（裁剪线为MN),会得到两个图形 情境：(1)当裁剪线MW恰好经过顶点B时，如图2，直接写出MN的长， 操作：(2)要使经过沿MN裁剪的三角形纸片ABC中，得到的其中一个图形为轴对称 图形 ①嘉嘉想出了如下作法：先作出了∠C的平分线CW交AB于点N,如图3，再过点N沿垂 直于AC的方向裁剪，得到的四边形BCMN一定是轴对称图形.在图3中，请用无刻度的直 尺和圆规过点N作出AC的垂线MN,垂足为点M(保留作图痕迹，不写作法)； ②试对CB与CM相等进行说理，并求出裁剪线MW的长 探究：(3)在(2)的情形中，淇淇说：“裁剪线MN还应有另一个不同的值.”请直接写出淇 淇所说的MW的长. B(N) 图1 图2 图3 54 3.(2024河北23题10分)情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心0为顶点的等腰直 角三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示. (说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余) 图1 图2 操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形 如图3，嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接， 根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段EF的长； (2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长. ③ A D H ②D ③ F人 E 20① ① B B 图3 图4 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度 尺或圆规)，画出裁剪线（线段PQ)的位置，并直接写出BP的长. B 图5 55 4.(2025河北23题11分)综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切 割线. 图1 图2 [模型]已知矩形ABCD(数据如图2所示).作一条直线MN,使MN与BC所夹的锐角为 45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分， [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题， 4十十十十十十 十十十十 如图3，嘉嘉的思路如下： 如图4，淇淇的方法如下： ①连接AC,BD交于点O: ①在边BC上截取BG=AB,连接AG; ②过点O作EF⊥BC,分别交 ②作线段GC的垂直平分线L,交BC于点M; BC,AD于点E,F; ③在边AD上截取AN=GM,作直线MN. 图3 图4 [探究]根据以上描述，解决下列问题， (1)图2中，矩形ABCD的周长为 (2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求 [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题 (4)如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD,BC于点P,Q, 过点B作BH⊥PQ于点H,连接CH. ①当∠PQC=45时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长. 图5 56 类型2解决问题型 5.（2025吉林)综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度 项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示 城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计 算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据 项目报告表 时间：2025年5月29日 项目 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 分析 测量工具 测角仪、皮尺 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图. 1.测出测角仪的高CD=1.4m 任务一 2.利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE=61° 测量数据 3.测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间 项目 的距离DB=42m. 6129. 实施 B D 任务二 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度（结果精确到1） 计算实际高度 (参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804) 任务三 将该城市规划展览馆AB的高度按1：4O0等比例缩小，得到其3D打印模 换算模型高度 型的高度约为 cm.(结果精确到1cm) 项目 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 结果 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三， 57 6.(2025广西)综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮 阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影口MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MW= 3m,AN=1m,AP=2m,AB=3m,BC=2.5m.由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平 移遮阳伞.在移动过程中，口MNPQ也随之移动(MN始终在AB边所在直线I上)，且形状 大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状.如图3为口MWPQ移 动到P落在BC上的情形 0 D 0 遮阳伞 义卖区 遮阳区 义卖区 投影 M A NB 图1 图2 图3 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时口MNPQ的位置. 设遮阳区的面积为Sm,口MNPQ从初始时向右移动的距离为xm. 【直观感知】(1)从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？ 【初步探究】(2)求图3情形的x与S的值， 【深入研究】(3)从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式. 【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时，口MWPQ向右移动了多少？（直接写出结果） 58 类型3跨学科型 7.综合与实践 课题：借助并联电路，探究不等式心 <a(或b). atb 已知：如图，在并联电路中，并联后的总电阻计算公式为R总= R R2 R1+R2 验证：在一个电压为12V的电路中，只有两个并联的可变电阻R,R2,调节可变电阻并测 得对应的电流，数据如下表： 电阻（单位：2） 电流（单位：A) 电阻（单位：2） 电流（单位：A) 单独运行R, 1 12 3 4 不并联 R2 2 6 4 3 并联 R点 2-3 18 2 7 (1)若R1=22,R2=32,则并联后的电阻为 电流为 发现：两个电阻并联后的电流与其中每一个电阻单独运行时相比，电路中的电流均变大， 这意味着两个电阻并联后的电阻比它们各自的电阻均要小 (2)请利用数学知识证明上述发现 探究： (3)有同学发现，这一现象也可以借助几何图形来解释，请你设计方案，并说明理由.（提 示：可考虑借助图形面积来设计方案) R R2 59 8.(2025吉林)【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完 全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方，从离桌面 20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究 浮力大小的变化.（溢水杯的杯底厚度忽略不计) 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有 关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大」 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重方；当小铝块浸入液面后，F拉力=G重方F浮力： 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A,B各自的示数F拉(N) 与小铝块各自下降的高度x(cm)之间的关系如图2所示. 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数； (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N), 若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm), 直接写出m,n的值. B F拉方/N 4 2.8 弹簧测力计A的示数 二二二二二二七二二 2.5 弹簧测力计B的示数 20 cm 20 cm 甲 乙 0 610 20 x/cm 图1 图2 60(3)设折叠圆弧所在的圆的圆心为O',连接O'0,O'C OM,设O'O与MN的交点为H,如解图3. 根据折叠的性质，得∠01M=90°，0H=0'H=20'0, 0'C=01=0B=0M=3,Mh=NH=2N 20B3 C是半径0B的中点，OC= 2 35 00=34(2)= 3 201 00=35 4 在R△0皿中，由勾股定理，得M=√OM-OF_3 4 MN=2MH=3 T 2 专题九综合与实践 1.(1)SSS:全等三角形的对应角相等. (2)证明：.·∠AED=∠AOB, ∴.ED∥OB,∴.∠EPO=∠POB. .EO=EP,∴.∠EOP=∠EPO, .∠AOP=∠BOP,∴.OP平分∠AOB 2解：(1)MN的长为24 【解法提示】.·∠ABC=90°，AB= 1 6.BC=8.AC=AB+BG=10.SAM=2AB.BC= G.w即×6x8=x10Nw=24 1 5 (2)①尺规作图如解图1. ②.CN平分∠ACB,NB⊥BC,NM⊥AC,..NB=NM. 又.·CN=CN,.Rt△BCN≌Rt△MCN(HL), ∴.CM=CB. 设MN=BN=x,则AN=AB-BN=6-x,CM=CB=8, .AM=2, 在Rt△AMN中，由勾股定理，得x2+2=(6-x)2, 解得x=8 我剪线W的长为 解图1 解图2 (3)淇淇所说的MN的长为3.【解法提示】如解图2，四 边形ABNM是轴对称图形..·△ABWN与△AMWN关于AW 成轴对称，∴.AM=AB=6,MN=BN,∠AMN=∠ABN= ∠NMC=90°，∴.CM=AC-AM=10-6=4.设MN=BN=x,则 CN=BC-BN=8-x.在Rt△CMN中，由勾股定理，得x2+ 4=(8-x)2,解得x=3..MN=3. 3.解：(1)线段EF的长为1.【解法提示】如解图1，过点 G'作GK⊥FH'于点K.结合题意可得，四边形FOGK为矩 形，.FO=KG'.由拼接可得，HF=FO=KG.由正方形的性 质，得∠A=45°，.△AHG,△Ⅲ'G'D,△AFE都为等腰直角 三角形，∴.△G'Ⅲ为等腰直角三角形.设ⅢK=KG'=x, :.HD=HG'=√2x,.AH=HG=√2x,HF=FO=x..正方 形的边长为2，.对角线的长为√2+2=2√2，.04= √2，.x+x+2x=√2，解得x=2-1,.EF=AF=√2x+x= (2+1)x=(2+1)(2-1)=1. H D ③ G E ②0 解图1 (2)与线段BE相等的线段有GE,AH,GH. 由(1)得△AFE为等腰直角三角形，EF=AF=1, AE=√2EF=2, .BE=AB-AE=2-√2. 探究画出裁剪线（线段PQ)的位置如解图2，BP=√2 或如解图3，BP=2-√2 B 2、C B P 2 解图2 解图3 4.解：(1)10 (2)如解图1（答案不唯一）. 解图1 (3)四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，AD∥BC,AB=CD. ,BG=AB,∴.∠AGB=45°. ·AN=MG,∴.四边形AGMN是平行四边形， .∴.MN∥AG,.∠NMG=∠AGB=45°. :直线l是GC的垂直平分线，.GM=CM, ∴.GM=CM=AN. ·BM=BC-CM,DN=AD-AN. .BM=DN...AN+AB+BM=CM+CD+DN. :,直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分， .直线MN符合要求. (4)①如解图2，过点H作HG⊥BC于点G,连接AC交PQ 于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点O作OT⊥BC于 点T D 解图2 :四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周 长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与 BD的交点， .0是AC的中点，PK=DC=AB=1,AP=CQ,PD=BQ, 六Bm=CT2Bc=2 ,∠PQC=45°，.∴.△PQK是等腰直角三角形， ∴QK=PK=1,.PQ=√PK+QK=√2 ·四边形ABCD是矩形， .AD/∥BC,∠APQ=∠PQC=45 41 ∠A0P=∠COQ, 在△A0P和△CO0中. ∠AP0=∠PQC, AP=CO, ② .∴.△A0P≌△C0Q(AAS),∴.P0=Q0= 2 1 .OT=OT=- 2 5 3 .∴.CQ=CT+QT= BQ=BC-CO= 21 :BH⊥PQ,∴.∠BHQ=90 .·∠BQH=∠PQC=45°， .△BHQ是等腰直角三角形， HG=G0=2B0= ,c6=C0+c0=13 ian∠BcH=1G3 CG 13 ②CH的长为2√2.【解法提示】如解图3，连接BD交 PQ于点O.:PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部 分，O为BD和PQ的中点.BH⊥PQ,.点H在以BO 为直径的⊙L上运动，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大 连接LH,LC.AB=1,AD=4,.BD=V√+4=√I7 4过点L作 LT⊥BC于点T,则∠BTL=90°.：四边形ABCD是矩形， Lh0=0n/c△m△aC80-是 √17 BT 4 LT BT BC.. √7 14LT= 4.BT=1...CT=BC-BT= 41=3,C2=L+CT=145 16 CH是⊙L的切线， ∴.∠CHL=90°，.CH=√CL-L㎡=22 D 解图3 5.解：任务二：由题意得，四边形EBDC为矩形 .'CE=DB=42 m,EB=CD=1.4 m. 在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=61° .AE=CE·tan_ACE=42×tan61°≈75.8(m), .AB=AE+EB≈75.8+1.4≈77(m), 答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m 任务三：19【解法提示】设其3D打印模型的高度为 xm,则x:77≈1：400，解得x≈0.1925，∴.其3D打印模型 的高度约为0.1925m.0.1925m=19.25cm≈19cm, .其3D打印模型的高度约为19cm 6.解：(1)由图可知，初始位置时S=0 ∴.从初始起右移至题图3情形的过程中，S随x的增大而 增大 (2)如解图1， D 遮阳区 MA B 解图1 42 根据题意，初始位置时P在AD上，右移至题图3时，P在 BC上， .x=3,此时AM=1m,Q向右移动到AD上， AW=MN-AM=3-1=2(m), S=4N+P0)·A0(2+3)x2 2 2 5 .∴.题图3情形的x的值为3，S的值为5 (3)设初始位置时，∠ANP=a,如解图2. AP .'AP=2m,AW=1m,∠PAN=90°，∴.tana= =2. AN D D NA MA 解图2 解图3 从题图3情形起右移至M与A重合的过程中，设PO交 BC于点G,PN交BC于点E,QM交AD于点F,连接EF, 如解图3， 由平移的性质可知，PG=(x-3)m,BN=(4-x)m, .GQ=3-(x-3)=(6-x)m,AN=3-(4-x)=(x-1)m '.tanP =tan ENB=tana=2, .'.GE=2PG=(2x-6)m,BE=2BN=(8-2x)m. ·.AM=MN-AN=AB-AN=BN,∠MAF=90°=∠NBE, ∠FMA=∠ENB, .∴.△FMA≌△ENB(ASA),∴.FM=EN FMEN,.四边形FMNE是平行四边形 .EF∥MN,EF=MN=3m :MNPQ,∴.四边形QFEG,四边形FANE都是梯形. 六S=S80+5SeE=(6-+3)(2-6）+ 2 (x-1+3)(8-2x2-2x2+14x-19, 2 .该过程中S关于x的解析式为S=-2x2+14x-19(3≤ x≤4) (4)口MNPQ向右移动了子m【解法提示】当0<x≤3 时，S随x的增大而增大，故当x=3时，由(2)知，S最大为 6m;当3<x≤4时.8-22+14r-19=-2(x-7)2+ 2 -20当子时s最大为号：当4时5随的 11 增大而减小，此时S<:5<),当遮阳区面积最天 时，口MNTQ向右移动了2m .7 7(10:10A (2)证明：R1>0,R2>0, 品是- RR2 RR2 =R2 .两个电阻并联后的电阻比它们各自的电阻均要小 (3)解：如解图，作矩形ABCD,使得AB=R,+R2,AD=R, 则矩形ABCD的面积S=R1(R1+R2)=R+R,R2. .R>0,∴.R+R1R>RR. 以AB为边作矩形ABFE,使得矩形ABFE的面积为R,R, 则点E,F分别落在边AD,BC上， A D ÷AES矩形程。R, AB R,+R R R2 AE<ADR+ <R1 RR,∠R 同理可证R+R, 8.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为 2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N. (2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉办关于x 的函数解析式为F拉力=kx+b. 将(6,4)和(10,2.8)分别代入， 得2降伦， :当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函 数解析式为F拉=-0.3x+5.8(6≤x≤10). (3)m=0.6,n=1.6.【解法提示】根据图象，圆柱体小铝 块所受重力为4N,当x=8时，F拉方=-0.3×8+5.8=3.4， 4-3.4=0.6(N),.m=0.6.当6≤x≤10时，设弹簧测力 计B的示数F拉助关于x的函数解析式为F拉力=k1x+b1,将 (6,4)和(102.5)分别代人，得0=4，解得 10k+b1=2.5, {k,=-0.375,、.当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数 (b1=6.25. F拉力关于x的函数解析式为F拉力=-0.375x+6.25(6≤x≤ 10),当-0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6,7.6-6= 1.6(cm),∴.n=1.6. 专题十函数综合题 1.解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b. 将A(-1,-1),B(1,-3)分别代入， 公子 (k+b=-3. ∴.直线AB的解析式为y=-x-2. (2)当a=-2时，点P的坐标为(2,1). 由(1)知，直线AB的解析式为y=-x-2, 当x=2时，y=-4≠1， ∴.当a=-2时，点P不在直线AB上. (3)嘉嘉说得对.说理如下： 点P的坐标为(-a,a+3), 点P在直线y=-x+3上运动. :直线y=-x+3与直线y=-x-2平行， .直线PP2与直线AB平行. (4)△PAB的面积为5.【解法提示】由(3)知，点P所在 直线l的解析式为y=-x+3,与直线AB平行，.无论a取 何值，点P到直线AB的距离为定值.如解图，过点O作 OC⊥直线I于点C,延长CO交直线AB于点D.易得点D 与点A重合，直线1和直线AB与x轴所夹锐角均为45°， 0,0c=39cn=0c+0n52 2 :A(-1, -1),B(1,-3),AB=√(-1-1)+(-1+3)7=2√2， ∴.S△PB= 2CD·AB=5 A(D 2.解：(1)①如解图，x轴和原点0即为所求. 设光线AB所在直线的解析式为y=kx+b, 将A(3,1),B(0,3)分别代入， 得3+6=1， 2 解 k=-3’ (b=3, b=3, 2 ·光线AB所在直线的解析式为)=3x+3, 7 ②C(1,3 4 M M 面 屏 镜 Q NA平台N” (2)如解图，连接BM',M'M,并延长M'M交y轴于点T. 设A0=3mdm,则B0=2mdm. ∠MBT=∠ABQ,∠M'TB=∠AQB=90°， .△M'TB∽△AQB, 7B.即550，解得m=分 1 AQ OB'3m 2m 1 3 经检验，m=2是所列分式方程的解AQ=之dm, 光源1的平移方向为狗左，平移鹿离为3子-(dm. 3.解：(1)设，的解析式为y=x+b(k≠0)， 将M(4,2N24分别代人，得秋子解得-， (b=6. .1,的解析式为y=-x+6,∴.1，的解析式为y=-x+15. (2)①根据题意可知，x=2m+(10-m)=m+10, y=m+2(10-m)=-m+20. ②：x+y=m+10-m+20=30, ∴.无论m怎样变化，点Q都在直线：y=-x+30上. 画出直线l3略. (3)a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b.【解法提示】 点A,B,C的横坐标依次为a,b,c,.A(a,-a+6),B(b, -b+15),C(c,-c+30).当a≠b≠c,-a+6≠-b+15≠-c+30 时，设直线AB的解析式为y=px+q(p≠0)，由题意可得 9 pa+g=-a+6解得 p=-1 b-a .直线AB的解析式为 pb+q=-b+15 /9=6 9a b-a )+6-90A,B,C三点始终在一条直线 9 y=(-1+ b- b-a 43