专题8 圆的综合题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

专题八圆的综合题(10年8考) 类型1非动态问题(2021.24) 2.(2025邢台内丘县模拟)如图，在△ABC 中，AB=AC,以AC为直径作⊙O,AB与 1.已知ABD所在圆的直径为BD,圆心为O, ⊙O交于点D,BC与⊙O交于点E,点F AB=OB,C为ABD上一点，AC,BD相交于 是⊙O外一点，CF⊥BF,BF=BD. 点E,AF为⊙O的切线，与CB的延长线交 (1)求证：FC是⊙0的切线. 于点F (2)若∠BAC=30°，AB=4. (1)求∠ADB的度数. ①求AD的长； (2)如图1，若C为BD的中点. ②求图中由CD,线段DB,BF,FC所组成 ①当BD=2时，AC的长为 的封闭图形的面积. ②求证：AF=AB. (3)如图2，若AC⊥BD,判断AF与DC的 0 位置关系，并说明理由， 0 0 图1 图2 45 3.原创如图，A,B,C是⊙0上三点，AC= 类型2动点问题(2025.21,2024.25,2020.22， CB,0A=1,延长OA,BC交于点E,过点0 2018.25) 4.（2024秋唐山路北区期末)如图，在 作BE的平行线交射线CA于点F,连 □ABCD中，BC=8,E是BC的中点，过点 接EF (1)求证：∠ACE=∠COE; E在BC上方作EC,且与CD相切于点C, (2)若AE=EF,求CF的长； 其圆心为O,连接OC,OE.发现随着∠B (3)设AE的长为x,记△AOC,△AEC, 的变化，EC所在圆的大小及其圆心0的 △AFO,四边形OCEF的面积分别为S, 位置也随之变化，设∠B=x S2,S3,S. (1)如图1，当=54°时，求∠0EC的 111 嘉嘉说：存在实数x,使得 ss成立. 度数； (2)如图2，点O在BC下方，E0∥DC,求 淇淇说：对于任意实数x(x>0),都有S≥ 4S1成立 EC的长； 请判断以上两位同学的说法是否正确，并 (3)若点O在∠ABC内部（角的边为射线， 选择其中一个进行说理 不含边界)，直接写出的取值范围 4 D 图1 图2 46 5.(2025河北21题9分)如图1，图2，正方6.如图1，在□ABCD中，AB⊥AC,AB=CD= 形ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的 6,∠ACB=30°，点P在边AD上运动，以点 圆心O在对角线BD上，且不与点D重合， P为圆心，PA长为半径的⊙P与对角线AC 半径OE=2,点E,F分别在边AD,CD上， 交于A,E两点，交AD于A,F两点 DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段 (1)当E为AC中点时，求AP的长 OB于点M,记为EMF (2)①如图2，当⊙P与边CD相切于点M (1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数； 时，AP的长为 (2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求 ②当AP=2时，通过计算比较弦AE和EF DE的长； 的大小关系 (3)当∠E0F=150时，求EMF的长 (3)当⊙P与口ABCD的边BC恰好有一个 公共点时，请直接写出AP的值或取值 范围. 图1 图2 图 图2 47 7.(2024河北25题12分)已知⊙0的半径为3，弦MN=25.在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 3,BC=3√2.在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与，点N重合，点A在⊙O 上，点C在⊙O内)，随后移动△ABC,使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移 动.设BN=x (1)当点B与点N重合时，求劣弧AN的长. (2)当OAMW时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值. (3)设点O到BC的距离为d. ①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值， M N(B) M 0 图1 图2 备用图 48 类型3动圆问题(2019.25,2016.25) 9.如图1和图2，在☐ABCD中，AB=3,BC= 8.如图，半圆O的直径AB=4,以长为2的弦 4 PQ为直径，向点O方向作半圆M,其中 15,an∠DAB=3P为AB延长线上一点， 连接CP,过点A作⊙O与CP相切，切点为 点P在AQ上且不与点A重合，但点Q可 P,设BP=x. 与点B重合 (1)如图1，x为何值时，圆心0落在AP 发现：AP的长与QB的长之和为定值1， 上？若此时⊙O交AD于点E,连接PE,直 求l; 接指出PE与BC的位置关系； 思考：点M与AB的最大距离为 此 (2)当x=4时，如图2，连接AC,⊙0与AC 时点P,A间的距离为 交于点Q,求∠CAP的度数，并通过计算比 点M与AB的最小距离为 ,此时 较弦AP与劣弧PO长度的大小： 半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积 (3)当⊙0与线段AD只有一个公共点时， 为 直接写出x的取值范围。 探究：当半圆M与AB相切时，求AP的长 D (结果保留：参考数据：c035= 3, c0s553 B 3 B 图1 图2 备用图 备用图 49 10.(2025邢台一模)如图1，在矩形ABCD 类型4旋转问题(2017.23) 中，AB=3,AD=33,点P在射线BC上， 11.(2025保定莲池区一模)如图，在Rt△ABC 过点B作⊙O切DP于点P,设CP=x. 中，∠ACB=90°，点O是△ABC的内心，连 接A0,B0,C0,AC=6,tan∠CAB=√3.现 将△AOB以B为圆心顺时针旋转到AB 边与BC边所在直线重合，点A落在点A' 图1 图2 处，将△AOC以C为圆心逆时针旋转到 (1)如图2，当圆心O在对角线BD上时， AC边与BC边所在直线重合，点A落在 ∠ODP= °，请求出此时劣弧BP 点A"处， 的长 (1)求证：0'和O"所在的直线0'0/BC: (2)过点O作OG⊥BP于点G. (2)在⊙0中，求分别以∠A0C,∠A0B, ①如图3，当点P在线段BC的延长线上， ∠BOC为圆心角的扇形面积之比； 且OG=CP时，求x的值； (3)求线段00'的长. ②当点P在线段BC上时，求线段OG长 的最大值； ③直接写出当OG=1时，x的值 6 B C 图3 备用图 50 12.在△OAB中，OA=OB=10.将扇形POP' 类型5折叠问题 按图1摆放，使扇形的半径OP,OP'分别 13.(2025秦皇岛模拟)【情境】数学课上，同 与OA,0B重合，0P=6. 学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图 如图2，若△OAB不动，让扇形POP'绕点 1,AB是⊙O的直径，AB=4,沿弦CD折 O逆时针旋转一周，连接线段AP,BP',设 叠，使折叠后的CD与AB相切于点E. 旋转角为a心. 发现：在旋转过程中AP与BP'始终相等， 【发现】CED所在圆的半径长为 请用图2说明理由 【探究】(1)如图2，O'是点0关于弦CD 探究：若∠AOB=80°， 的对称点，连接OO',若切点E为OB的 (1)扇形POP'绕到点0的左侧，当OP∥ 中点，连接O'B交⊙0于点M,连接AM, AB时，旋转角a= 求弦AM的长； (2)扇形POP'绕到点O的右侧，当AP与 (2)若切点E落在线段OB上（包括端 点)，直接写出弦CD的最大值和最小值. PP相切时，求BP'的长； (3)若Q是PP'上任意一点，在扇形POP 绕点0逆时针旋转过程中，当△AOQ的 面积最大时，直接写出∠B0Q的度数 图 图2 图2 备用图 51 14.(2025唐山玉田县校级三模)如图，AB是半圆0的直径，且AB=6,MW是半圆0的弦（点 M,N可分别与点A,B重合)，将半圆O沿直线MN翻折. (1)当点N与点B重合，且∠ABM=30时，如图1. ①求劣弧AM的长； ②当半圆O沿直线MN翻折后，劣弧MN是否经过圆心O? (填“是”或“否”) (2)当MN∥AB时，如图2，过点O作OP⊥MN,垂足为P,折叠后的劣弧MN恰好经过OP 的中点Q,连接NQ,求tan∠MNQ的值. (3)若折叠后的劣弧MW与直径AB切于点C,且C是半径OB的中点，如图3，求折痕MW 的长 M 0 B(N) 图1 图2 图3 52专题八圆的综合题 1.(1)解：如解图，连接0A .·BD是⊙0的直径，∴.∠BAD=90° AB=OB,OA=OB,.△OAB是等边三角形， .∠ABD=60°，∠ADB=30. ②)①6。解法提示莲接0c.由题可知，0B=0D 2BD=1,由(1)知△0AB是等边三角形，即∠A0B=60 :BD为⊙0的直径，C为BD的中点，∠B0C=90°， 1 ·AC的长为60+90、 ②证明：AF为⊙0的切线，∴.OA上AF. .∠OAB=60°，∴.∠BAF=30°. C为BD的中点，.∠CBD=∠CDB=45°， ∴.∠ABF=180°-45°-60°=75°， ∴.∠F=180°-30°-75°=75°， .∠ABF=∠F,.AF=AB. A E O G (3)解：AF∥DC.理由如下： 延长AO,交CD于点G,如解图. :AF为⊙0的切线，∠0AF=90°. AC⊥BD,.AB=BC,.∠BDC=∠ADB=30°， 又.：∠DOG=∠A0B=60°， ∴.∠DG0=180°-60°-30°=90° .∠OAF=∠DG0,·.AF∥DC 2.（1)证明：连接CD. AC为⊙O的直径，.∠ADC=∠CDB=90°， 在Rt△CDB和Rt△CFB中，BD=BF, ∫BC=BC. ∴.Rt△CDB≌Rt△CFB(HL),.∠DBC=∠FBC .AC=AB,∴.∠ACB=∠DBC,∴.∠ACB=∠FBC CF⊥BF,∴.∠FBC+∠BCF=90°， ∴.∠ACB+∠BCF=90°，∴.∠ACF=90°，∴.OC⊥FC .OC为⊙0的半径，.FC是⊙O的切线 (2)解：①.AB=4.AB=AC,.AC=4. .AC为⊙0的直径，∴.0A=0C=OD=2. .·0A=OD,.∠0DA=∠BAC=30°，∴.∠A0D=120° D的长为120mx2_4m 1803 ②连接CD .AC为⊙0的直径，∴.∠ADC=90° ∠BAC=30°，.CD= 4c=分=2. .AD=√AC2-CD2=25. .AB=AC=4...BD=AB-AD=4-2/3 由(1)知，Rt△CDB≌Rt△CFB, .S△cDB=S△cFB, .S四ǜ形CDBr=S△cDB+S△cFB=2S△cm=2X 2×(4-25)×2 36 8-43. ∠C0D=2LBAC=60°，∴.Sm形0cn= 60m×22_2m 3603 .·0C=OD,∠C0D=60° ·.△OCD是等边三角形， 六Sa0m=7×2×/5=V5 .S.o-SeSm 由CD,线段DB,BF,FC所组成的封闭图形的面积为 今0边形C8r-S号0=8-35-2 3 3.(1)证明：CB=CA,.∠B0C=∠C0A 0A=0C,∠C40=∠4C0=180°-∠C04 2 同理，∠CB0=∠BC0=180°-∠B0C ·.∠AC0=∠CBO 2 '.·∠OCE=∠ACE+∠ACO=∠CBO+∠BOC ∴.∠ACE=∠BOC .ACE=∠COE. (2)解：AE=EF,∴∠EAF=∠AFE. .∠ACO=∠CAO=∠EAF,∴.∠AC0=∠CFE,∴.CO∥EF 又.CEOF,∴.四边形COFE为平行四边形， CE∥OF,∴.∠OFC=∠ECF. .'∠C0OE=∠ECF,∴.∠OFC=∠COE. 又∠ACO=∠OCF,.△COA∽△CFO CF %器即记a 1 (3)解：嘉嘉的说法不正确，淇淇的说法正确。 说理如下：（选择其中一个进行说理即可） 嘉嘉 S OA 1 S,AE x ,.S2=xS CE/0F△AF0∽△ACE,S.AE元 S30A21 S2 S .S3= 111x_1+x S2 S3 xS SS 名货写竖10 4=(-1)2-4=-3<0,.该方程无解， 不存在交数使得收立 淇淇：设S。m=S,则-011 SE=,..S3=4,.S=S1 S4=S,+5,+8+8,-4s,=x-1 -S1≥0， .S≥4S1成立. 4.解：(1).四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD .·∠B=a=54° ∴.∠BCD=180°-∠B=126° .CD与⊙O相切，∴.∠OCD=90° ..∠OCE=∠BCD-∠OCD=36°. .·OC=0E,.∴.∠0EC=∠0CE=36° (2):⊙0与CD相切于点C, ∴.0C⊥CD,∴.∠0CD=90°. .E0∥CD.∠0=180°-∠0CD=90° BC=8,E是BC的中点，EC=2BC=4 0E+0C2=EC2,0E=0C,.0C=0E=22, 元的长为90m×2 =2m. 180 (3)30<a<90°.【解法提示】0C⊥CD,AB∥CD,.O( ⊥AB.当点0在BC上时，如解图1，BC⊥AB,即a=90° 当点0在射线BA上时，如解图2，·∠BOC=90 .△BCO是直角三角形.E为BC的中点，.OE=BE EC..OC=OE,∴.OE=OC=EC,∴.∠OCB=60°，.∴.∠B 30°，即=30°，.&的取值范围为30°<a<90°. 4 D B B 解图1 解图2 5.解：(1)四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴.AD=DC=5,∠ADC=90 AE=3,∴.DE=2. DE=DF,∴.DF=2. OE=OF=2...DE=DF=0E=OF=2. .四边形OEDF为正方形， ∠E0F=90,∠EMF=∠B0F=45 (2)连接EF,交BD于点H,如解图1， E H D B 解图1 :四边形OEMF为菱形， .OE=EM=OF=MF=2.EH L MD. .·0M=0E=0F=2. .△OEM,△OFM为等边三角形， :.∠OEM=∠OME=∠OMF=∠OFM=60° E=ME:n60-2号-5 :四边形ABCD是边长为5的正方形 .DB平分∠ADC,.∠ADB=45° :.△ED为等腰直角三角形， ·.DH=EH=5,.DE=√2DH=√6 (3)当∠E0F=150时，如解图2， 则MF的长为150m×2_5m 18039 当∠E0F=150时，如解图3， 则mr的长为(360-150)m×2_7云 180 3 综上所述，当∠E0F=150°时，m的长为5”或7四 43 B 解图2 解图3 6.解：(1)连接EF AB⊥AC,AB=CD=6,∠ACB=30° tan∠ACB tans30=65. .AC= AB 6 E为AC的中点.AB=AC=35. 21 :在口ABCD中，AD∥BC .∴.∠CAD=∠ACB=30° AF是⊙P的直径，.∠AEF=90°， .AF=- ZCADcO30APF3 AE 33 (2)①245-36.【解法提示】连接PM,当⊙P与边CD 相切于点M时，则PM⊥CD,即∠PMD=90°.∠CAD= ACB=30D=60 PD-2MAD nLACB12,又：AP=PM,AP+PD=ADAD+2,5 BC=- AB 3 AP=12,解得AP=243-36. ②连接PE,EF ·AP=PE=PF=2,∠CAD=∠ACB=30°， ∴.AF=4,∠PAE=∠PEA=30°，∴.∠FPE=60°， ÷AE=AF·c0 sLCAD=23,E示的长为60mx2_2知 180-3 262号 .弦AE的长大于EF的长 (3)AP=3W3或6<AP≤12.【解法提示】①当⊙P与BC 相切时，如解图1，设切点为G,连接PG,由(1)(2)可知， AC=6/3,AD=BC=12.S-X6X63x2=12PG, 得PG=3√3，即当AP=3√5时，⊙P与BC相切，⊙P与 口ABCD的BC边的公共点的个数为1，②当⊙P过点C 时，如解图2，⊙P与□ABCD的BC边的公共点的个数为 2.在☐ABCD中，AB∥CD,∠ACD=∠BAC=90°，.AD 是⊙P的直径，此时AP了40=6，当6<AP≤12时，点 C在⊙P内，⊙P与□ABCD的BC边的公共点的个数为 1.综上所述，AP的值或取值范围是AP=35或6< AP≤12. D(F C(E) 解图1 解图2 37 7.解：(1)连接OA,0N.·⊙0的半径为3，AB=3, ..OA=ON=AN=3,·.△A0N为等边三角形， ∠A0W=60,A的长为180三元 (2)如解图1，过点B作BILOA于点I,过点0作0H1 MN于点A,连接M0,则Mm=NM=WN=5 又.·OAMN,∴.四边形BIOH是矩形，∴.BH=OI,BI=OH. .OH=JOM-M=2,:.点B到OA的距离BI=2. AB=3,B1L0A,.AI=√AB-B=√5， .BH=01=0A-A=3-√5， ∴.x=BN=BH+NH=3-√5+5=3. 解图1 解图2 (3)①如解图2，过点0作OJL BC于点J :过点A的切线与AC垂直，.圆心O在AC上 在Rt△ABC中，AC=√/AB+BC2=3√3， ∴.0C=AC-0A=35-3. .OJ⊥BC,∠ABC=90°，.OJ∥AB +△mac岩8号5 ”333 解得d=3-√5. ②1的最小值为子【解法提示】如解图3，当B为N 的中点时，过点O作OL⊥B'C于点L,作OJ⊥BC于点. ∠0JL>90°，0L>0J,故当B为MW的中点时，d最小， 如解图4，连接OB,过点A作AQ⊥OB于点Q,B为MW 的中点，.0B⊥MN,由(2)可得OB=2,.BQ=0Q=1, .AQ=√32-下=22.∠ABC=90°=∠AQB,∠0BJ+ ∠AB0=90°=∠AB0+∠BAQ,∴∠OBJ=∠BAQ, OJ BO 1 ∴.tan∠OBJ=tan∠BAQ,∴. BJ AQ 22 ,设OJ=m,则BJ =2√2m.:0+B=0B,.m2+(2√2m)2=22,解得m= 负值已会去）0的最小值为号，即4的最小值 2 解图3 解图4 8.解：发现：连接0P,OQ,·AB=4,.0P=OQ=2 .PQ=2,∴.△0PQ是等边三角形，∴.∠P0Q=60°， 0的长为60mx2_2 180 3 m. 又：半圆0的弧长为 m×4=2m, 38 24 :.下的长与B的长之和为2m3=3, 3 5π5 思考5；2；264 【解法提示】过点M作MC⊥AB 于点C,连接0M,OP.OP=2,PM=1,.由勾股定理，得 OM=√3.如解图1，当点C与点O重合时，点M与AB的 距离最大，最大值为√3，连接AP,此时OM⊥AB,.∠AOP =60°.OA=OP,∴.△AOP是等边三角形，.∴.AP=2.如解 图2，当点Q与点B重合时，易得∠M0Q=30°，.MC= 1 二QM=今此时点M与AB的距离最小，最小值为)3 此时半圆M与AB的交点为D,连接DM,则DM=MB=1. 易得∠ABP=60°，.△DMB是等边三角形，∴.∠DMB= 60,DB=MB=1,扇形DMB的面积为60mx1=, 360 6 △DMB的面积为2MC·DB= 15 的弧与B所围成的封闭图形面积为” 64 O(C Q D C B(Q) M D 解图1 解图2 探究：当半圆M与AB相切时，设切点为G,连接MG,则 MG=1, 当点G在线段OA上时，如解图3， 连接P0,M0,则MG⊥AO,OM⊥PQ, .M0=√P0-P证=√3. 1 在Rt△P0M中，sinP0M=2∠P0M=30 在Rt△OGM中，由勾股定理，得OG=√2 六osLA0M=0C=V6 M03' .∠A0M=35°，.∠A0P=∠AOM-∠P0M=5°， 0的长为5πx2π」 180189 解图3 解图4 当点G在线段OB上时，如解图4，连接0P,OM, 此时∠B0M=35°. .∠P0M=30°，∴.∠A0P=180°-∠P0M-∠B0M=115°， D的长为15mx2_23m 18018 综上所述，当半圆M与极相切时，命长为5或智 9.解：(1)圆心O落在AP上，即AP为⊙0的直径 易得tanLCBP=-tan DAB=-了 4 ,CP为⊙0的切线，.∠BPC=90°， BP=x.CP=4 在Rt△CBP中，BP+CP=BC2, 4 x+(子)产=15，解得x=9(负值已舍去)， 即x=9时，圆心O落在AP上，此时PE⊥BC (2)如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M,过 点O作OF⊥AB交AB的延长线于 点F,连接OP,OQ. 由()可知M=9,CMx9=卫 AB=3...AM=12..'.AM=CM, ∴.∠CAP=∠ACM=45°. x=4,AP=7,PM=5, .CP=√CM+Pr=13. 1 7 OF LAP PF=2AP=- 2 .CP为⊙O的切线，∴.OP⊥CP, ∴.∠OPF+∠CPM=90°. .·∠CPM+∠PCM=90°，.∠OPF=∠PCM. 又：∠0FP=∠PMC=90°，.△OPF∽△PCM, 7 GPCM即 ..Op_PF 91 3120p= 24 00p-2.CA09 1 2448 91m 48<7lm1P (3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，x的取值范围 为x≥18. 10.解：(1)30【解法提示】：四边形ABCD为矩形，.∠C= 90BC=AD-35,CD=AB=3.am LDBC-DC=3 BC 33 3∠DBC=30,∠BDC=60.0P=0B,÷∠0PB= ∠OBP=30°..·DP与⊙0相切，∴.∠DP0=90°， ∴.∠OPB+∠DPC=90°..·∠DCB=90°，∴.∠DPC+ ∠PDC=90°，.∠OPB=∠PDC,.∠ODP=∠ODC- ∠PDC=60°-30°=30°.设⊙0的半径为r,则BD=2r+r= 3r..AB=3,AD=33,..BD=VAB +AD=6,..3r=6, .T=2,∠B0P=180°-∠0BP-∠0PB=120°，劣弧 命的长为 4 5×2=3m (2)①当0G=CP时， 由条件可知LOGP=∠PCD=90°. .·DP与⊙O相切，∴.∠OPD=∠OPG+∠DPC=90°. :∠DPC+∠PDC=90°，∴.∠OPG=∠PDC, ∴.△OPG≌△PDC(AAS),∴.PG=DC=3. OGLBP.PG=BP=2（BC+CP)EZ（33+x) 2 35)=3,解得=6-35 ②如解图，由①可知，∠OGP=∠PCD=90°，∠OPG =∠PDC, &%-器 061B即G=B即Bc-m=(35-. ,0G2(33-x) 1 3 2t、 3√3、 .9 .∴.0G=- 6 8 .当x= 3W3 时，0G取得最大值 9 2 ③x的值为5或25或5T-33 2 【解法提示】由 △0 GPAPCD,得9CGP PC CD 如解图，当点P在线段BC 35-x 上时，PG=35-,即 2 2 x =3,解得x=25或x=5: 如题图3，当点P在线段BC的延长线上时，PG=35+ 2 35+x 3一，解得x=T-35 2 = 2 (舍)或x= 5T-35综上所述，x=5或x=25或=35 2 2 11.(1)证明：如解图，连接0'O",过点0作OD⊥AC于点D, OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,过点O"作O"D'⊥BC于 点D,过点O'作O'E⊥BC于点E, D'C F 由内心的性质，得OD=OE=OF, 由旋转知0D=0"D',0E=0'E,.0"D'=0'E. 0"D'⊥BC,0'E⊥BC,.O"D'∥0'E', .四边形O'O"D'E'是矩形，.O'O"∥BC (2)解：在Rt△ACB中，.·tan∠CAB=√3，∴.∠CAB=60°， ∴.∠ABC=90°-∠CAB=30°. ·AO平分∠CAB,C0平分∠ACB,B0平分∠ABC, ∴.∠CA0=∠BA0=30°，∠AC0=∠BC0=45°，∠CB0= ∠AB0=15°. ∴.∠A0C=105°，∠A0B=135°，∠B0C=120°， 设内切圆的半径为T,则分别以∠AOC,∠AOB,∠BOC为圆 心角的扇形面积之比是l05m:,13m,20mr =7:9:8 360360360 (3)解：由(1)知，点0在矩形O'O”D'E的边O'O”上，且 OF⊥BC, .四边形OFE'O'是矩形O0'=FE'=BF+BE. ·:⊙O是△ABC的内切圆， ∴.CD=CF,BE=BF,AD=AE ∴.AE+CF=AD+CD=AC 由旋转知BE=BE', ..00'=BF+BE'=BF+BE=BC-CF+AB-AE BC+AB -AC. 39 ·在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6. .BC=AC·tan∠CAB=6√5， 由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=12, .00'=BC+AB-AC=6W5+12-6=6+65, 12.解：发现：当α=0°或a=180°时，点A,P,0在一条直线 上，B,P',O在一条直线上 .AP=OA-OP或OA+OP,BP'=OB-OP'或OB+OP .0A=OB.OP=OP'...AP=BP': 当a≠0°或a≠180°时， 由题意，得OA=OB,OP=OP',∠AOB=∠POP' .∠AOP=∠BOP' 0A=0B 在△AOP和△BOP'中，了∠AOP=∠BOP' OP=OP'. ∴.△AOP≌△BOP'(SAS),∴.AP=BP' 综上所述，在旋转过程中AP与BP'始终相等， 探究：(1)310°【解法提示】扇形POP'绕到点0的左 侧，OP∥AB,如解图1.∠AOB=80°，OA=0B,.∠A= ∠B=50°.0P∥AB,∠P0A=∠A=50°，.旋转角= 360°-50°=310° 解图 解图2 (2)扇形POP'绕到点0的右侧，AP与PP相切，如解 图2. AP与PP相切，OP⊥AP. 0A=0B=10,0P=6,.AP=√OA-0P=8. 由发现可知AP=BP',BP'=8. (3)∠B0Q的度数为170°或10.【解法提示】Q是 PP上任意一点，.点Q在以0为圆心，OP=6为半径的 圆上运动，如解图3.在△AO0中，当O0⊥OA时，△A0Q 的面积最大，过点0作04的垂线交⊙0于点Q',Q”,当 点Q与点Q',Q”重合时，△A0Q的面积最大，当点Q与 点Q重合时，∠B0Q=90°+80°=170°；当点Q与点Q"重 合时，∠B0Q=90°-80°=10°.综上所述，当△A0Q的面 积最大时，∠B0Q的度数为170°或10° 解图3 13.解：【发现】2. 【探究】(1)如解图1，连接0'E,则0'E=2,0E⊥AB E是OB的中点，OB=2, 06=BE=30B=1 0'B=√O'E+BE=√5 又：AB是⊙O的直径， .∠AMB=90°=∠O'EB. 解图1 又：∠ABM=∠MBE, 40 ·△AMB∽△O'EB, 提品号言 5 (2)弦CD的最大值为2√5，最小值为22.【解法提 示】如解图2，设O'0与CD交于点F,根据轴对称可得 001D.0F宁00cD=2n当点D与点B套合。 C为AB的中点时，切点为B,即点E与点B重合，此时 CD最小，0'0=√OB+0'E=22,即0F=√2.在 Rt△0DF中，由勾股定理，得DF=√OD-OF=√2，即 CD=22;当CD∥AB,且CD恰好经过O0'中点F时，CD 最大，如解图3，即点E在点0处，OF=1,DF= √OD2-0F=√5，即CD=23.综上所述，弦CD的最大 值为23，最小值为2√2. 01 (E B(D O(E 解图2 解图3 14.解：(1)①连接0M,AB=6,∠ABM=30°， .0A=0B=3,∠A0M=2∠ABM=60°， 劣弧1的张为60mx3 =T. 180 ②是【解法提示】当半圆O沿直线MN翻折后，设点O 的对称点为W,如解图1，连接OW交MN于点R,则 EV=90°.LABM=30°0R=)0B=号，根热 叠的性质，得WR=OR多一OR+WR=3.~圆的半径长 为3，.点W一定在圆上，当半圆0沿直线MN翻折 后，劣弧M经过圆心0. M W 0 B(N) 解图1 (2)设0P的延长线与圆的交点为T,如解图2，.0T=3 MW/∥AB,OP⊥MN, .∠OPM=90°，PM=PN= 根据折叠的性质，得PT=PQ. :折叠后的劣弧M恰好经过OP的中点Q, ∴.0Q=PQ.PT=PQ=0Q 307=1 .∴.0P=2P0=2. 在Rt△OMP中，由勾股定理，得PW=PM=√Of-OP= 5an∠M0=P.1-5 PN 55 B 解图2 解图3 (3)设折叠圆弧所在的圆的圆心为O',连接O'0,O'C OM,设O'O与MN的交点为H,如解图3. 根据折叠的性质，得∠01M=90°，0H=0'H=20'0, 0'C=01=0B=0M=3,Mh=NH=2N 20B3 C是半径0B的中点，OC= 2 35 00=34(2)= 3 201 00=35 4 在R△0皿中，由勾股定理，得M=√OM-OF_3 4 MN=2MH=3 T 2 专题九综合与实践 1.(1)SSS:全等三角形的对应角相等. (2)证明：.·∠AED=∠AOB, ∴.ED∥OB,∴.∠EPO=∠POB. .EO=EP,∴.∠EOP=∠EPO, .∠AOP=∠BOP,∴.OP平分∠AOB 2解：(1)MN的长为24 【解法提示】.·∠ABC=90°，AB= 1 6.BC=8.AC=AB+BG=10.SAM=2AB.BC= G.w即×6x8=x10Nw=24 1 5 (2)①尺规作图如解图1. ②.CN平分∠ACB,NB⊥BC,NM⊥AC,..NB=NM. 又.·CN=CN,.Rt△BCN≌Rt△MCN(HL), ∴.CM=CB. 设MN=BN=x,则AN=AB-BN=6-x,CM=CB=8, .AM=2, 在Rt△AMN中，由勾股定理，得x2+2=(6-x)2, 解得x=8 我剪线W的长为 解图1 解图2 (3)淇淇所说的MN的长为3.【解法提示】如解图2，四 边形ABNM是轴对称图形..·△ABWN与△AMWN关于AW 成轴对称，∴.AM=AB=6,MN=BN,∠AMN=∠ABN= ∠NMC=90°，∴.CM=AC-AM=10-6=4.设MN=BN=x,则 CN=BC-BN=8-x.在Rt△CMN中，由勾股定理，得x2+ 4=(8-x)2,解得x=3..MN=3. 3.解：(1)线段EF的长为1.【解法提示】如解图1，过点 G'作GK⊥FH'于点K.结合题意可得，四边形FOGK为矩 形，.FO=KG'.由拼接可得，HF=FO=KG.由正方形的性 质，得∠A=45°，.△AHG,△Ⅲ'G'D,△AFE都为等腰直角 三角形，∴.△G'Ⅲ为等腰直角三角形.设ⅢK=KG'=x, :.HD=HG'=√2x,.AH=HG=√2x,HF=FO=x..正方 形的边长为2，.对角线的长为√2+2=2√2，.04= √2，.x+x+2x=√2，解得x=2-1,.EF=AF=√2x+x= (2+1)x=(2+1)(2-1)=1. H D ③ G E ②0 解图1 (2)与线段BE相等的线段有GE,AH,GH. 由(1)得△AFE为等腰直角三角形，EF=AF=1, AE=√2EF=2, .BE=AB-AE=2-√2. 探究画出裁剪线（线段PQ)的位置如解图2，BP=√2 或如解图3，BP=2-√2 B 2、C B P 2 解图2 解图3 4.解：(1)10 (2)如解图1（答案不唯一）. 解图1 (3)四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，AD∥BC,AB=CD. ,BG=AB,∴.∠AGB=45°. ·AN=MG,∴.四边形AGMN是平行四边形， .∴.MN∥AG,.∠NMG=∠AGB=45°. :直线l是GC的垂直平分线，.GM=CM, ∴.GM=CM=AN. ·BM=BC-CM,DN=AD-AN. .BM=DN...AN+AB+BM=CM+CD+DN. :,直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分， .直线MN符合要求. (4)①如解图2，过点H作HG⊥BC于点G,连接AC交PQ 于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点O作OT⊥BC于 点T D 解图2 :四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周 长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与 BD的交点， .0是AC的中点，PK=DC=AB=1,AP=CQ,PD=BQ, 六Bm=CT2Bc=2 ,∠PQC=45°，.∴.△PQK是等腰直角三角形， ∴QK=PK=1,.PQ=√PK+QK=√2 ·四边形ABCD是矩形， .AD/∥BC,∠APQ=∠PQC=45 41