专题7 真实情境下圆的综合探究-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

专题七真实情境 1.(2023河北24题10分)装有水的水槽放 置在水平台面上，其横截面是以AB为直 径的半圆0，AB=50cm,如图1和图2所示， MN为水面截线，GH为台面截线，MNGH. 计算在图1中，已知MW=48cm,作OC⊥ MN于点C. (1)求0C的长 操作将图1中的水槽沿GH向右作无滑 动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM= 30时停止滚动，如图2.其中，半圆的中点 为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交 MN于点D. 探究在图2中 (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段 EF与EQ的长度，并比较大小 B(N FE H 图1 图2 下圆的综合探究(2023.24,202.24) 2.（2025邯郸二模)如图1，公园计划将一个 矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在 9 12 矩形ABCD中，宽BC为；m,高AB为5m, 点O是AC,BD的交点，以点O为圆心，OA 为半径作⊙O,地面BC与矩形门洞对角线 AC的夹角∠ACB约为52.5°，阴影部分为 门洞改造后扩大的部分 (1)求⊙0的半径； (2)求改造后圆弧形门洞的高度（即AD的 中，点到地面的距离)； (3)直接写出阴影部分的面积.（结果保 留T) -地面 B 图1 图2 43 3.(2025唐山古冶区模拟)如图是放于水平 桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵 截面是弓形AMB,开口部分AB与桌面平 行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无 水)，使玻璃棒底端恰在AMB的中点M 处，发现AM=AB,将玻璃棒竖立起来(MW ⊥AB)时，测得MN=37.5cm. (1)求∠BAM的度数，并求AB的长； (2)求AMB的长； (3)易错若向鱼缸内加水，使水面的宽度 为48cm,求鱼缸内水的深度： 44 4.切割锯（如图1）是工人在工作中常用的工 具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带 来了极大的便利，我们根据生活中的切割 锯抽象出如图2所示的图形，AB表示面 板，⊙O表示锯片，线段BD可绕点B带动 ⊙0转动，BC=(20W3-30)cm,当⊙0恰好 和AB相切，切点为E时，∠B=60. D 图1 图2 (1)求⊙0的半径 (2)在切割过程中，点D绕点B逆时针旋 转，AB和⊙0相交，MN表示切割的长度！ ①如图3，OF⊥AB于点F,当OF=24cm 时，求切割的长度MN; ②当BD旋转到∠B=30时，切割锯能否将 宽度为50cm的木板切断？请说明理由， 0 B M 图3(2)①30,10.【解法提示】1号无人机上升速度为6米/秒. 则y1与x之间的函数关系式为y1=6x,当x=5时，y1=6× 5=30,当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度 为30米；2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间 的函数关系式为y2=4x+12,当y2=52时，得4x+12=52, 解得x=10,.当2号无人机距离地面的竖直高度为52米 时，上升的时间为10秒 ②6 ③4或8【解法提示】当ly2-y1I=4时，得I4x+12-6x|= 4,解得x=4或x=8,∴.当1号，2号两架无人机上升4秒 或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米 8解：1)0抛物线的解析式为)=日(x2)+2图象如解 图1所示.【解法提示】由表格中(1,1.875)，(3,1.875) 可知，抛物线的顶点坐标为(2,2).设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+2.将(3,1.875)代人，得a(3-2)2+2= 1875,解得a=令这股水流路径所在的抛物线的解 析式为)=女(-2)242 2y=0代人y=日(-2)2+2，得日-2)户+2=0，解 得x1=6,x2=-2(不合题意，舍去)，.其最大射程为6m. (2)如果将灌溉喷枪提高6m,得平移后的抛物线的解析 武为y=名x-2)48。 把)=0代人y=日(x2)+8,得- 1 8(x-2)2+8=0. 解得x1=10,x2=-6(不合题意，舍去)， ∴.此时灌溉喷枪的最大射程为10m (3)P处喷水口的高度h的取值范围为0m≤h≤（√3+ 令》m【解法提示】知解图2，过点N作M上L:销于点 A~MN=25m,∠AW=30AN=了N=5(m）, MA=MN·cos30°=3(m).OM=2m,.0A=5m,.点N 的坐标为(5，√3).由题意可设平移后的抛物线解析式为 y=名(x-2)42+k当点(55)在抛物线上时，日× (5-2)+2=5,解得6=厅-名：当点M(2,0)在抛物 线上时，令×(2-2)22+6=0，解得=-2.：1.5+(，5- 日)-5+宫，15(-2)分喷水口的商度>0♪ 处喷水口的高度h的取值范围为0m≤h≤（√3+ 8）m Ay/m Ay/m 30° 0 1 2 3 4 5 6 7 x/m 0 M A x/m 解图1 解图2 9.解：(1)由题意知，抛物线过点(0,0)和(20,0)， ÷其对称轴为直线x=10,设解析式为y=a(x-10)2-) 34 将0(0,0)代入，得0=a(0-10)2-25 1 -2a=48 A船轮廓线所在抛物线的解析式为)及x10)25 121 12 5 即)4812 把y=2代人抛物线解析式，得2=48-2， 125 解得x1=24,2=-4(舍去)，.B(24,2). (2)能砸中.理由如下： 将B(24,2)代入y=m(x-32)2+10, 得2=m(24-32)2+10,m=8 1 1 六y=g(x-32)+10, 当x=40时，=8×(40-32)+10=2 2<10,∴.小球能砸到标志杆. (3)4<n<12.【解法提示】：水面上涨2米，小船再向右 移动米小球所走路线抛物线的解析式为了=名（女 32-m)+12当抛物线经过点(40,10)时.10=令(40 32-n)2+12,解得n1=4,n2=12,.4<n<12. 10.解：(1)依题意得，秤盘的质量为10克，秤砣的质量为 50克，秤盘到零刻度线的水平距离（即l+a)为6厘米， ∴.10l=50a,l=5a. l+a=6,∴.5a+a=6,∴.a=1, ∴.1=5a=5×1=5(厘米)， .秤纽到秤盘的水平距离为5厘米. (2)依题意，得200+10=210（克）. 设相邻刻度之间的水平距离为d厘米. :秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动，到第5个小刻 度线时杆秤刚好平衡， ∴.210×5=50×(1+5d),∴.1050=50+250d,解得d=4, .第1个小刻度线到零刻度线的水平距离是4厘米. 专题七真实情境下圆的综合探究 1.解：(1)连接OM.0为圆心，OC⊥MN于点C,MWN=48cm, .MC=2 MN=24(cm). AB=50 cm,.OM=AB=25(cm). 2 在Rt△OMC中，OC=√OM-MC=7(cm). (2).·GH与半圆的切点为E,∴.OE⊥GH. .MNGH,.∴.OE⊥MN于点D. ∠AWM=30°，0N=号4B=25(cm 1 25 0D=20N=2(cm), 操作后水面高度下降了空-7兰(m）. (3).OE⊥MN于点D,∠ANM=30°，∴.∠DOB=60° 半圆的中点为Q,.AQ=QB,.∠Q0B=90°， EF=OE.tn LQOF=25 3(cm) 0的长为30mx25-25(cm). 1806 25525m_25(25-m>0. 36 6 .线段EF的长度大于EO的长度 2.解：(1).·四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°. 9 ∴.A0= 24c=2(m), 3 :⊙0的半径为2m (2)如解图，设AD的中点为E,作EF⊥BC于点F, E D 地面 B----C 由对称性可知，EF过圆心O,则EF=OE+0F OFA(m).0E 2m, ∴.EF=2.7m, ∴.改造后圆弧形门洞的高度为2.7m. (3)阴影部分的面积为（韶）m,【解法提示】 32 -(m).s6n=9x2.108 5525(m). 3。 81 Sa08+5a0+5amn=4S形0m=25（m).0B=0C, .∠0BC=∠ACB=52.5°，.∠B0C=180°-52.5°×2= 75°，.S第形0e= 15 360 3(m),Sm=Sco- 子5w-7为 3.解：(1)如解图1，连接BM. :M是AMB的中点，.A=Bm,.AM=BM. 又.AM=AB,.AM=BM=AB. △ABM是等边三角形， ∴∠BAM=∠AMB=60°， MN⊥AB,AM=,MW 37.5-255(cm), sin L MAN√5 ∴.AB=AM=25√3(cm). B 777777777777 777777777777 M 解图1 (2)如解图1，设圆心为0，连接0A,0B, 则∠A0B=2∠AMB=120°. .∠A0N= <408=60 MW⊥AB,.∠0AN=90°-∠A0N=30°， 1 1 ·0N=201=20M .·MN=OM+ON, 0M+20M=37.5cm, .0M=25cm, 的长为010X35.10四(m）. 180 (3)如解图2和解图3，设水面为DE,交MW于点F, 则N1DE,DF=EP=之0E=24(cem) 连接0D,0D=0M=25(cm), .0F=√0D2-DF=√252-24=7(cm). 当DB在点O的上方时，如解图2， MF=0M+0F=25+7=32(cm); 当DE在点0的下方时，如解图3， MF=0M-0F=25-7=18(cm). 综上所述，鱼缸内水的深度为32cm或18cm M M 解图2 解图3 4.解：(1)设⊙0的半径为rcm 当⊙0恰好和AB相切时，∠0EB=90°， ∠B=60°，BC=(20W5-30)cm, OE ∴.sinB 0Br+203-30 2,解得=30. .⊙0的半径为30cm. (2)①如解图1，连接0N. OF LAB,OF=24 cm,ON=30 cm, MF=FNE)MN,FN=√ONP-OF=18(em】 ..MN=2FN=36(cm). D D B B M M 解图1 解图2 ②不能，理由如下： 如解图2，当BD旋转到∠B=30°时，0B=0C+BC=30+ 20W3-30=20√3(cm). P∠B=30,0FLAB.∴0F=)0B=10w3(cm 连接ON,在Rt△OFW中，FN=√OWN-OF2=10w6(cm), ∴.MW=2FN=206(cm). 206<50,∴.当BD旋转到∠B=30时，切割锯不能将宽 度为50cm的木板切断. 35