专题6 函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

∴.AE=DE·tan∠ADE≈20x0.75=15(m), .AB=AE+EB≈15+20=35(m). 答：A,B两棵树之间的距离约为35m. (2)在Rt△BCD中， .cos∠BDC BD.BD=CD CD cosa ·BE=BD-DE=CD b=-a -b. AB,/CD,△ABE∽△CDE,CDDE' AB BE ..AB= D·BEa(-b) cosa DE -a)m. b bcosa 专题五几何作图 1.解：如解图.点P即为所求 2.解：如解图，菱形ABCD即为所求 B D 3.解：(1)如解图，四边形BCDF即为所求. (2)结论：四边形BCDF是菱形 理由：如解图，连接CF交BD于点O 四边形BCDF是平行四边形，.OF=OC. .AF=AC,∴.AB⊥CF, :.四边形BCDF是菱形 4.解：(1)如解图1，射线0P即为所求. M 0 N 解图1 解图2 (2)如解图2，C⑦即为所求。 5.(1)解：如解图1，矩形EBCF即为所求 解图1 解图2 32 (2)证明：如解图2，过点A作AG⊥EF于点G,设AC与 EF交于点H, ·四边形EBCF是矩形 ∴.∠E=∠F=90°，EB=FC. .∠AGD=∠E,∠AGH=∠F D是AB的中点，.AD=DB 又：∠ADG=∠BDE,.△ADG≌△BDE(AAS), .AG=BE,S△HDe=S△BDE,∴.AG=FC. L∠AGH=∠F、 在△AGH和△CFH中. ∠AHG=∠CHF AG=CF, .△AGH≌△CFH(AAS),∴.S△AGm=S△cFH .S△ABC=S矩形EBCP: 6.解：(1)如解图，△A,B,C1即为所求 C (2)如解图，△A,B,C2即为所求 (3)如解图，BB,和B,B2即为点B经过的路径. BB,=V√32+3=32， BB,的长为90mx2.2n 180 :点B经过(1)(2)变换后的路径总长为32+5▣ 2 7.解：(1)如解图1，点D即为所求（答案不唯一） B 解图1 解图2 (2)如解图2，点E即为所求（答案不唯一）， 专题六函数的实际应用 1.解：(1)y=x2+5x;s=15x-30(x≥2) (2)当y=150时，x+5x=150. 解得x,=10,x=-15(不合题意，舍去) 答：嘉淇滑完整个赛道需要耗时10s. (3)由题意，得y=s,x2+5x=15x-30, 化简，得x2-10x+30=0. .·△=100-4×30=-20<0，.原方程无实数解. ·在嘉淇到达终点前，无人机不能追上嘉淇。 设无人机与嘉淇的距离为d, 则d=(x2+5x)-(15x-30)=(x-5)2+5 .当滑行时间为5s时，无人机与嘉淇的距离最小，最小 距离为5m 2.解：(1)①由题意知S=t+300 v=2,.S头=2t+300. ②：u=2,甲的速度为2mm/s, .甲的速度为4m/s, .甲从排尾赶到排头时.4t=2t+300.解得t=150 此时S=2×150+300=600(m) 甲从排头返回到排尾的过程中所用的时间为(t-150)s, 则Sm=600-4(t-150)=-4t+1200 (2)设甲从排尾赶到排头所用时间为，s, 则2t1=t1+300,.t1= 00 设甲从排头返回排尾所用时间为52s, 则5=300100 v+2v v 7=6ti,-40 ·队伍在此过程中行进的路程为400 v=400(m). 3.解：(1)由题意，得y1=20(10-m)+50=-20m+250. 设y2=kn+b, 则8三择将你0 b=40 ∴.y2=10n+40. (2)由题意，得m(-20m+250)=630, 解得m1=9,m2=3.5. .m为正整数，∴.m=9 即每碗米线定价为9元时，才能使得米线日销售额达到 630元. (3)①由题意，得m+n=16,.m=16-n. 设销售总量为y, 则y=y,ty2=-20m+250+10n+40=30n-30. :30>0,∴y随n的增大而增大 又：7≤n≤10， .当n=10时，y取得最大值300-30=270 ∴.每碗凉面的定价为10元时，销售总量最多，为270碗. ②8【解法提示】由题意，得(16-n)[-20(16-n)+250]+ n(10n+40)=1680,解得n=8或n=35(舍去). 4解：(1)由题意，设基础价为a万元，浮动价为万元，则 y-a+6 将(120,11)，(100,12)分别代入，得a=6,b=600 ·y与x满足的关系式为y=6+600 若18-12=6+60，则600 =0. x >0, 600. 0 ∴.一件产品的利润不能是12万元 (2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3), 得120=2-2k+9k+27,解得k=13, x=2n2-26n+144. 由题意，得18=6+600 解得x=50, .50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0. .4=（-13)2-4×1×47<0,.方程无实数根 不存在某个月既无盈利也不亏损， (3):第m个月的利润为取。=x(18-y)=x(18-660)= 12(x-50)=12(2m2-26m+144-50)=24(m2-13m+47), .第(m+1)个月的利润为Wm+1=24[(m+1)2-13(m+1)+ 47]=24(m2-11m+35), 若W≥W1,则Wm-W1=48(6-m),当m取最小值1 时，Wm-W+1取得最大值48×(6-1)=240； 若W<W1,则Wm+1-Wn=48(m-6). 又m+1≤12，当m取最大值11时，W1-Wn取得最 大值48×(11-6)=240， .m的值为1或11， 5.解：(1)240,7.5.【解法提示】由图象可知，A,B两区相 距150米，B,C两区相距90米，则A,C两区相距150+90 =240(米).：机器人甲到达B区所用时间为150÷20=7. 5(分)，..a=7.5. (2)机器人乙到达B区所用时间为90÷10=9（分）， ∴.E(9,0) 机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷(15-9)= 15(米/分)， 则y=15(x-9)=15x-135, 线段EF所在直线的函数解析式为y=15x-135(9≤x≤ 15). (3)机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器 人甲、乙相距30米.【解法提示】当0≤x≤7.5，机器人 甲、乙相距30米时，得20x+10x+30=240,解得x=7;当 9≤x≤12，机器人甲、乙相距30米时，得15x-135=30,解 得x=11;当12<x≤15时，机器人甲的速度为90：(15 12)=30(米/分)，则y=30(x-12)=30x-360,当机器人 甲、乙相距30米时，得15x-135-(30x-360)=30,解得x= 13,.机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机 器人甲、乙相距30米. 6.解：(1)根据题意，得A(1,18), 将4(1,18)代人y=车，得=18 设h=at2,将t=1,h=5代人，得a=5,.h=5t2. (2)M,A的水平距离为t米， .当v=5时，点M的横坐标x=5t+1. M,A的竖直距离为h=5t2, ∴.点M的纵坐标y=18-5f. x-1 x=5t+1,.t= 5, y=18-5x号=(x-0418 当)=13时，写(1)+18=13. 解得x=6或x=-4(舍去)， 将=6代入y=18,得y=3, :.当y=13时，运动员与正下方滑道的竖直距离为13-3= 10(米). (3)t=1.8,z>7.5.【解法提示当m=5米/秒时， 甲距离x轴1.8米，.18-5t2=1.8,解得t=1.8或t= -1.8(舍去).：乙位于甲右侧超过4.5米处，z>4.5 +5t,即vz 4.5+5x1.8-7.5. 1.8 7.解：(1)用描点法画出y1与x的函数图象如解图. y/米 78 72 66 60H 4 48 2 36 30 2 18X 1 012345678910111213x7秒 33 (2)①30,10.【解法提示】1号无人机上升速度为6米/秒. 则y1与x之间的函数关系式为y1=6x,当x=5时，y1=6× 5=30,当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度 为30米；2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间 的函数关系式为y2=4x+12,当y2=52时，得4x+12=52, 解得x=10,.当2号无人机距离地面的竖直高度为52米 时，上升的时间为10秒 ②6 ③4或8【解法提示】当ly2-y1I=4时，得I4x+12-6x|= 4,解得x=4或x=8,∴.当1号，2号两架无人机上升4秒 或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米 8解：1)0抛物线的解析式为)=日(x2)+2图象如解 图1所示.【解法提示】由表格中(1,1.875)，(3,1.875) 可知，抛物线的顶点坐标为(2,2).设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+2.将(3,1.875)代人，得a(3-2)2+2= 1875,解得a=令这股水流路径所在的抛物线的解 析式为)=女(-2)242 2y=0代人y=日(-2)2+2，得日-2)户+2=0，解 得x1=6,x2=-2(不合题意，舍去)，.其最大射程为6m. (2)如果将灌溉喷枪提高6m,得平移后的抛物线的解析 武为y=名x-2)48。 把)=0代人y=日(x2)+8,得- 1 8(x-2)2+8=0. 解得x1=10,x2=-6(不合题意，舍去)， ∴.此时灌溉喷枪的最大射程为10m (3)P处喷水口的高度h的取值范围为0m≤h≤（√3+ 令》m【解法提示】知解图2，过点N作M上L:销于点 A~MN=25m,∠AW=30AN=了N=5(m）, MA=MN·cos30°=3(m).OM=2m,.0A=5m,.点N 的坐标为(5，√3).由题意可设平移后的抛物线解析式为 y=名(x-2)42+k当点(55)在抛物线上时，日× (5-2)+2=5,解得6=厅-名：当点M(2,0)在抛物 线上时，令×(2-2)22+6=0，解得=-2.：1.5+(，5- 日)-5+宫，15(-2)分喷水口的商度>0♪ 处喷水口的高度h的取值范围为0m≤h≤（√3+ 8）m Ay/m Ay/m 30° 0 1 2 3 4 5 6 7 x/m 0 M A x/m 解图1 解图2 9.解：(1)由题意知，抛物线过点(0,0)和(20,0)， ÷其对称轴为直线x=10,设解析式为y=a(x-10)2-) 34 将0(0,0)代入，得0=a(0-10)2-25 1 -2a=48 A船轮廓线所在抛物线的解析式为)及x10)25 121 12 5 即)4812 把y=2代人抛物线解析式，得2=48-2， 125 解得x1=24,2=-4(舍去)，.B(24,2). (2)能砸中.理由如下： 将B(24,2)代入y=m(x-32)2+10, 得2=m(24-32)2+10,m=8 1 1 六y=g(x-32)+10, 当x=40时，=8×(40-32)+10=2 2<10,∴.小球能砸到标志杆. (3)4<n<12.【解法提示】：水面上涨2米，小船再向右 移动米小球所走路线抛物线的解析式为了=名（女 32-m)+12当抛物线经过点(40,10)时.10=令(40 32-n)2+12,解得n1=4,n2=12,.4<n<12. 10.解：(1)依题意得，秤盘的质量为10克，秤砣的质量为 50克，秤盘到零刻度线的水平距离（即l+a)为6厘米， ∴.10l=50a,l=5a. l+a=6,∴.5a+a=6,∴.a=1, ∴.1=5a=5×1=5(厘米)， .秤纽到秤盘的水平距离为5厘米. (2)依题意，得200+10=210（克）. 设相邻刻度之间的水平距离为d厘米. :秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动，到第5个小刻 度线时杆秤刚好平衡， ∴.210×5=50×(1+5d),∴.1050=50+250d,解得d=4, .第1个小刻度线到零刻度线的水平距离是4厘米. 专题七真实情境下圆的综合探究 1.解：(1)连接OM.0为圆心，OC⊥MN于点C,MWN=48cm, .MC=2 MN=24(cm). AB=50 cm,.OM=AB=25(cm). 2 在Rt△OMC中，OC=√OM-MC=7(cm). (2).·GH与半圆的切点为E,∴.OE⊥GH. .MNGH,.∴.OE⊥MN于点D. ∠AWM=30°，0N=号4B=25(cm 1 25 0D=20N=2(cm), 操作后水面高度下降了空-7兰(m）. (3).OE⊥MN于点D,∠ANM=30°，∴.∠DOB=60° 半圆的中点为Q,.AQ=QB,.∠Q0B=90°， EF=OE.tn LQOF=25 3(cm)专题六 函数的 类型1阅读材料型(10年5考：2025.22 2024.24) 1.某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整 个赛道长150m.嘉淇从赛道顶端A处下 滑，滑行2s后，小华操控一个无人机从A 处沿着赛道方向保持相同安全高度跟拍嘉 淇，测得嘉淇离A处的滑行距离y(单位： m)以及无人机离A处的距离s(单位：m) (注：无人机的安全高度忽略不计)随滑行 时间x(单位：s)变化的数据，整理得下表： 滑行时间x/s 0 1 2 4 5 滑行距离y/m 0 6 14 24 36 50 无人机离A处 0 0 0 15 30 45 的距离s/m 经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s 与x(x≥2)之间成一次函数关系。 (1)直接写出y关于x的函数解析式和s 关于x(x≥2)的函数解析式（不要求写出 自变量的取值范围)； (2)嘉淇滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)在嘉淇到达终点前，无人机能否追上 嘉淇？若能，试计算此时嘉淇的滑行时间 x的值：若不能，求出无人机与嘉淇的最小 距离 实际应用（除2022年未考查外，其余每年必考） 2.长为300m的春游队伍以vm/s的速度向 东行进.如图1和图2，当队伍排尾行进到 位置0时，在排尾处的甲有一物品要送到 排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度 均为2vm/s,当甲返回排尾后，他及队伍均 停止行进.设排尾从位置O开始行进的时 间为t(s),排头与O的距离为S(m). (1)当v=2时，解答： ①求S与t的函数关系式（不写t的取值 范围)； ②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲 从排头返回到排尾的过程中，设甲与位置 O的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系 式（不写t的取值范围）； (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s), 求T与v的函数关系式（不写v的取值范 围)，并写出队伍在此过程中行进的路程. →东 0(尾)头 →东0 尾头 甲 ←一甲 图1 图2 37 3.【生活情境】(2025春石家庄期末)石家庄 外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单 品—米线和面条.随着天气越来越炎热， 米线与面条销量下降.为应对炎热天气销 售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采 取了以下措施： 对米线进行 将面条换成凉面出售 降价出售 凉面定价为n元/碗，售 出的数量y2(碗)与每碗 当按照10元/份出 定价n(元)之间为一次 售时，估计每天只 函数关系，其中两组数据 能售出50份，每份 如表所示(7≤n≤10，且n 售价每降价1元， 为整数)： 就能多售出20份： n(元/碗) 7 8 y,(碗) 110120 (1)请求出每天米线售出的数量y,(碗)与 每碗定价m(元)之间的函数关系式，每天 凉面售出的数量y,(碗)与每碗定价 n(元)之间的函数关系式； (2)求每碗米线定价m(m为正整数)为多少 元时，才能使得米线日销售额达到630元； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定 价和为16元时比较合理 ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当 天米线和凉面销售总量最多，为多少碗？ ②当凉面定价为 元/碗时，能使当 天米线和凉面销售总额达到1680元. 38 4.某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产 品的生产，其中x>0.每件的售价为18万 元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动 价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月 需求量x(件)成反比.经市场调研发现，月 需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符 合关系式x=2n2-2hn+9(k+3)(k为常 数)，且得到了表中的数据： 月份n(月) 1 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100 (1)求y与x满足的关系式，并说明一件产 品的利润能否是12万元； (2)求k的值，并推断是否存在某个月既 无盈利也不亏损； (3)在这一年12个月中，若第m个月和第 (m+1)个月的利润相差最大，求m的值， 类型2分析图象型(10年4考；2023.23) 5.（2025齐齐哈尔)2025年春晚舞台上的机 器人表演充分演绎了科技与民族文化的完 美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，某 校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热 情瞬间燃爆.校园里一条笔直的“勤学路” 上依次设置了A,B,C三个互动区，机器人 甲、乙分别从A,C两区同时出发开始表演， 机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀 速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟 （与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向 C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以 10米/分的速度匀速向B区行进，行至 B区时接到指令立即匀速返回，结果两机 器人同时到达C区.机器人甲、乙距B区 的距离y(米)与机器人乙行进的时间 x(分)之间的函数关系如图所示.请结合 图象信息解答下列问题： (1)A,C两区相距 米，a= ； (2)求线段EF所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机 器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即 可)》 y/米 150 90 15x/分 6.如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x轴（水平）18米，与y轴交于点B,与滑 道y=(x≥1)交于点A,且AB=1米运动 员（看成，点）在BA方向获得速度v米/秒后， 从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线 的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M,A 的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平 方成正比，且当t=1时，h=5;M,A的水平 距离是t米. (1)求k的值，并用t表示h; (2)设v=5,用t表示点M的横坐标x和纵 坐标y,并求出y与x的关系式（不写x的 取值范围)，及当y=13时，运动员与正下 方滑道的竖直距离； (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度 分别是5米/秒、2米/秒.当甲距x轴 1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位 置时，直接写出t的值及vz的范围. VA 18 13 1.8 01 39 7.(2025北京门头沟区期末)五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空.其中，1号无人机从 地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升 12秒时，都停止上升开始表演.在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x(单 位：秒).1号无人机距离地面的竖直高度为y,(单位：米)，2号无人机距离地面的竖直高度 为y,(单位：米).记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 12 y,/米 0 6 12 18 24 42 72 y,/米 16 20 24 28 40 60 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画y,与x,y2与x之间的关系.在同一平面直角坐标 系xOy中，已经画出y2与x的函数图象，请画出y1与x的函数图象。 y/米 66 60 48 36 30 24 012345678910111213x7秒 (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米；当2号无人机距离地面 的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米. 40 8.原创发现问题：某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观赏植物进行浇水，喷枪喷出的水流路 径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷 头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移. 提出问题：通过测量喷水杆的高度，能否得到水柱落地点到喷水杆底座的距离？ 分析问题：小明先是固定灌溉喷枪，并量出喷枪的现有高度为1.5m,以地面为x轴，喷水 口所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平 距离为xm,距地面的高度为ym.y与x的部分对应数值如下表： 2 3 5 1.875 2 1.875 0.875 解决问题： (1)①直接写出这股水流路径所在的抛物线的解析式，并在图1的网格中画出该抛物线（包 括边界)； ②求出其最大射程（水柱落地点到喷水杆底座的最大距离） (2)如果将灌溉喷枪提高6m,请求出此时灌溉喷枪的最大射程. (3)如图2，在地面上距离喷水杆2m处有一段斜坡MW,斜坡长2√3m,坡角为30°.若要 使喷出的水正好落在斜坡以内，直接写出P处喷水口的高度h的取值范围 y/m y/m ) 130° 01234567x/m0M x/m 图1 图2 41 9.(2025石家庄四十四中三模)如图是某船 停在水上的示意图.此船轮廓线可以看作 抛物线的一部分，船的吃水宽度OA= 20米最大吃水深度为米，船头日商出 水面2米.建立如图所示的平面直角坐标 系xOy.在船的前方距离0点40米处有直 立的固定标志杆，标志杆高CD=10米. (1)求船轮廓线所在抛物线的解析式及点 B的坐标： (2)在点B处发射一个小球，此时小球所 走路线是抛物线y=m(x-32)2+10的一部 分，问：小球能否砸到标志杆？请通过计算 加以说明； (3)若水面上涨2米，小船也随之上涨，标 志杆固定不变.将小船向右移动n米（没 有到达标志杆位置)，然后再按(2)中的方 式发射小球，若小球在落水前未砸中标志 杆，直接写出n的取值范围. y/米 船、 \0 水面三 类型3实物模型 10.跨学科物理-杠杆原理嘉淇利用杠杆原 理熟悉了物体的等量关系：A处物体的质 量×OA的长度=B处物体的质量×OB的 42 长度（如图1）.根据这一原理，数学兴趣 小组制作了简易杆秤（如图2），秤盘的质 量为10克，秤砣的质量为50克. 秤纽 a 秤纽 零刻 末 度线 秤 西-重物 度 A处OB处 秤盘 图1 图2 秤纽 Ya零刻度线 0 秤砣 秤 图3 (1)由于自身秤盘的质量，需确定秤盘、 零刻度线和秤纽之间的相对位置（如图 3).若秤盘到零刻度线的水平距离（即+ a)为6厘米时，请你确定秤纽到秤盘的 水平距离； (2)称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡. 为了方便快速得到在秤盘中重物的质 量，从零刻度线向后依次标记等距的小 刻度线，数学兴趣小组在(1)的条件下进 行了实验，如图2，当秤盘放入200克重 物后，秤砣从零刻度线向末刻度线方向 移动，到第5个小刻度线时杆秤刚好平 衡.求第1个小刻度线到零刻度线的水平 距离是多少？