专题4 与三角形有关的实际应用题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

专题四与三角形有 类型1解直角三角形的实际应用(2024.22) 1.跨学科化学-过滤装置(2025沧州盐山县 校级模拟)如图1，是液体过滤的实验装 置，图2是其侧面示意图，已知底座高度 AB=3cm,烧杯高度EF=12cm,漏斗的一 端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分MN= GH=8cm,且∠MNH=∠GHN=60°，漏斗 管位于烧杯的上方部分FG=6cm,玻璃棒 斜靠在三层滤纸的点P处，PG=了CH,玻 2 璃棒PQ的长度为30cm.(结果精确到 0.1cm) (1)求漏斗口处点N到底座AD的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹 角为53°，求此时玻璃棒顶端Q点到桌面 的距离， (参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53°≈1.33，√3≈1.73) D B 图1 图2 32 长的实际应用题(2024.22) 2.(2025邯郸育华中学模拟)木兰灯塔是亚 洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南 岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航 标.某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向） 以每小时10海里的速度在琼州海峡航行， 如图所示. 北 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北 偏西60°方向上的A处 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔 P北偏西45°方向上的B处 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上 午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡 C点周围5海里内会出现异常海况，点C位 于木兰灯塔P北偏东15°方向. 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：∠PAB= °，∠APC= °，AB= 海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会 进入“海况异常”区？请计算说明 (参考数据：W2≈1.41,3≈1.73，√6≈245) 类型2相似三角形的实际应用 3.原创[河北人文信息]定州开元寺塔，又 名“瞭敌塔”，建成于北宋至和二年(1055 年)，为第一批全国重点文物保护单位（如 图1).某兴趣小组欲测量开元寺塔的高度 AB,如图2，先在地面上C处竖直立了一个 高度为4米的标杆CD,这时地面上的点 E,标杆的顶端D,塔的顶端A正好在一条 直线上，测得CE=2米.再从点E出发沿 着直线BE方向前进14米到达点G.在点 G处放置一平面镜，当测量人员站在F处 时，恰好在平面镜中看到塔顶端A的像，此 时测得测量人员的眼睛到地面的距离 HF=1.5米，FG=1米已知点F,G,E,C与 塔的底端B在同一直线上，AB⊥BF,CD⊥ BF,HF⊥BF.（平面镜厚度忽略不计) (1)求BE与AB的数量关系； (2)求开元寺塔的高度AB. D H CE 图1 图2 4.风力发电是我国电力资源的重要组成部 分.嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度， 通过测量其影子长度的方法进行计算.如 图（图中所有的点均在同一平面，太阳光 线视为平行光线)，线段OA,OB,OC表示 三片风叶，OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC= ∠C0A=120°，某时刻OA,0B的影子恰好 重合为线段EF,OD⊥EF于点D,测得 DE=36m,EF=20m.同一时刻测得高4m 的标杆MN的影长为3m. (1)求∠AB0的度数及OD的长； (2)求风叶转动时点B到地面DF的最小 距离. 33 类型3解直角三角形与相似三角形结合的实际应用 5.(2025邢台南宫市模拟)【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离， 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A,B两棵树(AB与河岸平行)， 于是他提出：在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？ 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C,D,使CD与河岸平 行，且∠DCB=90°，经测量CD=20m,∠ADB=82°，∠BDC=45 【问题解决】(1)请根据乙同学的方案，计算出A,B两棵树之间的距离.（结果精确到 0.1m,参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75) 【交流讨论】(2)丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C,D,使CD与河 岸平行，且∠DCB=90°，测量出DC=am,DE=bm,∠D=,即可计算出AB的长度.请帮助 丙同学验证他的方案的可行性， D 图1 图2 34由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球 上数的和大于8的结果有4种， ∴.将两次得到的数字添加到原数据中，这组数据平均数 变大的率为吉行 专题四与三角形有关的实际应用题 1.解：(1)由题意可知NH∥AD,FE⊥AD, 如解图，延长FG交NH于点T,则GT⊥NH. .∠GHN=60°， TG=GH·sin∠GHN=8x 2 =43 (cm), .TE=TG+FG+EF=4W5+6+12≈24.9(cm), ·.漏斗口处点N到底座AD的高度约为24.9cm. (2)如解图，过点P作PK∥FG,交NH 于1，过点Q作QK⊥PK, 由题意可知∠PQK=53°， ∴.PK=P0·sin∠POK=PO·sin53o≈ 30×0.8≈24(cm). 2 GH=8 em,PC=3 CH, HE D B PI=PH·sin∠GlN=8x3_43 32=3(cm), 此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为PK-PI+TE+AB≈ 244 3 -+24.9+3≈49.6(cm). 2.解：(1)30：75：5.【解法提示】如解图，过点P作PD1 AC于点D,则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形.由题 可知∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，.∠PAB=30° ∠AP℃=∠APD+∠CPD=75°，由题可知渔船每小时航行 10海里，渔船从A处航行至B处所用时间为30分钟，即 半小时，故AB=2×10=5(海里). (2)设PD为x海里， 在Rt△BPD中，∠BPD=45°， .∠PBD=45°，.BD=PD=x, 在Rt△APD中，∠APD=60°， 六∠A=30°，am∠APp=40=5,os∠APD=PD-号 PD AP 2 ∴.AD=√3PD,AP=2PD. AB=AD-BD...3PD-PD=5, Pm=5+ .AP=2PD=5(√5+1)≈13.65 在△APC中，∠A=30°，∠APC=75° ∴.∠C=180°-∠A-∠APC=75°，∴.∠C=∠APC, .AC=AP≈13.65. 设上午9时渔船航行至E处，则AE=10. ∴.CE=AC-AE≈3.65<5， .该渔船会进入“海况异常”区， 3.解：(1).·AB⊥BF,CD⊥BF,∴.AB∥CD △ECD∽△EBA,ABBE CD CE CB=2米，CD=4米，AB2 BE 1 (2)由题意得∠HGF=∠AGB. .AB⊥BF,HF⊥BF, HF FG ·△FHG∽△BAG,·ABBC 由)知，能，设BE=元米，则AB=2米 1.51 六2x14+x心x=42, 经检验，x=42是所列分式方程的解，且符合题意， .AB=84米 答：开元寺塔的高度AB为84米。 4.解：(1)0A=0B,∠A0B=120°， 六∠AB0=∠A=180°-120 =30° 2 由题意得OENG,∠ODE=∠NMG=90°， ∴.∠OED=∠NGM,.△ODE∽△NMG. 织器4的00=8n (2)如解图，过点O作OH⊥AB于点H,过点E作EILAF 于点I, 在Rt△NMG中，由勾股定理得NG=5m. 同理可证△EIF∽△WMMG, -E即L-20 ·NMNG P45,EI=16m, 由题意得OE∥AF,而OH⊥AF,EI⊥AF, ∴.0H=EI=16m. .·在Rt△OBH中，∠AB0=30°， .B0=20H=32(m), .当0B⊥DF时，48-32=16(m), .风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m. 5.解：(1)如解图，过点D作DE⊥AB于点E. E B .·AB∥CD,DE⊥AB.∠DCB=90°， ∴.∠EDC=∠DCB=∠DEB=90°， .四边形BCDE是矩形， ∴.CD=EB=20m,BC=DE. .∠ADB=82°，∠BDC=45°，∴.∠ADC=127° .∴.∠ADE=∠ADC-∠EDC=37° 在Rt△BCD中，∠BDC=45°，.∠DBC=45°. .∴.CD=CB=EB=DE=20m. 在B△AED中，an∠ADE=AE DE 31 ∴.AE=DE·tan∠ADE≈20x0.75=15(m), .AB=AE+EB≈15+20=35(m). 答：A,B两棵树之间的距离约为35m. (2)在Rt△BCD中， .cos∠BDC BD.BD=CD CD cosa ·BE=BD-DE=CD b=-a -b. AB,/CD,△ABE∽△CDE,CDDE' AB BE ..AB= D·BEa(-b) cosa DE -a)m. b bcosa 专题五几何作图 1.解：如解图.点P即为所求 2.解：如解图，菱形ABCD即为所求 B D 3.解：(1)如解图，四边形BCDF即为所求. (2)结论：四边形BCDF是菱形 理由：如解图，连接CF交BD于点O 四边形BCDF是平行四边形，.OF=OC. .AF=AC,∴.AB⊥CF, :.四边形BCDF是菱形 4.解：(1)如解图1，射线0P即为所求. M 0 N 解图1 解图2 (2)如解图2，C⑦即为所求。 5.(1)解：如解图1，矩形EBCF即为所求 解图1 解图2 32 (2)证明：如解图2，过点A作AG⊥EF于点G,设AC与 EF交于点H, ·四边形EBCF是矩形 ∴.∠E=∠F=90°，EB=FC. .∠AGD=∠E,∠AGH=∠F D是AB的中点，.AD=DB 又：∠ADG=∠BDE,.△ADG≌△BDE(AAS), .AG=BE,S△HDe=S△BDE,∴.AG=FC. L∠AGH=∠F、 在△AGH和△CFH中. ∠AHG=∠CHF AG=CF, .△AGH≌△CFH(AAS),∴.S△AGm=S△cFH .S△ABC=S矩形EBCP: 6.解：(1)如解图，△A,B,C1即为所求 C (2)如解图，△A,B,C2即为所求 (3)如解图，BB,和B,B2即为点B经过的路径. BB,=V√32+3=32， BB,的长为90mx2.2n 180 :点B经过(1)(2)变换后的路径总长为32+5▣ 2 7.解：(1)如解图1，点D即为所求（答案不唯一） B 解图1 解图2 (2)如解图2，点E即为所求（答案不唯一）， 专题六函数的实际应用 1.解：(1)y=x2+5x;s=15x-30(x≥2) (2)当y=150时，x+5x=150. 解得x,=10,x=-15(不合题意，舍去) 答：嘉淇滑完整个赛道需要耗时10s. (3)由题意，得y=s,x2+5x=15x-30, 化简，得x2-10x+30=0. .·△=100-4×30=-20<0，.原方程无实数解. ·在嘉淇到达终点前，无人机不能追上嘉淇。 设无人机与嘉淇的距离为d, 则d=(x2+5x)-(15x-30)=(x-5)2+5 .当滑行时间为5s时，无人机与嘉淇的距离最小，最小 距离为5m 2.解：(1)①由题意知S=t+300 v=2,.S头=2t+300. ②：u=2,甲的速度为2mm/s, .甲的速度为4m/s, .甲从排尾赶到排头时.4t=2t+300.解得t=150