小专题培优3 常见的构造全等三角形的方法.-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

小专题培优3常见的构造全等三角形的方法 方法1见中点，用倍长中线法构造“8”字型全等三角形 图示及 D是BC的中点 条件 D是BC的中点 思路一 思路二 思路三 辅助线 BY 作法 作CF⊥AD于点F, 在AB上任取一，点M, 延长AD到点E,使 延长ED到点F,使 作BE⊥AD交AD 连接MD并延长到点 DE=AD,连接BE DF=ED,连接CF 的延长线于点E N,使DN=MD,连接CW 结论 △ADC≌ △CDF≌ △BMD≌ △BED≌ 例1如图，D是BC的中点，点E在AD上，∠BED=∠CAD. (1)求证：BE=AC; (2)如图2，延长BE交AC于点F,若EF=2,求AF的长. 图2 针对训练1如图，在△ABC中，AC=5,BC=13,D为AB的中点，DC⊥AC,求△ABC的面积 6 6 方法2见中点，用平行线法构造“8”字型全等三角形 针对训练2如图，在四边形ABCD中，AB∥ 图示及 CD,E是AD边的中点.若CE平分∠BCD, 条件 E是线段AD的 E是线段AD的中 AB=2,CD=5,求BC的长 中点 点，ABDF 辅助线 过，点A作AF∥ 延长BE交DF于 作法 CD交BC于点F 点C 结论 △CED≌ △ABE≌ 例2如图，在△ABC中，AB=AC,点E在AB 上，点F在AC的延长线上，BE=CF,连接 EF交BC于点D.求证：DE=DF E 证明：解法1：如解图1，过点E作EG∥AC 交BD于点G 针对训练3如图，在△ABC中，AC=BC,D, E分别是边AC,AB上的点，连接DE并延 长，交CB的延长线于点F,DG⊥AB于点 &若DE=BF,求证：BG=B 解图1 解法2：如解图2，过点E作EH∥BC交AC 于点H. 解图2 7 方法3]见角平分线，用截长补短法构造对称型全等三角形 图示及 解法2（补短）：如解图2，延长CA到点E, AD平分∠BAC 条件 B 使得CE=CB,连接DE. E 思路一：截长 思路二：补短 B D D 辅助线 作法 解图2 在AC上截取AE, 延长AB至点F,使 使AE=AB,连 AF=AC,连接DF 接DE 结论 △ABD≌ △ACD≌ (1)“截长补短法”是证明线段或角的 “和差倍分”问题的常用方法； 解读 (2)把几条线段间的数量关系转化为 针对训练4 多解法如图，在△ABC中，AB> 两条线段的等量关系 AC,∠1=∠2，P为AD上任意一点（不与 例3如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平 点A,D重合)，则AB-AC PB-PC. 分∠ACB,AD=2,AC=3,求BC的长 (填“>”“<”或“=”) 解：解法1（截长）：如解图1，在BC上截取 B CE,使得CE=CA,连接DE. 针对训练5 多解法如图，在△ABC中，已 知AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD, 若∠BAC=60°，求∠B的度数. E 解图1 8 方法4见半角，用旋转法构造全等三角形 等边三角形中 等腰直角三角形中 正方形中 等边三角形中 类型 60°含30° 90°含45° 90°含45° 120°含60° 309 450 45 BD E 图示 45 G B △ABD绕点A逆时 △ACE绕点A顺时 △ADF绕点A顺时 △BDE绕，点D顺时针 辅助线 针旋转 ·得 针旋转 得 针旋转 得 旋转 。得 作法 到△ACF 到△ABF 到△ABG 到△CDG 注：作法不唯一，由另一个小三角形往相反方向旋转也可以 △AED兰△AEF △ADE≌△ △AEF≌△ △FDE≌△ ∠FBD= 结论 ∠ECF= EF=BE+DF EF=BE+CF BD2+CE2= △ECF的周长=BC △BDF的周长=BC △CEF的周长=2AB ∠DEB=∠DEF 例4如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,∠BDC=120°.点E,F分别在边AB, AC上，且∠EDF=60°，则△AEF的周长为 针对训练6如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是斜边BC上的两点，且∠DAE= 45°.若BD=3,CE=4,SAA0E=15,求SAARD+SAAEC的值. B D 9BD平分∠ABC,·∠ABD=∠DBC, ∴.∠FAB=∠F,∴.FB=AB=4. AF/BD.ADFR CD CB 2, 作法4【方法解读】△BOP 例4证明：如解图，在BC上截取BE=BA,连接DE. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠EBD. 又AB=BE,BD=BD..△ABD≌△EBD ∴.AD=ED,∠A=∠BED. .AD=CD,∴.ED=CD,∴.∠DEC=∠C. .·∠BED+∠DEC=180°，∴.∠A+∠C=180° B 针对训练4证明：如解图，在BC上截取BF=AB,连接DF B .BD是∠ABC的平分线，·.∠1=∠2. (AB=FB. 在△ABD和△FBD中，了∠1=∠2 BD=BD, ·.△ABD≌△FBD(SAS), ∴.DF=DA=DE,∠A=∠BFD 又.∠A=100°，∠ABC=40° .∠ACB=40°=∠ABC,∠DFC=180°-∠BFD=80°， ∠ABD=20°， ∴.∠FDC=60° .·∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=60° ∴.∠FDC=∠EDC,∴.△DCE≌△DCF(SAS) ∴.CE=CF,∴.BC=BF+CF=AB+CE,即BC=AB+CE 小专题培优3常见的构造全等三角形的方法 方法1△EDB:△BDE:△CND:△CFD 例1(1)证明：如解图1，延长AD到点G,使得DG=AD,连 接BG D是BC的中点，∴BD=CD. 又.∠1=∠2，∴.△BDG≌△CDA(SAS), ∴.BG=CA,∠G=∠A 又.∠BED=∠CAD,∴.∠G=∠BED ∴.BE=BG,∴.BE=AC B 解图1 解图2 (2)解：如解图2，延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG 由(1)可知∠G=∠A,∠3=∠G,∴.∠3=∠A 又∠3=∠4，.∠4=∠A,.AF=EF=2. 针对训练1解：如解图，延长CD到点T,使得DT=CD,连 22 接BT B A .·BD=AD,∠ADC=∠BDT,∴.△ADC≌△BDT ∴.BT=AC=5,∠T=∠ACD=90°， .CT=√BC-BT=12, SAAW=SAA+SA=ScBT CT=30. 方法2△FEA:△DCE 例2解法1：AB=AC,∠B=∠ACB. '.EG∥AC,∴.∠EGB=∠ACB=∠EBG, ∴.BE=EG=CF, .EG∥CF,.∴.∠DEG=∠DFC,∠DGE=∠DCF .△DEG≌△DFC(ASA),.DE=DF. 解法2：.AB=AC,.∠B=∠ACB. .·EH∥BC,∴.∠AEH=∠B,∠AHE=∠ACB, ∴.∠AEH=∠AHE, ∴.AE=AH,.AB-AE=AC-AH,即BE=CH .BE=CF,..CF=CH. :EH∥BC,.由平行线分线段成比例，可知DE=DF 针对训练2解：如解图，延长CE,B4交于点F A B 4 D AB∥CD,.∠1=∠F. CE平分∠BCD,.∠1=∠2， ∴.∠2=∠F,∴.BC=BF 1∠F=∠1， 在△AFE和△DCE中，了∠4=∠3， AE=DE, ·.△AFE≌△DCE,.AF=DC=5. .BC=BF=AB+AF=7. 针对训练3证明：如解图，过点D作DH∥BC于点H, E F B 则∠DIE=∠FBE,∠HDE=∠BFE 又.DE=EF,∴.△DIE≌△FBE. ∴.HE=BE. .AC=BC,.∠A=∠ABC. .·DH∥BC,∴.∠AHD=∠ABC .∠A=∠AHID,DA=DH, .△ADH是等腰三角形 .DG⊥AB,.由等腰三角形三线合一，得AG=GH ·.AG+BE=GH+IHE=EG :AG+BG+版=ABBG=子AB 方法3△AED:△AFD AC=EC 例3解法I:在△ACD和△ECD中 ∠ACD=∠ECD. CD =CD. .△ACD≌△ECD(SAS). ∴.AD=ED,∠A=∠DEC. ·∠A=2∠B,.∠DEC=2∠B. .∠DEC=∠B+∠EDB,∴.∠B=∠EDB, .△BDE是等腰三角形，AD=DE=BE=2. ·EC=AC=3,.BC=BE+CE=2+3=5. 解法2：.CD平分∠ACB,∴.∠1=∠2 又：CD=CD,CB=CE,.△CDB≌△CDE,.∠B=∠E. .·∠BAC=2∠B,∴.∠BAC=2∠E. 又：∠BAC=∠3+∠E,∴.∠3=LE, ..AE=AD=2. AC=3,..CE=AC+AE=5,..BC=5. 针对训练4>【解析】解法1（截长）：如解图1，在AB上 截取AE,使AE=AC,连接PE,在△AEP和△ACP中， (AE=AC. ∠1=∠2，.△AEP≌△ACP(AS),.PE=PC.在 AP=AP」 △PBE中.BE>PB-PE.即AB-AC>PB-PC E B D D 解图1 解图2 解法2（补短）：如解图2，延长AC至点M,使AM=AB,连 (AB=AM, 接PM.在△ABP和△AMP中，了 ∠1=∠2，.△ABP≌ AP=AP. △AMP(SAS),∴.PB=PM.在△PCM中，CM>PM-PC,即 AB-AC>PB-PC. 针对训练5解：解法1（截长）：如解图1，在AB上截取 AM=AC,连接DM. 解图1 AD是∠BAC的平分线，∴.∠CAD=∠MAD. 又.AC=AM,AD=AD,∴.△ACD≌△AMD, ∴.CD=MD,∠C=∠AMD. 又：AB=AC+CD,.AB=AM+MD, ∴.BM=MD,∴.∠B=∠MDB. .∠AMD=∠B+∠MDB,∴.∠C=∠AMD=2∠B. ·∠BAC=60°，∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=120°. ∴.∠B=40° 解法2（补短）：如解图2，延长AC至点N,使得AN=AB,连 接DN. 解图2 :AD是∠BAC的平分线，·.∠BAD=∠NAD. 又：AB=AN,AD=AD,∴.△ABD≌△AND, .∠B=∠N. AB=AN=AC+CN.AB=AC+CD .∴.CN=CD,∴.∠CDN=∠N, ∴.∠ACB=∠CDN+∠N=2∠N=2∠B. .·∠BAC+∠ACB+∠B=180°， .60°+2∠B+∠B=180°，.∠B=40° 方法460：120：90：ADF:90:DE2:90:AEG:120:FDG 例410【解析】如解图，将△BDE绕点D顺时针旋转 120°得到△CDP,则∠DCP=∠DBE..·∠DBE+∠ACD= 360°-∠A-∠BDC=180°，.∠DCP+∠ACD=180°，∴.点 A,C,P共线.由旋转可知DE=DP,∠BDE=∠CDP. ∠BDC=120°，∠EDF=60°，.∠BDE+∠CDF=60°， ∴.∠CDP+∠CDF=60°，∴.∠PDF=∠EDF=60°.在△DEF (DE=DP. 和△DPF中，∠EDF=∠PDF,∴△DEF≌△DPF(SAS), DF=DF. EF=FP,.EF=FC+BE,.△AEF的周长=AE+EF+ AF=AB+AC=10. 针对训练6解：如解图，将△AEC绕，点A顺时针旋转90°得 到△AFB,连接FD,过点A作AH⊥BC于点H, 则△AEC≌△AFB, B D H E C ∴.∠ABF=∠ACB,∠BAF=∠CAE,AE=AF,FB=EC 在Rt△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°， .∴.∠ABF=45°，.∴∠FBE=45°+45°=90°， ..BD+BF2=DF2」 ∠DAE=45°，.∠BAD+∠CAE=45°， .∠BAD+∠BAF=45°，∠DAE=∠DAF, (AD=AD. 在△DAE和△DAF中，了 ∠DAE=∠DAF AE=AF. ∴.△DAE≌△DAF(SAS),.∴DE=DF, .BD2+CE2=DE2. BD=3,CE=4,∴.DE=5, .∴.BC=BD+DE+CE=12. :AB=AC,∠BAC=90°，AH⊥BC, 六AH=BH=CH=2BC=6, .S△H+S△Bc= 0.An*宁c8,M=宁x(3+4)× 6=21. 小专题培优4一线三等角模型 例【分析】①∠B=∠ADE=∠C:②∠BAD=∠CDE. (1)证明：：∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45°=∠ADE. .·∠ADC=∠BAD+∠B,∠ADC=∠ADE+∠CDE ∴.∠BAD=∠CDE,∴.△ABD∽△DCE. 23