小专题培优10 几何图形(直线型)中的最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

小专题培优10几何图形（直线型)中的最值问题 (10年3考) 类型①利用“垂线段最短”求最值(2020.26,2019.23) 问题 直线1外一定点A和直线1上一动，点P,求AP的最小值 图示： 解题技巧 过点A作AP⊥直线l于点P',则当点P与点P'重合时，AP取得 最小值 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，E是AB上任意一点.若CD= 5,则DE的最小值为 E 例1题图 针对训练1题图 针对训练1如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点（点P不与点B, C重合)，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF的最小值为 类型2利用“三角形的三边关系及共线”求最值(2021.26) 问题 两定点A,B和一动，点C,且AC的长度固定（假设AB>AC),求BC的最值 图示 B B 图1 图2 图3 解题技巧 当点C在线段AB上时，如图2，BC最小，最小值为AB-AC;当点C在BA的延长线上 时，如图3，BC最大，最大值为AB+AC 【其他应用】(1)如图1，两定点A,B在直线1异侧，P是直线1上一动点，当，点P在直线AB上时， PA+PB最小，最小值为AB的长； 图 图2 (2)如图2，两定点A,B在直线I同侧，P是直线1上一动，点，当，点P在线段AB的延长线上时， IPA-PBI最大，最大值为AB的长 例2如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是 AB边上一点，且AE=2,则线段EF+CF的最小值为 D B 例2题图 针对训练2题图 针对训练2如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接AC,O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD=1,P是BC上一动点，则PM-P0的最大值为 21 类型3利用轴对称进行转化 考向1 两定一动型 问题 两定，点A,B在直线1同侧，P是直线I上一动点，求PA+PB的最小值 图示 解题技巧 作，点A关于直线I的对称点A',连接A'B交I于，点P,A'B的长为PA+PB的最小值 【拓展】若两定点A,B在直线I异侧，P是直线l上一动点，则作，点B关于直线1的对称点B,点P 在AB的延长线上时，IPA-PB|最大，为AB的长 例3(2025邯郸二模)如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2,对折矩形 纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF,展平后再沿BM折叠矩形纸 片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交于点Q,与AD相交 于点M,再次展平，连接BN,MN,延长MN交BC于点G.若P为线段 BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是 针对训练3如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,P是 直线MWN上一动点，H为BC的中点.若AB=13,△ABC的周长为36，则PB+PH的最小值 为 H 针对训练3题图 针对训练4题图 针对训练4如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,∠BCD=15°，P为CD上的动 点，则IPA-PBI的最大值为 考向2两动一定型 P是∠AOB内的一个定，点，M,N分别是射线OA,OB上的动，点，求△PMN的周长的最 问题 小值 图示 分别作，点P关于OA,OB的对称，点P',P",连接P'P"分别交OA,OB于点M,N,P'P"的长 解题技巧 即为△PMN的周长的最小值 22 例4如图，在锐角三角形ABC中，∠C=40°，P是边AB上的一个定点，M,N分别是AC和 BC边上的动点，当△PMW的周长最小时，∠MPW的度数为 D 例4题图 针对训练5题图 针对训练5如图，在边长为8的正方形ABCD中，G是BC边的中点，E,F分别是AD,CD边 上的动点，则四边形BEFG的周长的最小值为 拓展类型4利用平移进行转化（造桥选址问题） 直线mn,点A在直线m的上方，点B在直线n的下方，在直线m,n上分别找点M,N, 问题 使得MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小 M 图示 解题技巧作BB'⊥n且BB'=MN,连接AB'交m于点M,作MN⊥n于，点N,则，点M,N即为所求 针对训练6如图，在正方形ABCD中，点M,N在对角线BD上，连接AM,AN,若AB=2, MN=1,则△AMN的周长的最小值为 拓展类型5利用三角函数进行转化（胡不归问题） 已知P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定，点，连接PA,求PA+PB(0<k<I)的最 问题 小值 P 图示 E (I)构造kPB:在直线BC异于，点A的一侧作∠CBE=,使sia=k,过，点P作PD⊥BE 于点D,则PD=PB·sia=kPB,则求PA+kPB的最小值即为求PA+PD的最小值； 解题步骤 (2)化折为直：过，点A作AD'⊥BE于，点D',AD'交BC于，点P',点P'即为PA+hPB取最小 值时点P的位置 针对训练7如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,BC=6,P为边AD上的一动 点，则PGPA的最小值为 23针对训练610w√3：25√3【解析】如解图，作△ABC的外接 圆⊙0.连接OA,OB,OC,过点0作OH⊥AC于点H. .∠ABC=120°，∴.∠A0C=2×(180°-120°)=120°， ·∠A0H= 2∠A0C=60°，∠0AH=30°.设⊙0的半径 为，0B≥0M+BDr≥乞+5，解得r≥10，AC≥10 √5，.AC的最小值为10√3，.△ABC的面积的最小值为 2×5x10w5=255. 针对训练7605【解析】如解图，作直线BC,在点B的 左侧取点E,使得BE=AB,在点C的右侧取点F,使得 CF=AC,连接AE,AF.作△AEF的外接圆⊙O,连接OA OE,OF,过点O作OM⊥EF于点M,过点A作AH⊥EF于 点H.设⊙0的半径为T,易知∠EAF=2∠BAC=120°， .∠E0F=2×(180°-120)=120°，∴.∠E0M=60°，∴.0M= ,BF=501≥+0M.r≥30+乞，解得r≥60， 1 .EF=√3r≥605，：△ABC的周长的最小值为605. 针对训练820√3【解析】如解图，取MN的中点F,过点 F作FE⊥OB于点E,以MN为直径作⊙F.MN=2OM= 40m,F是MN的中点，.MF=FN=20m,OF=40m ∠A0B=30°，FE⊥0B,.FE=20m,0E=√3FE=20W5m, .FE=MF.又FE⊥OB,FE为⊙F的半径，.OB是⊙F 的切线，切点为E,.当点P与点E重合时，观景视角 ∠MPN最大，此时OP=20√3m 0 B PE 小专题培优10几何图形（直线型）中的最值问题 例15 针对训练1号 【解析】如解图，连接AP.在△ABC中， AB=6,AC=8,BC=10,∴.BC2=AB2+AC2,.△ABC为直角 三角形，且∠BAC=90°.·PE⊥AB,PF⊥AC,∴.∠AEP= ∠AFP=90°，.四边形PEAF是矩形，.AP=EF,当AP 最小时，EF也最小当AP1CB时，AP最小~B· AC=宁C·AAP-LC-F的最小值 BC 例22√3【解析】如解图，连接CE交AD于点F'..:EF+ CF≥EF+CF'=CE,.当点F与点F'重合时，EF+CF有最 小值，且最小值为线段CE的长..AB=4,AE=2,由等边 三角形的性质可知CE⊥AB,.CE=√AC-AE=2W5,即 EF+CF的最小值为2√5 D 针对训练2 3 2 【解析】在矩形ABCD中，AD=4,MD= 1,·.AM=3.如解图，连接MO并延长交BC于点P,此时 PM-PO取得最大值，最大值为OM的长.：AM∥CP, ∠MA0=∠PCO.又.AO=C0,∠AOM=∠C0P,.△AOM ≌△COP(ASA),.OM=OP,AM=CP=3,.PB=1.过点 M作MN⊥BC于点N,则四边形MNCD是矩形，.MN CD,CN=DM,.PN=4-1-1=2,.MP=√32+22=√3， ·0M=3 、)PM-PO的最大值为3 M D B P N C 例3√3【解析】如解图，连接AN,PE.由题意得，EF垂直 平分AB,.AN=BN,由题意，得AB=BN,AN=AB=BN= 2,.△ABN为等边三角形，.∠ABW=60°.H是BW的 中点，E为AB的中点，由折叠可知PH=PE,.点P与 点Q重合时，PW+PH的值最小，此时PN+PH=PW+PE= EN.EN=VBN-BE=2-(22)=3,.PN+PH 的最小值是√3 针对训练312【解析】如解图，连接AP,AH.AB=AC= 13,△ABC的周长为36，.BC=36-2×13=10.:H是BC的 中点Bm=子C=5:△MBC是等膜三角形，AM1BC. .AH=√AB-BΠ=√I3-5=12:MN是线段AB的垂 直平分线点B关于直线MN的对称点为点A,PA=PB, .PB+PH=PA+PH≥AH,AH的长为PB+PH的最小值， .PB+PH的最小值为12 27 针对训练44【解析】如解图，作点B关于CD的对称点 E,连接AE并延长交CD于点F,连接CE,PE.由轴对称图 形的性质可知PB=PE,BC=CE,∠PCE=∠BCD=15° ∴.IPA-PBI=IPA-PEI≤AE,即当P,E,A三点共线时 IPA-PBI取得最大值，最大值为AE的长.·△ABC为等 腰直角三角形，AC=BC=4,∴.∠ACB=90°，CE=BC=AC= 4,.∴.∠ACE=∠ACB-(∠BCD+∠PCE)=60°，∴.△ACE是 等边三角形，.AE=AC=4,即IPA-PB1的最大值为4. D B 例4100°【解析】如解图，分别作点P关于BC,AC的对 称点E,D,分别交BC,AC于点G,H,连接DE,交AC于点 M,交BC于点N,此时△PMN的周长最小，且∠PHM= ∠PGN=90°..'∠C=40°，.∴.∠DPE=360°-∠PHM ∠PGW-∠C=140°，.∠D+∠E=180°-∠DPE=40°. .·PM=DM,NP=NE,.∴∠MPD=∠D,∠NPE=∠E .∠MPD+∠NPE=∠D+∠E=40°，∴.∠MPN=∠DPE- (∠MPD+∠NPE)=100°. G 针对训练524【解析】如解图，作点G关于CD的对称点 G,作点B关于AD的对称点B',连接B'G',B'E,FG .BE=B'E,FG=FG',..BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+ BG.B'E+EF+FG'≥B'G',.当BE+EF+FG'=B'G'时 四边形BEFG的周长有最小值，最小值为BG+B'G.·BG CG-CG-7BC-4.AF'-AR-8..BR-AR+AR-16.BG- BC+CG'=12,..B'G'=VBG+BB=20,..BG+B'G'= 24,·.四边形BEFG的周长的最小值为24. B' B GC G 针对训练64【解析】如解图，连接AC,过点C作CE∥ MN,且CE=MN,连接EN,CM,则四边形MNEC是平行四 边形，.NE=CM.:四边形ABCD是正方形，点M在对角线 BD上，.AM=CM,.AN+AM=AN+CM=AN+NE.MN=1为 定值，.当AW+AM的值最小时，△AMN的周长最小，即当 点A,N,E共线时，AM+AW的值最小，最小值为AE的长. AB=BC=2,.AC=22.四边形ABCD是正方形， ∴.BD⊥AC,∴.CE⊥AC,即∠ACE=90°，∴.在Rt△ACE中， 28 AE=√AC+CE=3,.△AMW的周长的最小值为AE+MW =4. B 针对训练735【解析】如解图，过点P作PQ⊥AB,垂足 为Q.:四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC.∠QAP= 2P0=3 QBC=60 A=sin60 2 PA.PC+ 2PA=PC4PQ.当C,P,Q三点共线时，PC+3H有 小值，为CQ的长，.此时CQ⊥AB.:∠ABC=60°， ∠BCQ=30°，B0=BC=3,六C0=VBC-B0 3B.PC+号PA的最小值为33 A、 B4 二、解答题强化 专题一计算求解题 1.7. 25号 3.4.4.3. .x=-2. 6原方程组的解为红=4， （y=5. 7斯=1+ 315 3 8.原分式方程无解. 9.原不等式组的解集为-3≤x<-2, 在数轴上表示其解集如解图. -5-4-3-2-1012345 3 10. x+1 11.原式=2a-b. 当a=分6=2时原式=2x宁-2=-3 12.原式=m-1 m+1 分式的分母不能为0，m≠±1且m≠0， 当a3时，原式品行 13.解：(1)由题意，得(-2)★(-4)=2×(-2)-(-4)=0. a自调得低2华以 .x★y=1★2=2×1-2=0. 14.解：(1)由题意，得(-9)+2+8+(-7)=-6 答：路线A→B→C上所有数字的和为-6. 2)由题意，得2x(-1)>3x+2(-4),解得x<9