小专题培优9 隐形圆(辅助圆)模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

41s 21 4,根据圆外的点到圆上的点距离最大时，需经过 圆心，当点P与点B重合，且点Q也在线段AB上时， P0取得最大值1= 4,Q的最大值和最小值之积 为39x17663 416 D F P B 小专题培优9隐形圆（辅助圆）模型 例12√13-2【解析】如解图，连接CE.·P是直线AB 上的一个动点，AE=2,AE=EF=2,点F在以点E为 圆心，AE为半径的圆上运动，当点F在线段EC上时，FC 取得最小值..·在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,.CD=AB= 4,AD=BC=8,.DE=AD-AE=8-2=6.在Rt△CDE中，由 勾股定理得CE=√DE+CD=√6+4=2√3，.FC的 最小值为CE-EF=2√13-2. B 针对训练1100°【解析】：AB=AC=AD,.B,C,D三点 都在以点A为圆心，AB长为半径的圆上.：∠CBD=20°， ∠BDC=30°，∠CAD=2∠CBD=40°，∠BAC=2∠BDC= 60°，∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=100°. 针对训练25或√13【解析】由条件可知点P的运动轨 迹是以点A为圆心，1为半径的圆，.当BP与⊙A相切 时，∠ABP最大.如解图1，当点P在AB左侧时，根据题意 得，AE=AP=1,BP⊥AP.AB=√I0,.BP=√AB-AP=3, 过点P作PH⊥CB,交CB的延长线于点H,PH∥AB, .∠BPH=∠ABP.又∠APB=∠H=90°，.△BHP 013Bm=3V0 △m0即0 10 0CW=Bc+-1g丽在AP巾 PH=9 CP=√PT+C严=5；如解图2，当点P在AB右侧时，过点 P作PH⊥BC于点A,同理可得BH=0,PM=9V0 10 .CH=BC-BH-710 10 CP=√PI+C=√3.综上 所述，CP的长为5或√13 H B B H 解图1 解图2 例2D【解析】如解图，取AC的中点O,连接OP,BO. PA+PC2=AC2,∠APC=90°，.点P在以AC为直径 的半圆上运动.在△BPO中，BP≥BO-OP,.当点P在线 段B0上时，BP有最小值.O是AC的中点，∠APC= 26 0.P0=AO=CO=7AC=3.tm LBOC=3 5 .∠B0C=60°，.△C0P是等边三角形，.SAcm= 3 4 .0A=0C,∴.S△Ac=2S△cr= 3w3 2 B C 针对训练3√5-1【解析】在正方形ABCD中，AB=BC, (AB=BC, ∠ABC=∠BCD.在△ABE和△BCF中，了∠ABE=∠BCF, BE=CF. △ABE≌△BCF(SAS),∠BAE=∠CBF.∠CBF+ ∠ABF=90°，.∠BAE+∠ABF=90°，.∠APB=90°，.点 P在以AB为直径的半圆上运动.取AB的中点O,由图形 可知当O,P,D三点在同一直线上时，PD有最小值，如解 图.在正方形ABCD中，AB=2,.A0=OP=1.在 Rt△0AD中，0D=√AD+A0=√2+下=√5，.PD=0D -0P=√5-1. 针对训练4片【解析△ABC为等边三角形∠ABC马 ∠BAC=60°，AC=AB=2..·∠PAB=∠ACP,.∠PAC+ ∠ACP=60°，∠APC=120°，.点P的运动轨迹是AC, 如解图，过点P作PD⊥AC于点D,当O,P,B三点共线 时，PD长度最大，即△APC的面积最大，.PA=PC,AD= AC=L,∠PAC=∠ACP=30°，PD=AD:tan300=V3 1 3, 2x2x3 六△1C面积的最大值为4C,Pm=子×。 33 B 例3C【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.∠BAE=90°. OE⊥BD,.∠BOE=90°，.四边形AB0E对角互补， ∴.A,B,0,E四点共圆，.∠AOE=∠ABE=20° 针对训练5D【解析】AD,BE,CF为△ABC的三条高， 易知B,C,E,F四点共圆，∠BEF=∠BCF.又LAEF+ ∠BEF=90°，∠FBC+∠BCF=90°，.∠AEF=∠FBC AF EF 3 又∠EAF=∠BAC,△AEF∽△ABC,÷ACBC-5, 3 4 即cos∠BAC= 5,sin LBAC=5在胜△ABE中， BE=AB·sin∠BMC=6x4=24 55 针对训练610w√3：25√3【解析】如解图，作△ABC的外接 圆⊙0.连接OA,OB,OC,过点0作OH⊥AC于点H. .∠ABC=120°，∴.∠A0C=2×(180°-120°)=120°， ·∠A0H= 2∠A0C=60°，∠0AH=30°.设⊙0的半径 为，0B≥0M+BDr≥乞+5，解得r≥10，AC≥10 √5，.AC的最小值为10√3，.△ABC的面积的最小值为 2×5x10w5=255. 针对训练7605【解析】如解图，作直线BC,在点B的 左侧取点E,使得BE=AB,在点C的右侧取点F,使得 CF=AC,连接AE,AF.作△AEF的外接圆⊙O,连接OA OE,OF,过点O作OM⊥EF于点M,过点A作AH⊥EF于 点H.设⊙0的半径为T,易知∠EAF=2∠BAC=120°， .∠E0F=2×(180°-120)=120°，∴.∠E0M=60°，∴.0M= ,BF=501≥+0M.r≥30+乞，解得r≥60， 1 .EF=√3r≥605，：△ABC的周长的最小值为605. 针对训练820√3【解析】如解图，取MN的中点F,过点 F作FE⊥OB于点E,以MN为直径作⊙F.MN=2OM= 40m,F是MN的中点，.MF=FN=20m,OF=40m ∠A0B=30°，FE⊥0B,.FE=20m,0E=√3FE=20W5m, .FE=MF.又FE⊥OB,FE为⊙F的半径，.OB是⊙F 的切线，切点为E,.当点P与点E重合时，观景视角 ∠MPN最大，此时OP=20√3m 0 B PE 小专题培优10几何图形（直线型）中的最值问题 例15 针对训练1号 【解析】如解图，连接AP.在△ABC中， AB=6,AC=8,BC=10,∴.BC2=AB2+AC2,.△ABC为直角 三角形，且∠BAC=90°.·PE⊥AB,PF⊥AC,∴.∠AEP= ∠AFP=90°，.四边形PEAF是矩形，.AP=EF,当AP 最小时，EF也最小当AP1CB时，AP最小~B· AC=宁C·AAP-LC-F的最小值 BC 例22√3【解析】如解图，连接CE交AD于点F'..:EF+ CF≥EF+CF'=CE,.当点F与点F'重合时，EF+CF有最 小值，且最小值为线段CE的长..AB=4,AE=2,由等边 三角形的性质可知CE⊥AB,.CE=√AC-AE=2W5,即 EF+CF的最小值为2√5 D 针对训练2 3 2 【解析】在矩形ABCD中，AD=4,MD= 1,·.AM=3.如解图，连接MO并延长交BC于点P,此时 PM-PO取得最大值，最大值为OM的长.：AM∥CP, ∠MA0=∠PCO.又.AO=C0,∠AOM=∠C0P,.△AOM ≌△COP(ASA),.OM=OP,AM=CP=3,.PB=1.过点 M作MN⊥BC于点N,则四边形MNCD是矩形，.MN CD,CN=DM,.PN=4-1-1=2,.MP=√32+22=√3， ·0M=3 、)PM-PO的最大值为3 M D B P N C 例3√3【解析】如解图，连接AN,PE.由题意得，EF垂直 平分AB,.AN=BN,由题意，得AB=BN,AN=AB=BN= 2,.△ABN为等边三角形，.∠ABW=60°.H是BW的 中点，E为AB的中点，由折叠可知PH=PE,.点P与 点Q重合时，PW+PH的值最小，此时PN+PH=PW+PE= EN.EN=VBN-BE=2-(22)=3,.PN+PH 的最小值是√3 针对训练312【解析】如解图，连接AP,AH.AB=AC= 13,△ABC的周长为36，.BC=36-2×13=10.:H是BC的 中点Bm=子C=5:△MBC是等膜三角形，AM1BC. .AH=√AB-BΠ=√I3-5=12:MN是线段AB的垂 直平分线点B关于直线MN的对称点为点A,PA=PB, .PB+PH=PA+PH≥AH,AH的长为PB+PH的最小值， .PB+PH的最小值为12 27小专题培优9隐形圆（辅助圆)模型 (2025.23) 模型1定点定长 构造思路 若动点到平面内某定，点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆孤 有共端点的三条等线段（如 如图，E为定点，F为线段BC上的动 图，OA=0B=OC) 点（不含点B),将△BEF沿EF折叠 情形 得到△B'EF,则B'E=BE,点B'的运动 轨迹为以点E为圆心，BE长为半径的 一段圆孤 理论依据 平面内到定，点的距离等于定值的所有，点构成的集合（圆的定义） 例1如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P是直线AB上的一个动点，AE=2,△APE沿PE 翻折形成△FPE,连接FC,则FC的最小值为 针对训练1如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠CBD=20°，∠BDC=30°，则∠BAD的 度数为 B B 针对训练1题图 针对训练2题图 针对训练2 (2025廊坊安次区模拟)如图，在正方形ABCD中，AB=√10，点E在边AD上，AE= 1,将线段AE绕点A旋转，得到线段AP,连接BP,CP,当∠ABP最大时，CP的长为 模型2定弦对定角(2025.23) 若C为动点，∠ACB的大小和AB的长固定，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆（或 构造思路 圆孤) 当∠C<90°时，点C在优孤 当∠C>90°时，点C在劣 当∠C=90°时，点C在半圆 情形 ACB上运动（不与点A,B重 上运动（不与点A,B重合） 孤AB上运动（不与，点A, 合) B重合) 图示 (1)在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周角相等； 理论依据 (2)90°的圆周角所对的弦是直径（圆周角定理及其推论） 18 例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2V3,BC=3.点P为△ABC内一点，且满足 PA+PC2=AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是 A.3 B.3W3 c.33 4 n35 2 针对训练3如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是直线BC,CD上的动点，且满足 BE=CF,连接AE,BF,交点为P,连接PD,则PD的最小值为 P B方 针对训练3题图 针对训练4题图 针对训练4 如图，△ABC为等边三角形，AB=2,点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB= ∠ACP,则△APC面积的最大值是 模型3四点共圆 若∠ACB+∠ADB=180°，则A,B,C,D四 构造思路 若∠ACB=∠ADB,则A,B,C,D四，点共圆 点共圆 图示 理论依据 圆内接四边形的对角互补 同孤所对的圆周角相等 例3如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OE⊥BD,交AD于点E,连接BE,若 ∠ABE=20°，则∠AOE的度数是 () A.10° B.15° C.20 D.30 例3题图 针对训练5题图 针对训练5 如图，AD,BE,CF为△ABC的三条高，且AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE的长 为 () 21 24 B.4 C. 5 D. 19 拓展模型4定角定高 背景 ∠APB=a(定角)，点P到直线AB的距离PD=h(定高) D 图示 结论 当AP=BP时，AB的长最小，△ABP的面积最小.口诀：定角又定高，等腰是最小 设⊙0是△ABP的外接圆，半径为r.过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OB,OP,则∠AOE= ∠BOE= 2∠A0B=∠APB=a,BE=r·sina,0E=r·cosa,AB=2BE=2r·sina.OP+ 证明 OE≥h(当P,0,E三，点共线时取“=”)，∴.r+r·cosa≥h,.r 1t+0sa当P,0,E三点共 线时r最小，此时AB的长最小，易知，此时△ABP的面积也最小 【技巧点拨】若证明△ABP的周长最小，则需要进行转化：在BA的延长线上取，点E,使得AE=AP, 在AB的延长线上取点F,使得BF=BP,则△ABP的周长=EF的长，∠EPF=90+2&,又转化为定 角定高求EF的最小值问题 针对训练6如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BD⊥AC于点D,BD=5,则AC的最小值 为 ,△ABC的面积的最小值为 针对训练6题图 针对训练7题图 针对训练7如图，在△ABC中，点A到边BC的距离为30，∠BAC=60°，则△ABC的周长的 最小值为 拓展模型⑤最大张角 已知点A,B是∠MOW的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动 问题 点，当点C在何处时，∠ACB最大 M 结论 当且仅当△ABC的外接圆⊙P与边OM相切于点C时，∠ACB最大 设C'是边OM上不同于，点C的任意一点，连接AC',BC',BC'交⊙P于 点D,连接AD,由圆周角定理可知∠ACB=∠ADB.由三角形内外角关 证明 0 B 系可知∠ADB>∠AC'B,.∠ACB>∠ACB,.当⊙P与边OM相切时， ∠ACB最大 针对训练8 如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O 出发沿OB方向行走.已知∠A0B=30°，MW=20M=40m,当观景视 角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP为 m. 20