小专题培优8 点圆、线圆最值模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

小专题培优8点圆、线圆最值模型 (2025.23) 模型1点圆距离最值 问题 已知平面内一定点A和⊙0上一动，点P,⊙O的半径为r,OA=d,求A,P两点之间距离的最值 情况 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 D 图示 0 A(P, 0 最小值 当点P在OA的延长线上 当点P与点A重合时，AP取 (即点P,处)时，AP取得最 当点P在OA上（即点P 得最小值0 处)时，AP取得最小值d-r 小值r-d 最大值 当，点P在AO的延长线上 当，点P在A0的延长线上 当点P在AO的延长线上 (即，点P2处)时，AP取得最 (即点P,处)时，AP取得最 (即点P,处)时，AP取得最 大值r+d 大值r+d 大值r+d 例1如图，正方形ABCD的边长为4，点P是以AB为直径的半圆O上一点，则CP的最小值 为 例1题图 针对训练1题图 针对训练1如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC的中点，以D为圆心，BD长为半径作 ⊙D,E是⊙D上一点，若AB=12,BC=10,则AE的最小值为 最大值为 模型2点圆角度最值(2025.23 类型 圆上一动，点、圆心与圆外一定点连线的夹角 圆上两动点与圆外一定点的连线的夹角 p 图示 P是⊙0上的动点，A是⊙0外的定点 P,Q是⊙0上的动点，A是⊙0外的定点 结论 当AP与⊙0相切时，∠PAO最大 当AP,AQ都与⊙0相切时，∠PAQ最大 16 例2如图，⊙0的半径为2，点A在圆外，且0A=4,P是⊙0上的动点，则 ∠PA0的度数最大为 o,此时AP的长为 0 模型3线圆距离最值 已知⊙0与直线1，M是⊙0上一动点，⊙0的半径为r,圆心0到直线l的距离为d,求点 问题 M到直线l的距离的最值 情况 直线1与⊙0相离 直线1与⊙0相切 直线1与⊙0相交 0. 图示 0 M M P(切点) 0, 0. 0, M 6 M M' 过点O作直线1的垂线，交 P(M) 当，点M为直线1与⊙0的交 最小值 ⊙0于点M,当，点M运动到 连接OP,当点M与，点P重 点（即，点M和M1'处）时，点 点M的位置时，点M到直线 合时，点M到直线1的距离 M到直线1的距离取得最小 取得最小值0 I的距离取得最小值d- 值0 【技巧点拨】若N是直线l上的动，点，则MN也在此处取得最小值，此时点N的位置为，点O 到直线1的垂线的垂足 M 最大值 过点0作直线1的垂线，其 过点O作直线1的垂线，其 反向延长线交⊙0于点M2, 连接P0并延长，交⊙0于 反向延长线交⊙0于点M2, 点M,当点M运动到，点M) 当点M运动到，点M,的位置 当点M运动到点M,的位置 的位置时，点M到直线1的 时，点M到直线I的距离取 时，点M到直线I的距离取 距离取得最大值2r 得最大值d+r 得最大值d+r 例3如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为√3，P为AB上一动点，过点P作⊙C 的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 B 例3题图 针对训练2题图 针对训练2（2025邯郸丛台区校级模拟)如图，直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相 切，圆心0在边AB上，若∠C=90°，AC=6,BC=8,P,Q分别是BC与半圆0上的动点，则 PQ的最大值和最小值之积是 () B.663 C127 D115 4 16 16 16 17小专题培优7“十”字模型 例√7【解析】如解图，过点G作GM⊥BC于点M,过点 F作FN⊥AB于点N,则四边形ABMG和四边形ADFN都 是矩形，.∠FWH=∠GME=90°，GM=AB,NF=AD.四 边形ABCD是正方形，.∴.AB=AD,.GM=NF..∠HOE= ∠G0F=90°，∠B=90°，∴.∠0HB+∠GEM=180°.又 ∠FHN+∠OIHB=180°，∴.∠GEM=∠FHN,∴.△GEM≌ △FHN,∴.GE=HF..正方形的边长为4，DG=3AG,E为 BC的中点，.AG=1,BE=2,.BM=AG=1,.ME=BE- BM=1..GM=AB=4,∴.GE=/GMP+ME=√JI7, .HF=√I7 B ME 1 2 ,【解析四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，BC= D=35.1B=3.m∠A0B=8-写乙08=0 ∠ABD=60°..AE⊥BD,.∠AFB=90°，∴.∠BAE=30°， cos30=23AF=AB cos30=33 ..AF=AB ,EF=AE- Ar 2 2.解：(1)BF与AE相等.理由如下： .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠D=90 ∴.∠BAE+∠DAE=90°. .·AE⊥BF,.∴.∠BAE+∠ABF=90° ∴.∠ABF=∠DAE. ∴.△ABF≌△DAE,∴.BF=AE (2)2【解法提示】如解图1，过点A作AM∥BC,过点C 作CM∥AB,两线相交于点M,延长BF交CM于点G,则四 边形ABCM是平行四边形.·∠ABC=90°，.□ABCM是 矩形.：BA=BC,.矩形ABCM是正方形，.AB=BC= CM,同(1)的方法，得△ABD≌△BCG,.CG=BD.:D是 Bc的点m=弓c=宁cwcG=寸-h AF_AB=2. AB/CM,△AFB∽△CFG,CFCG B M 解图1 解图2 (3)9 【解法提示】在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, AC=5:D是BC边的中点BD=子C=2如解图 2,过点A作ANBC,过点C作CN∥AB,两线相交于点N, 延长BF交CN于点P,则四边形ABCW是平行四边形 ·∠ABC=90°，·.☐ABCN是矩形，同(1)的方法，得 ∠BAD=∠CBP.:∠ABD=∠BCP=90°，.△ABDM △B0设0即品Q-号同(2)的方法。 8 acA1B华需n告享 Γ17 小专题培优8点圆、线圆最值模型 例125-2【解析】如解图，连接0P,0C,0C交半圆0 于点P八.0B三)AB=2,在Rt△0BC中，0C的 √OB+BC=25.CP≥0C-0P,.CP≥2W5-2,当点P 与点P'重合时，CP取得最小值25-2. A B D C 针对训练18；18【解析】当A,E,D三点在一条直线上 时，线段AE的长取得最值.：BC=10,D是边BC的中点， .BD=5.∠ABC=90°，.AD=√AB+BD=13.当点A, E在BC的同侧时，AE有最小值，最小值为AD-DE=13 5=8;当点A,E在BC的异侧时，AE有最大值，最大值为 AD+DE=13+5=18. 例230：2√3【解析】分析可知，当AP与⊙0相切时， ∠PA0的度数最大，如解图，连接OP,此时∠AP0=90. 0re2,01=4.in∠M08气n=Vom-0m- 2√3，.∠PA0=30° 例33【解析】如解图，连接CQ,CP,过点C作CH⊥AB 于点H.PQ是⊙C的切线，.CQ⊥PQ,PQ= √CP-CO=√Cp2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最 小值.△ABC为等边三角形，∠B=60°，CH=BC· sinB=25,.PQ的最小值为√/(25)2-3=3. 针对训练2B【解析】如解图，设半圆O与Rt△ABC的边 AC相切于点D,连接OD,过点O作OF⊥BC于点F,交半 圆0于点E.∠C=90°，AC=6,BC=8,AB= √AC+BC=10.直径为2的半圆O与Rt△ABC的边 AC相切于点D,.OD⊥AC,OD=1,.△AD0∽△ACB, A00D1 4,B0=35 .ABBC8,A0-5】 OF LBC. △5nA贸0-名0F-头当点P与 点F重合，点Q与点E重合时，PQ有最小值，最小值为 25 41s 21 4,根据圆外的点到圆上的点距离最大时，需经过 圆心，当点P与点B重合，且点Q也在线段AB上时， P0取得最大值1= 4,Q的最大值和最小值之积 为39x17663 416 D F P B 小专题培优9隐形圆（辅助圆）模型 例12√13-2【解析】如解图，连接CE.·P是直线AB 上的一个动点，AE=2,AE=EF=2,点F在以点E为 圆心，AE为半径的圆上运动，当点F在线段EC上时，FC 取得最小值..·在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,.CD=AB= 4,AD=BC=8,.DE=AD-AE=8-2=6.在Rt△CDE中，由 勾股定理得CE=√DE+CD=√6+4=2√3，.FC的 最小值为CE-EF=2√13-2. B 针对训练1100°【解析】：AB=AC=AD,.B,C,D三点 都在以点A为圆心，AB长为半径的圆上.：∠CBD=20°， ∠BDC=30°，∠CAD=2∠CBD=40°，∠BAC=2∠BDC= 60°，∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=100°. 针对训练25或√13【解析】由条件可知点P的运动轨 迹是以点A为圆心，1为半径的圆，.当BP与⊙A相切 时，∠ABP最大.如解图1，当点P在AB左侧时，根据题意 得，AE=AP=1,BP⊥AP.AB=√I0,.BP=√AB-AP=3, 过点P作PH⊥CB,交CB的延长线于点H,PH∥AB, .∠BPH=∠ABP.又∠APB=∠H=90°，.△BHP 013Bm=3V0 △m0即0 10 0CW=Bc+-1g丽在AP巾 PH=9 CP=√PT+C严=5；如解图2，当点P在AB右侧时，过点 P作PH⊥BC于点A,同理可得BH=0,PM=9V0 10 .CH=BC-BH-710 10 CP=√PI+C=√3.综上 所述，CP的长为5或√13 H B B H 解图1 解图2 例2D【解析】如解图，取AC的中点O,连接OP,BO. PA+PC2=AC2,∠APC=90°，.点P在以AC为直径 的半圆上运动.在△BPO中，BP≥BO-OP,.当点P在线 段B0上时，BP有最小值.O是AC的中点，∠APC= 26 0.P0=AO=CO=7AC=3.tm LBOC=3 5 .∠B0C=60°，.△C0P是等边三角形，.SAcm= 3 4 .0A=0C,∴.S△Ac=2S△cr= 3w3 2 B C 针对训练3√5-1【解析】在正方形ABCD中，AB=BC, (AB=BC, ∠ABC=∠BCD.在△ABE和△BCF中，了∠ABE=∠BCF, BE=CF. △ABE≌△BCF(SAS),∠BAE=∠CBF.∠CBF+ ∠ABF=90°，.∠BAE+∠ABF=90°，.∠APB=90°，.点 P在以AB为直径的半圆上运动.取AB的中点O,由图形 可知当O,P,D三点在同一直线上时，PD有最小值，如解 图.在正方形ABCD中，AB=2,.A0=OP=1.在 Rt△0AD中，0D=√AD+A0=√2+下=√5，.PD=0D -0P=√5-1. 针对训练4片【解析△ABC为等边三角形∠ABC马 ∠BAC=60°，AC=AB=2..·∠PAB=∠ACP,.∠PAC+ ∠ACP=60°，∠APC=120°，.点P的运动轨迹是AC, 如解图，过点P作PD⊥AC于点D,当O,P,B三点共线 时，PD长度最大，即△APC的面积最大，.PA=PC,AD= AC=L,∠PAC=∠ACP=30°，PD=AD:tan300=V3 1 3, 2x2x3 六△1C面积的最大值为4C,Pm=子×。 33 B 例3C【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.∠BAE=90°. OE⊥BD,.∠BOE=90°，.四边形AB0E对角互补， ∴.A,B,0,E四点共圆，.∠AOE=∠ABE=20° 针对训练5D【解析】AD,BE,CF为△ABC的三条高， 易知B,C,E,F四点共圆，∠BEF=∠BCF.又LAEF+ ∠BEF=90°，∠FBC+∠BCF=90°，.∠AEF=∠FBC AF EF 3 又∠EAF=∠BAC,△AEF∽△ABC,÷ACBC-5, 3 4 即cos∠BAC= 5,sin LBAC=5在胜△ABE中， BE=AB·sin∠BMC=6x4=24 55