小专题培优6 对角互补模型&小专题培优7“十”字模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

小专题培优6对角互补模型 模型特点 在四边形中，存在一组对角互补.如图，∠AOB+∠DCE=180° 方法2：作等角 方法1：作垂线 在BE上找一点F,连接CF,使得∠ECF= 解题策略 过点C分别作OA,OB的垂线，垂足 ∠DCO(当CD=CE时，也可作等线段：在OB 分别为G,H 上截取EF=OD) 图示 D D O HE B 0 EF B (1)△CGD∽△CHE; (1)△CDO∽△CEF; 结论 (2)当CD=CE时，△CGD≌△CHE (2)当CD=CE时，△CDO≌△CEF 例如图，在等边三角形ABC中，D为BC边的中点，点E,F分别是AB,AC边上的点，且 ∠EDF=120°.若∠BDE=45°，DF=6,求BE的长. /III/I针对训练II/I/ 1.如图，已知∠ABC+∠ADC=180°，AD=CD,求证：BD平分∠ABC. 2.多解法如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点E在对角线AC上，连接BE,作EF⊥BE, 垂足为E,EF交DC于点F,则 BE 14 小专题培优7 “十”字模型 类型 过顶点 不过顶点 【拓展】若在三角形中出 EM 现“十”字，可以先构造特 A 正方形 常见 H 殊四边形，如： 中的 模型 “十” B B E 字模型 △ABE≌△BCF, △EFM≌△HGN, △DAN≌△CDM, 结论 AE=BF EF=GH EF=GH K D K D 矩形中 常见 的“十” 模型 MP- C B 字模型 B B H 结论 △ABW∽△DAM △EFM∽△KHN △ABN∽△DAM 从而得到△BCD∽△CAG 例如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为BC的中点，G,H分别为AD,AB边上的点，且 DG=3AG,∠G0F=90°，则HF的长为 AG D 0 H /////1针对川练////// 1.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=3√3，过点A作BD的垂线，交BD于点F,交BC于点 E,则EF的长为 2.（1)如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE,那么BF与AE相等吗？为什么？ (2)如图2，在Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E,交AC 于点F,则AF:FC的值为 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E,交AC于点F, 若AB=3,BC=4,则CF的长为 图 图3 15(2)解：：△ADE是以AE为底的等腰三角形，.AD=DE. 由(1)知△ABD∽△DCE,∴.△ABD≌△DCE, .∴.CD=AB=6. 1.证明：：△ABC是等边三角形 .∠BAC=60°，AB=CA,∠BAF+∠EAC=60°. .∠CED=∠BFD=60° ∴.∠AEC=∠BFA=180°-60°=120°. .∴.∠BAF+∠FBA=180°-∠AFB=60°， ∴.∠EAC=∠FBA L∠AEC=∠BFA. 在△ACE和△BAF中 ∠EAC=∠FBA. AC=BA. .∴.△ACE≌△BAF(AAS). 2.(1)证明：.AB=AC,.∠B=∠C ∠FDE=∠B,∴.∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE, ∴.∠BFD=∠CDE. 又：∠B=∠C,∴△BDF∽△CED. (2)解：由(1)可知△BDF∽△CED 0需即子=号 3.解：如解图，作DH⊥BC交BC的延长线于点H. .AB⊥BC,DH⊥BC,PA⊥PD ∴.∠B=∠APD=∠H=90°， ∴.∠A+∠APB=90°，∠APB+∠DPH= 90°，∴.∠A=∠DPH=24 又.PA=PD,.△ABP≌△PHD (AAS), .AB=PH,PB=DH. .'AB=BC,∴.BC=PH,∴，PB=CH=DH,∴.∠DCH=45 .·∠DCH=∠DPC+∠PDC, .∠PDC=45-24°=21° 小专题培优5手拉手（旋转)模型 例证明：∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED, ∴.AB=AC,AE=AD ·∠BAC=∠DAE. ∴.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD .△ABE≌△ACD(SAS),.BE=CD. 1.60【解析】：△ABC和△CDE都是等边三角形，.AC= BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°，÷.∠ACB+∠BCD= ∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE (SAS),.∴.∠CAD=∠CBE.又∠AMC=∠BIMP,∴.∠APB= ∠ACB=60° 2.(1)证明：.四边形ABMN和四边形ACDE是正方形 .AN=AB,AC=AE,∠NAB=∠CAE=90°. ·.∠NAC=∠NAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE, .∠NAC=∠BAE,∴.△ANC≌△ABE(SAS), .∠ANC=∠ABE. (2)解：如解图，设NC与AB的交点为O B .四边形ABMN是正方形， .∠N4B=90°，.∠ANC+∠AON=90°. .·∠BOP=∠AON,∠ANC=∠ABE, 24 .∴.∠ABP+∠BOP=90°，.∴.∠BPC=∠ABP+∠BOP=90° Q为BC的中点，BC=6P0=之BC=3 小专题培优6对角互补模型 例解：如解图，连接AD,过点D分别作DG⊥AB于点G, DH⊥AC于点H. .·△ABC为等边三角形，·.∠BAC=60° .∠EDF=120°，∴.∠EAF+∠EDF=180°， ·.∠AED+∠AFD=180° .:∠AED+∠DEG=180°，∴.∠DEG=∠DFH. D为BC边的中点，.AD平分∠BAC,DG=DH I∠DEG=∠DFH. 在△DEG和△DFH中，了∠DGE=∠DHF, DG=DH. .∴.△DEG≌△DFH(AAS),∴.DE=DF=6. 过点E作EP⊥BC于点P. ∠BDE=45..EP=)DE=32. ∠B=60BB=2 -EP=2w6. 3 BP D C L.证明：如解图，延长BC到点E,使CE=AB,连接DE. .∠ABC+∠ADC=180°，∴.∠4+∠A=180°. 又·∠1+∠4=180°， D ∴.∠A=∠1. 又.·AD=CD .△DAB≌△DCE(SAS), E ∴.∠2=∠E,BD=DE 4 ·∠3=∠E=∠2， 3 .BD平分∠ABC B 2. ,【解析】解法1：如解图1，过点E分别作EM⊥BC于 点M,EN⊥CD于点N,则四边形EMCN是矩形，.EM= CN..·四边形ABCD是矩形，.∠BCD=90°..·EF⊥BE, .∠EBC+∠EFC=360°-∠BCD-∠BEF=180°.又： ∠EFC+∠EFN=18O°，∴.∠EFN=∠EBC.又∠ENF= ∠EMB,.△ENF∽△EMB,∴ EF ENEN EB EM-C示：ENL CD, AD1GDEN/AD,△CNE∽△CDA,X-A0-=三 CN CD 3 EF 5 EB 3 B M 解图1 解图2 解法2：如解图2，连接BF,取BF的中点O,连接OE,OC. .:四边形ABCD是矩形，EF⊥BE,.∠BEF=∠BCF=90° .OE=OB=OF=OC,B,C,F,E四点共圆，∠EBF= ∠ECF=∠ACD心tan∠EBF=tan∠ACD,BE=CD3: 小专题培优7“十”字模型 例√7【解析】如解图，过点G作GM⊥BC于点M,过点 F作FN⊥AB于点N,则四边形ABMG和四边形ADFN都 是矩形，.∠FWH=∠GME=90°，GM=AB,NF=AD.四 边形ABCD是正方形，.∴.AB=AD,.GM=NF..∠HOE= ∠G0F=90°，∠B=90°，∴.∠0HB+∠GEM=180°.又 ∠FHN+∠OIHB=180°，∴.∠GEM=∠FHN,∴.△GEM≌ △FHN,∴.GE=HF..正方形的边长为4，DG=3AG,E为 BC的中点，.AG=1,BE=2,.BM=AG=1,.ME=BE- BM=1..GM=AB=4,∴.GE=/GMP+ME=√JI7, .HF=√I7 B ME 1 2 ,【解析四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，BC= D=35.1B=3.m∠A0B=8-写乙08=0 ∠ABD=60°..AE⊥BD,.∠AFB=90°，∴.∠BAE=30°， cos30=23AF=AB cos30=33 ..AF=AB ,EF=AE- Ar 2 2.解：(1)BF与AE相等.理由如下： .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠D=90 ∴.∠BAE+∠DAE=90°. .·AE⊥BF,.∴.∠BAE+∠ABF=90° ∴.∠ABF=∠DAE. ∴.△ABF≌△DAE,∴.BF=AE (2)2【解法提示】如解图1，过点A作AM∥BC,过点C 作CM∥AB,两线相交于点M,延长BF交CM于点G,则四 边形ABCM是平行四边形.·∠ABC=90°，.□ABCM是 矩形.：BA=BC,.矩形ABCM是正方形，.AB=BC= CM,同(1)的方法，得△ABD≌△BCG,.CG=BD.:D是 Bc的点m=弓c=宁cwcG=寸-h AF_AB=2. AB/CM,△AFB∽△CFG,CFCG B M 解图1 解图2 (3)9 【解法提示】在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, AC=5:D是BC边的中点BD=子C=2如解图 2,过点A作ANBC,过点C作CN∥AB,两线相交于点N, 延长BF交CN于点P,则四边形ABCW是平行四边形 ·∠ABC=90°，·.☐ABCN是矩形，同(1)的方法，得 ∠BAD=∠CBP.:∠ABD=∠BCP=90°，.△ABDM △B0设0即品Q-号同(2)的方法。 8 acA1B华需n告享 Γ17 小专题培优8点圆、线圆最值模型 例125-2【解析】如解图，连接0P,0C,0C交半圆0 于点P八.0B三)AB=2,在Rt△0BC中，0C的 √OB+BC=25.CP≥0C-0P,.CP≥2W5-2,当点P 与点P'重合时，CP取得最小值25-2. A B D C 针对训练18；18【解析】当A,E,D三点在一条直线上 时，线段AE的长取得最值.：BC=10,D是边BC的中点， .BD=5.∠ABC=90°，.AD=√AB+BD=13.当点A, E在BC的同侧时，AE有最小值，最小值为AD-DE=13 5=8;当点A,E在BC的异侧时，AE有最大值，最大值为 AD+DE=13+5=18. 例230：2√3【解析】分析可知，当AP与⊙0相切时， ∠PA0的度数最大，如解图，连接OP,此时∠AP0=90. 0re2,01=4.in∠M08气n=Vom-0m- 2√3，.∠PA0=30° 例33【解析】如解图，连接CQ,CP,过点C作CH⊥AB 于点H.PQ是⊙C的切线，.CQ⊥PQ,PQ= √CP-CO=√Cp2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最 小值.△ABC为等边三角形，∠B=60°，CH=BC· sinB=25,.PQ的最小值为√/(25)2-3=3. 针对训练2B【解析】如解图，设半圆O与Rt△ABC的边 AC相切于点D,连接OD,过点O作OF⊥BC于点F,交半 圆0于点E.∠C=90°，AC=6,BC=8,AB= √AC+BC=10.直径为2的半圆O与Rt△ABC的边 AC相切于点D,.OD⊥AC,OD=1,.△AD0∽△ACB, A00D1 4,B0=35 .ABBC8,A0-5】 OF LBC. △5nA贸0-名0F-头当点P与 点F重合，点Q与点E重合时，PQ有最小值，最小值为 25