小专题培优1 与中点有关的常见辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

一、小专题培优 小专题培优1与中点有关的常见辅助线作法 (10年5考) 作法1见直角三角形斜边中点，连斜边中线 例1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=50°，D是BC的中园方法解读 点，延长BA至点E,使得AE=BD,连接DE,则∠BED的度数【图示】 为 【条件】Rt△ABC,D是斜 针对训练1如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O边AB的中，点 为BC的中点，BD,CE相交于点A,∠BAC=120°.求证：DE=OE. 【辅助线作法】连接CD, 【结论】CD=AD=BD= 1 8 作法2见等腰三角形底边中点，考虑三线合一 例2如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,M为BC边的中点，目方法解读 MW⊥AC于点N,则MN的长为 【图示】 【条件】AB=AC,D是底 针对训练2如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的 边BC的中点 3√ 中点，E是AB的四等分点，且靠近点A,若S△DE= 8,求BC 【辅助线作法】连接AD. 【结论】AD BC, 的长 AD ∠BAC. 作法3已知一般三角形中点，考虑中位线 例3如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D,E分别为边AB,园方法解读 BC的中点，EF⊥AC于点F,G为EF的中点，连接DG,则DG的 情形1：有两个中点 长为 【图示】 D2- D C或B 【条件】D,E分别是AB, AC的中点 针对训练3如图，在四边形ABCD中，E,F分别是DC,AD的中 【辅助线作法】连接DE 点，EF⊥AB.若BC=13,AB=5,则EF的长为 构造中位线，或连接BC A.6 B.5 C.4 D.3 构造含中位线的三角形 情形2：有一个中点 针对训练4多解法如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为边AC的 【图示】 中点，点E在边BC上，连接DE.若AB=4,∠DEC=60°，求DE 的长 【条件】D是AB的中点 【辅助线作法】过，点D作 DEBC交AC于点E. 【结论】DE∥ DE= BC, △ADE∽ 1 SAADE=SAANCG 【拓展】也可在三角形外 作平行线，如： 2 作法4已知过中点的垂线，考虑垂直平分线 例4如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠BCA=75°，AC=8cm,D是园方法解读 BC的中点，且DE⊥BC,则BE的长是 【图示】 D 针对训练5(2024石家庄十八县二模)如图，点E是△ABC的外 0 心，P,Q分别是AB,AC的中点，连接EP,EQ,分别交BC于点F, 【条件】D是BC的中点， D,若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为 DE⊥BC. 【辅助线作法】连接BE. 【结论】BE= ED平分∠ 作法5遇弦（或孤)的中点，想垂径定理及圆周角定理 例5如图，AB是⊙O的直径，E是弦CD的中点，若BE=CD=8, 园方法解读 则⊙0的半径是 情形1：弦的中点 【图示】 A.5 B.4 C.3 D.2 B CE 【条件】FC是⊙O的直 径，E是弦AB的中点. 针对训练6如图，点A,B,C,D在⊙0上，A为BC的中点，OA交 【辅助线作法】连接AO, 弦BC于点E.若∠ADC=30°，AE=1,求BC的长 【结论】AE= FC⊥ AE2+ =0A2 情形2：弧的中点 【图示】 【条件】C是AB的中，点 【辅助线作法】连接OC 交AB于点E 【结论】AE= AC= ,OC⊥ ∠ADC= ∠AOC 3二轮专顶突破 一、小专题培优 小专题培优1与中点有关的常见辅助线作法 9an.g ，解得BD=(负值已舍去). 例120°【解析】如解图，连接AD.∠BAC=90°，.AD= .BC=2BD=25. CD=BD,'.∠DAC=∠C=50°，.∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 140°.AE=BD,AD=BD,.AE=AD,.∠BED=∠ADE= 作法3【方法解读】BC;2;△ABC 180°-LDAE-20. 例3 19 4 【解析】如解图，连接DE.·在边长为2的等边 三角形ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，∠C=60°， DE是△ABC的中位线，BD=BE=EC=1,DE=2AC=1, DEAC.EF⊥AC,∠C=60°，·LFEC=30°，∠DEF= B D 针对训练1证明：如解图，连接0D. LBC=0PC=G=分Ef=vcC-号 ·∠BDC=∠BEC=90°，0为 BC的中点， G为F的中点6c=G=VeBC.四 4 .∴.0D=OE=0B=0C ∴.∠CBA=∠BDO. ∠BCA=∠CEO. ∠BAC=120°， ∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60° .·∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ ∠BDO=2∠CBA, 针对训练3A【解析】如解图，连接AC.E,F分别是 .∠B0E+∠C0D=2(∠BCA+∠CBA)=2×60°=120°， .∠D0E=180°-120°=60°， c,AD的中点F/C,EP=号4C又BP1 AB..AGL ∴.△DOE是等边三角形， AB,.∠BAC=90°.在Rt△ABC中，AC=√BC-AB=12, .DE=OE. 作法2【方法解读】上；平分 ∴.EF= 24C=6 例212 【解析】如解图，连接AM.AB=AC,M为BC的 中点AM .CM,1=G1=子C=3,在△MBM中，AB= B 5,BM=3,AM=√AB-Br=4又：SAe=2MN· 针对训练4解：解法1：如解图1，过点D作DH LBC于点 2A1·CM,MN=-AM.CM12 H,则DH∥AB,.△CDH∽△CAB, AC= AC ABCA=2 DH=AB=2 DH CD 1 21 DH 43 .∠DEC=60°，∴.DE sin60°3 B4 M D 针对训练2解：如解图，连接AD. B .·AB=AC,∠BAC=120°， E EH ∴.∠B=∠C=30°. 解图1 解图2 又D是BC的中点， B 解法2：如解图2，过点A作AK∥DE交CB的延长线于 ∴.AD⊥BC, 点K 六AD=BD·tanB= .△CDE∽△CAK,∠K=∠DEC=60°， -BD 3 C2,4K=4B=85 DEC 01 sin60°3， 六Sam=2BD:AD= 35 1 .DE=- E是AB的四等分点，且靠近点A,S△E= 3 作法4【方法解读】CE:BEC 4 SABD=- 例4l6cm【解析】如解图，连接CE.在Rt△ABC中， 2 ∠A=90°，∠BCA=75°，.∠B=90°-∠BCA=15°.DE 20 垂直平分BC,.BE=CE,.∠BCE=∠B=15°，.∠ACE= 13 ∠BCA-∠BCE=60°.在Rt△AEC中，∠ACE=60°， 分∠BAC,AD LBD,AE=AB=I3.AC=2C是AE .∴.∠AEC=90°-∠ACE=30°，.CE=2AC=16(cm)..·BE= 13 的中点，∴.在Rt△ADE中，CD= CE,.∴.BE=16cm. 2AE=2 E E B 针对训练524【解析】如解图，连接AF,AD.:点E是 △ABC的外心，P,Q分别是AB,AC的中点，..EP⊥AB 针对训练2解：如解图，延长AW交BC于点D. EQ LAC,..AF=BF=5,AD=DC=4.DF=3,..DF2+ .·CN⊥AW,.∴.∠ANC=∠DNC=90° AD=AF,∴.∠ADF=90°..·BC=BF+DF+DC=5+3+4= 又.∠ACN=∠DCN,CN=CN, 1 ∴.△ANC≌△DNC(ASA),.∴.CD=AC=3,AN=WD. 12,Sa4c=2BC·AD=2×12x4=24 又M是边AB的中点， .MN是△ABD的中位线 3BD=2N=2x2=4 551 459 :.△ABC的周长=AC+AB+BC=3+5+3+ 5-5 作法5【方法解读】BE;AB;0E;BE;BC:AB;2 例5A 针对训练6解：连接OC B 作法3【方法解读】等腰 A为BC的中点， 例310：5【解析】：OP平分∠AOB,.∠AOP=∠BOP. ∴.OA⊥CB,CE=BE PC∥OB,∠CPO=∠BOP,∠CP0=∠AOP,PC= ∠ADC=30°，∠A0C=60°， OC.PC=10,.OC=10.如解图，过点P作PE⊥OA于点 设O0的半径为r,在Rt△COE中，E- =c0s60°= 1 E.PD⊥OB,OP平分∠AOB,PD=PE.PC∥OB, 2 ∠AOB=30°，∠ECP=∠AOB=30°.在Rt△ECP中， r=2,即0C=2,0E=1, 1 ∴.CE=/0C2-0E2=3. PE-2PC=5*PD-PE=5. .·BC=2CE=23. 小专题培优2与角平分线有关的常见辅助线作法 作法1【方法解读】PB:△BOP 例1C【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F.AD D B 是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DE=DF=2.又：S△Bc= 针对训练3解：解法1：如解图1，过点D作DE∥AB交BC 1 S△m+S△ACD=9,AC=4,. 1 于点E,则∠ABD=∠BDE, 2 ×4×2=9,解得 AB=5. B E 解图1 B 针对训练1证明：如解图，过点E作EM⊥BC于点M. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC .∴.∠BDE=∠DBC,∴.BE=DE 设BE=DE=a,则CE=8-a. DE∥AB,△CDE△CAB, 需微时号解得 8 16 CD CE D ·BE=DE=3,CE=3ADBE2 .·∠A=∠D=90°，∴.DA⊥AB,DA⊥CD. 解法2：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点 .·BE平分∠ABC,.AE=ME F,则∠FAB=∠ABD,∠F=∠DBC E是AD的中点，.AE=DE=ME. .DA⊥CD,EM⊥BC.CE平分∠DCB. 作法2【方法解读】等腰；OB;△BOP 例25【解析J如解图，延长BD,C交于点E:AD平 B 解图2 21