第7章 三角函数（复习课件）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了三角函数的核心知识，涵盖任意角与弧度制、三角函数概念、诱导公式、图像与性质及应用，通过单元知识图谱将各考点逻辑串联，构建起“概念-公式-性质-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲+题型剖析+针对训练”的分层复习策略，如通过“终边相同角判断”“三角函数化简求值”等例题培养学生的数学推理能力，结合弹簧振子、摩天轮等实际问题发展模型意识。这种设计既帮助学生巩固基础，又提升综合应用能力，也为教师提供精准复习的教学支持。

单元复习课件 第七章 三角函数 苏教版必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解任意角、弧度制的概念.掌握任意角三角函数的定义,熟记特殊角的三角函数值.掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式,能够运用公式进行化简求值.掌握三角函数的图象及性质. 3.应用三角函数的知识解决实际问题的建模过程.提升抽象概括、逻辑推理和数学应用能力. 2.能够熟练进行角度制与弧度制转化.掌握任意角的三角函数的定义，熟练应用同角三角函数的基本关系式，诱导公式的推导与应用.掌握三角函数的图象与性质，以及函数图象的平移、伸缩变换. 单元学习目标 单元知识图谱 如图，①始边：射线的_______位置OA； ②终边：射线的________位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角”或“∠”或 “∠AOB ”，可以简记成“” 角可以看成__________绕着它的_______旋转所成的图形． 考点一 任意角 端点 起始 1.角的概念 2.角的表示 一条射线 终止 考点串讲 考点一 任意角 按旋转方向不同分为　　、　　、　　. 按终边位置不同分为　　　和轴线角. 正角 负角 零角 象限角 3.角的分类 4.角的运算 (1)角的相等 如果它们的________________且____________，那么就称α＝β. (2)角的加法 设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是_____． 旋转量相等 α＋β 旋转方向相同 考点串讲 考点一 任意角 (3)相反角 把射线OA绕_______按不同方向旋转_________所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)角的减法 角的减法可以转化为角的加法，有_______________ 端点O 相同的量 α－β＝α＋(－β)． 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合___________________________. 5.终边相同的角 考点串讲 ①定义：以______作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作________． ①定义：用______作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的______为1度的角，记作1°. 考点二 角度值与弧度制 度 弧度 半径长 1.角度制 2.弧度制 考点串讲 考点二 弧度制 3.角度值与弧度制 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 ____ ____ ____ ____ ____ π 一些特殊角的度数与弧度数的对应表 考点串讲 设是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为，则 比值_____叫做α的正弦，记作_______，即_________. 比值_____叫做α的余弦，记作_______，即_________. 比值_________叫做α的正切，记作_______，即_________. ,,分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数 .以上三种函数都称为的三角函数. 考点三 三角函数概念 1.任意角的三角函数 考点串讲 考点三 三角函数的概念 有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. 有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线. 用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图： 2.三角函数线 考点串讲 考点四 同角三角函数关系 (1)平方关系： . (2)商数关系： . sin2α＋cos2α＝1 同角三角函数关系 考点串讲 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 ______ ______ _____ _____ _____ 余弦 ______ _____ ______ _____ ______ 正切 _____ ______     口诀 奇变偶不变，符号看象限 考点五 诱导公式 三角函数的诱导公式 －sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α －tan α －tan α 考点串讲 考点六 三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，____________，(2π，0)． (2)余弦函数的图象中，五个关键点是：(0，1)，，____________，，(2π，1)． 考点串讲 考点六 三角函数的图象与性质 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象       定义域 R R 考点串讲 考点六 三角函数的图象与性质 值域 _________ _________ ___ 周期性 ______ ______ ___ 奇偶性 _________ _________ 奇函数 递增区间 [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 [2kπ－π，2kπ] 考点串讲 考点六 三角函数的图象与性质 递减区间 _________________ ______________   对称中心 __ ______________ 对称轴方程 ______________ _________   [] (π，0) 考点串讲 考点六 三角函数的图象与性质 2.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0) |φ| A A 考点串讲 考点七 三角函数的应用 简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝_____ f＝ ωx＋φ φ 考点串讲 1.下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 题型一 任意角 C 解：终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误； 终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误； 因为在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确； 小于90°的角可以是零角，也可以是负角，D错误．故选C. 题型剖析 2.下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 D 题型一 任意角 解为第一象限角，显然不是锐角，A错误； 为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误； 与的终边相同，C错误； 两角相等终边相同，D正确． 故选：D 针对训练 1.列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． B 题型二 终边相同角 解：与的终边相同的角为． 故选：B 针对训练 题型二 终边相同角 2.若与的终边关于直线对称，且，则 ． 解：如下图所示：设与的终边上各有一点，直线第一象限内的部分上有一点， 因为，所以， 所以， 所以， 由终边相同的角的概念可知， 故答案为：． 针对训练 题型三 区域角 1.已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 解：终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是 故答案为： 针对训练 题型四 角度值与弧度制互换 1.把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1），是第四象限角； （2），是第二象限角； （3），是第三象限角； （4），是第一象限角． 针对训练 题型四 角度值与弧度制互换 2.在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________(用弧度表示)． 针对训练 1.在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称．若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型五 三角函数的概念 解：角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点， 故， 故选：B 针对训练 2.如果角α的终边在直线上,则sin α=(　　) 题型五 三角函数的概念 针对训练 题型五 三角函数的概念 3.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点，且，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值. 针对训练 题型五 三角函数的概念 针对训练 题型六 三角函数的化简与求值 1.已知． （1）化简； （2）若为第三象限角，且，求的值． 解：（1） 即 （2）由，可得．因为为第三象限角， 因此，故． 针对训练 题型六 三角函数的化简与求值 (1)化简f(α)； 针对训练 题型六 三角函数的化简与求值 (3)由 又(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α 又,即 . 针对训练 题型六 三角函数的化简与求值 针对训练 题型六 三角函数的化简与求值 针对训练 题型七 三角函数的图象与性质 针对训练 题型七 三角函数的图象与性质 针对训练 题型七 三角函数的图象与性质 针对训练 题型七 三角函数的图象与性质 2.已知函数 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围． 针对训练 题型七 三角函数的图象与性质 (2)将的图象向左平移3(π)个单位长度，得 再将的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得的图象． 作函数在区间上的图象，作直线y＝a． 根据图象知，实数a的取值范围是 针对训练 题型八 三角函数的应用 针对训练 题型八 三角函数的应用 针对训练 1.任意角与弧度制 任意角的概念，象限角与区间角 如何进行任意角与弧度制的转化 2.三角函数的概念 三角函数的概念，同角间的基本关系式，进行简答的计算 课堂总结 3.诱导公式 诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 利用诱导公式进行化简、求值 4.三角函数的图象与性质 “五点作图法”作正弦、余弦函数的图象 正弦、余弦、正切函数的图象与性质及其应用 三角函数模型的应用 课堂总结 感谢聆听! eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) eq \f(π,2) 角α的弧度数公式 |α|＝______ 角度与弧度的换算 ＝tan α x＝kπ＋ 解：因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z), 当k＝0时，θ＝72°＝eq \f(2π,5)；当k＝1时，θ＝432°＝eq \f(12π,5)，所以在[0，4π]中与72°角终边相同的角有eq \f(2π,5)，eq \f(12π,5). eq \f(2π,5)，eq \f(12π,5) A.或- B.或- C.或- D. 解：由题意知,α的终边在第二或第四象限,若角α的终边在第二象限, 则在α的终边上任意取一点(-1,2),则sin α=. 角α的终边在第四象限,则在α的终边上任意取一点(1,-2),则sinα==-. 综上,可得sin α=±,故选C. 解：依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝eq \r(－\r(3)2＋y2)，∴sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(3＋y2))＝eq \f(\r(3),4)y． ∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝eq \f(7,3)， ∴y＝±eq \f(\r(21),3)．∴点P在第二或第三象限． 当点P在第二象限时，y＝eq \f(\r(21),3)，cos α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,4)，tan α＝－eq \f(\r(7),3)． 当点P在第三象限时，y＝－eq \f(\r(21),3)，cos α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,4)，tan α＝eq \f(\r(7),3)． 4.若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋eq \f(3,cos α)的值． 解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|． 当k>0时，r＝eq \r(10)k． ∴sin α＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,cos α)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)． ∴10sin α＋eq \f(3,cos α)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0． 当k<0时，r＝－eq \r(10)k． ∴sin α＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,cos α)＝eq \f(－\r(10)k,k)＝－eq \r(10)． ∴10sin α＋eq \f(3,cos α)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0． 综上，10sin α＋eq \f(3,cos α)＝0． (2)若α＝－，求f(α)的值. 2.已知f(α)＝. (3)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； 解：（1）f(α)＝＝sin α·cos α. （2）∵α＝－＝－6×2π＋， ∴＝cos ·sin ＝×＝. 3.已知α是第三象限角,f(α)=. (1)化简f(α); (2)已知f(α)=-,求cos α-sin α的值. 解： (1)f(α) tan α. (2)由(1)f(α)=-tan α=-,则tan α=, ∵α是第三象限角, ∴α=(2k+1)π+,k∈Z, 则sin α=sin[(2k+1)π+]=-sin=-, cos α=cos[(2k+1)π+]=-cos=-, ∴cos α-sin α=. 1.已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋1ω>0，A>0,0<φ<eq \f(π,2)的周期为π， ，且f (x)的最大值为3. (1)写出f (x)的表达式； (2)求f (x)在区间 上的最大值和最小值． (3)写出函数f (x)的对称中心，对称轴方程及单调区间； 解：(1)∵T＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2. ∵f (x)的最大值为3，∴A＝2.∴f (x)＝2sin(2x＋φ)＋1. ∵ ＝eq \r(3)＋1，∴2sin ＋1＝eq \r(3)＋1，∴cos φ＝eq \f(\r(3),2). ∵0<φ<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).∴f(x)＝2sin ＋1. (2)当0≤x≤eq \f(π,2)时，eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1， ∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为3，最小值为0. 解：(3)由f(x)＝2sin ＋1， 令2x＋eq \f(π,6)＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，∴对称中心为 (k∈Z)． 由2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)． 由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)， ∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)． 由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)， ∴f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)． 解：(1)令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z． 所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z． $