第5章 第5节 正方形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

I∠ABN=∠CDM, 在△ABN和△CDM中 AB=CD. N∠BAN=∠DCM. ∴.△ABN≌△CDM(ASA),.AN=CM,∠ANB=∠CMD. ∴.∠ANM=∠CMN,.AN∥CM, .四边形AWCM为平行四边形 判定依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.145.甲、丙 第三节矩形 ①平行且相等②直角③相等④2⑤两对角线的交点 ⑥AB·BC⑦直角⑧直角⑨相等 1(1)50:50:80:(2)①10：5：②28；48：312：④24 2.53.C 4.选择①②均可，证明略. 5.(1)全等：①△BAC≌△EAC:②∠BAC=∠EAC,∠BCA= ∠ECA,∠B=∠E:③AB=AE,CB=CE: (2)等腰：(3)(4)①14：2以点C为圆心，BC长为半 径的圆弧：2√4T-10:(5)菱；12+25 第四节菱形 ①相等②相等③垂直平分④平分⑤2 ⑥两对角线的交点⑦24C,BD⑧邻边⑨相等 ①垂直①垂直平分 1(00,(2y05:20:24:@号4③70号 5 2.C 3.(1)AD=BC.理由略.(2)证明略. 4.（1)∠BAD的平分线和∠ABC的平分线：AF=AB,BE= AB:BD的垂直平分线. (2)4.证明略. (3)答案不唯一，以下两种作法均可 第五节正方形 ①平行②相等③直角④垂直平分⑤平分⑥45° ⑦45°⑧4⑨两对角线的交点⑩1：2①相等 2直角3相等④直角⑤垂直6相等⑦AC=BD 8AC⊥BD 1.(1)90:45:(2)67.5:22.5: (3)①8√2：42：②32：16：③4√2 2.证明略 3.A 4.(1)证明略.(2)80：(3)90；(4)不可能 5()A:(2)正方形：22；76.2-月 7(1)全等：相等：(2)：(3)：(43，(5)4 8 第六章圆 第一节圆的相关概念与性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧圆心⑨圆上⑩圆心①圆心②平分B平分 ④垂直5平分6BM⑦1⑧一半9相等②①直角 ①直径②ADC8号2490雪互补函180° 1.D2.乙 3.(1)①A.②证明略.(2)C 4.(1)B:(2)①4：3：2：8：②32：(3)535.8 6.(1)90°；64°；64°；(2)64°：32°7.2 8情况-解答过程：∠ACB=2∠A0B=30 情况二解答过程：如解图，在弦AB所对的优弧上取一点 1 C,连接AC,BC,则∠ACB=2∠40B=30°，∠ACB= 180°-∠AC'B=150° 30°或150° C B 9解答过程略.万-或+！ 2 2 10.情况一解答过程：连接0C,则0D=√0C2-CD=1, ..AD=0A-OD=1...AC=VAD+CD=2. 情况二解答过程：连接0C,则0D=√OC2-CD=1, ..AD=0A+OD=3,..AC=AD+CD*=23. 2或2√3 第二节与圆有关的位置关系 ①<②=③<④相切⑤=⑥1⑦>⑧垂直 ⑨半径0一个①垂直2半径B一个④PB 5∠BW了角平分国10B 2①0E ①0F(①@的答案可调换)2垂直平分32 40B50C(②④5的答案可调换) 1(1)圆上；圆外；圆内；相交：(2)相切：相离 2.(1)4:(2)2:(3)2或4 3.证明：(1)连接0C,如解图1. OA=0B,C为AB的中点，.0C⊥AB. 又：0C是⊙0的半径， .直线AB是⊙0的切线. 0 B D 解图1 解图2 (2)过点O作OD⊥AB于点D,如解图2.第五节 正方形 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：八下第十八章P58~P60:冀教：八下第二十二章P147~P149:北师：九上第一章P20~P24. 知识点1)正方形的性质（重点） 性质 (正方形具有平行四边形、矩形、 几何语言 菱形的所有性质) 对边① AB∥CD,AD∥BC 边 四条边都② AB=BC=CD=AD 角 四个角都是③ ∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线相等且互相④ ,并 AC=BD,OA=OB=OC=OD,AC LBD: 对角线 且每条对角线⑤ 一组 对角线与四条边的夹角均为⑥ 对角 如∠ODA=⑦ 既是轴对称图形，有⑧ 条对称轴， 对称性 又是中心对称图形，对称中心是⑨ 周长、面积 C=4AB;SAR-2AC 【特别提醒】(1)正方形的两条对角线把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形； (2)正方形的边长与对角线长的比为①⑩ 知识点②正方形的判定 有一组邻边① 且有一个角是 ① 边 ② 的平行四边形是正方形（定义） 菱形B 或∠DAB=90 有一组邻边B 的矩形是正方形 平行 ☑CAB=AD,∠DAB=90 四边形 正方形 角 有一个角是④ 的菱形是正方形 对角线互相⑤ 的矩形是正方形 对角线 ☒ 或AB=AD 对角线⑥ 的菱形是正方形 【知识串联】平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 从边、角的角度看 从对角线的角度看 有一个角是直角 矩形 对角线 矩形 对角线 相等 互相垂直 有一个角是直角 一组邻边相等 平行四边形☑ 且一组邻边相等 组邻边相等 有一个角 正方形 平行四边形 对角线相等 正方形 菱形 是直角 对角线 互相垂直 菱形 98 知识点③中点四边形与梯形 1.中点四边形的概念： 如图，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，则四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形.由中 位线定理可知：EH/cF/BD,EH=6F=BD,Hc/EF/AC,HG=EFAC B 2.中点四边形的形状：由原四边形中两条对角线的关系决定 原四边 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 任意四边形 形特点 （如矩形) (如菱形) （如正方形) 中点四边 平行四边形 菱形 矩形 正方形 形形状 图示 【技巧点拨】(1)中，点四边形的周长等于原四边形的两条对角线之和；(2)中，点四边形的面积等于 原四边形面积的一半。 3.梯形(2022版课标新增)： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,S梯形AcD= (上底+下底)×高若B=0,则梯形D是等接梯形 A上底D 桑 高 腰 B E下底 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1正方形的性质(10年7考：2025.21,2023.11) 1.（人教八下P58例5变式)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AC上一 点，CE=CB,连接BE. (1)∠B0C= °，∠ABD= (2)∠CEB= o,∠ABE= (3)若AB=8,则： ①AC= ,A0= ②正方形ABCD的周长为 ,△COD的面积为 ③点E到BC的距离为 99 2.（人教八下P68T8变式)如图，点E,F分别在正方形的边AD,DC上，且AE=DF,连接AF, BE交于点G.求证：AF⊥BE. 考点2正方形的判定(2025.21,2016.6) 3.(北师九上P26T2变式)有下列四个条件：①AB=BC,②∠ABC=90°， D ③AC=BD,④AC⊥BD.从中选取两个作为补充条件，使☐ABCD为正方形 (如图).现有下列四种选法，其中错误的是 () A.②③ B.②④ C.①② D.①③ 4.(2018河北23题变式)如图，∠CAB=∠ABD=50°，P为AB的中点，M为射线AC上（不与 点A重合)的任意一点，连接MP并延长，交射线BD于点N,连接MB,NA.设∠BPN=. (1)求证：四边形MBNA为平行四边形； M (2)当a= 时，四边形MBNA为矩形； (3)当= 时，四边形MBNA为菱形； (4)四边形MBNA可能是正方形吗？ ·(填“可能”或“不可能”) 考点3中点四边形与梯形 5.(人教八下P67T6变式)如图，在□ABCD中，∠ABC=a,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD, DA的中点，顺次连接E,F,G,H (1)若BC>AB,则a从0°逐渐增大到180的过程中，四边形EFGH形状的变化依次是 A.平行四边形→菱形平行四边形 B.平行四边形→矩形平行四边形 C.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 D.平行四边形矩形→正方形→平行四边形 (2)若AB=BC=1,a=90°，则四边形EFGH的形状是 ,周长为 ,面积为 100 6.(2025河北23题变式)如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG=2,底边BC= 6,∠B=45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形.若∠BEF=30°，则AF的长为 A F 1.8 三阶分层设问攻重难 重难点回归教材一正方形中的重叠面积问题 7.(人教八下P63实验与探究变式)如图1，正方形ABCD的对角线交于点O,点O又是正方 形AB,C,O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等 图1 【铺垫设问】 (1)过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N,E为AB的OA的交点，F为BC与OC 的交点，则△OEM与△OFN的关系是 ,这两个三角形的面积 【解决问题】 (2)若正方形的边长为1，则阴影部分的面积为 (3)无论正方形A,B,C,O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方 形面积的 【拓展探究】 (4)如图2，将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点P是左侧正方形的中心，也是 中间正方形的一个顶点，点Q是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中 阴影部分的面积是 子 图2 图3 (5)如图3，正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3C3D3,A4B4C4D4的边长分别为2,4,6,4，四个 正方形按如图所示摆放，点A2,A3,A4分别位于正方形A,B1C1D1,A2B2C2D2,AB,C3D3的对 角线的交点处，则图中阴影部分的面积之和是 温馨提示 请完成分层练习册P84~P87习题 101