第5章 第2节 平行四边形-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第二节平行四边形 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：八下第十八章P41~P51:冀教：八下第二十二章P116~P129:北师：八下第六章P134~P149. 知识点1平行四边形的性质（重点） 0 性质 几何语言 E 边 对边① AB∥CD,AB=CD;AD∥BC,AD=BC 对角② ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 角 邻角③ ∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180° 对角线 对角线互相④ OA=OC.OB=OD 周长 C=相邻两边长之和的2倍 C平行四边形ABCD=2(AB+BC) 面积 S=边长×该边上的高 S平行四边形ABCD=BC·AE 对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心是⑤ 【技巧点拨】(1)平行四边形中的面积关系： 图示 面积关系 图示 面积关系 一对全等三角形， D\E 过对称中心O(即对角线 S S 交点)的任意一条直线平 S,=S2 F\B 分其面积和周长，S,=S2 两对全等三角形， S,=S2 S,=S2,S3=S4 (A为对角线上任意一，点) B S S1=S2+S3 S1+S3=S2+S4 (B为平行四边形内任意一点) (2)平行四边形中的角平分线问题： 平行+角平分线等腰三角形 两个角平分线直角三角形 (BE平分∠ABC) (BE平分∠ABC,CE平分∠BCD) E D A E D →△ABE是等腰三角形 B E →△ABE,△BCF,△EDF都是 △BEC是直角三角形 等腰三角形 88 (3)平行四边形中常见的辅助线作法： 连接对角线 连接顶点与 连接顶点与 作法连接对角线 平移对角线 作高 交点与一边 边延长线上 边上一点 中点 一点 图示 利用勾股定 0A=0C, 四边形ACEB OE是△DBC的 △FAEA △FAE∽△FBC 结论 理或等面积 OB=OD 为平行四边形 ⑥ △⑦ ∽△CDE 法求解 知识点2)平行四边形的判定（重点） 判定 几何语言 两组对边分别平行的四边形是平 .·AB∥CD,ADBC, 行四边形（定义） ∴.四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别⑧ 的四边 AB=CD,AD=BC, 边 形是平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形 组对边⑨ 的四边形是 AB//CD,AB=CD, 平行四边形 ·.四边形ABCD是平行四边形 两组对角分别⑩ 的四边 .·∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, 角 形是平行四边形 . 四边形ABCD是平行四边形 对角线① 的四边形是平 .·OA=OC,0B=OD, 对角线 行四边形 四边形ABCD是平行四边形 【技巧点拨】平行四边形的判定思路： (1)已知一组对边相等证 (这组对边平行， 或另一组对边相等； (2)已知一组对边平行证 (这组对边相等， 或另一组对边平行； (3)已知一条对角线平分另一条对角线证，对角线互相平分 89 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点工平行四边形的性质(10年5考：2025.14) 1.(人教八下P43T1变式)如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O,∠BAD=120°，AB=2, BC=3,E是边BC上一点，连接AE,OE. (1)平行四边形ABCD的周长为 (2)∠ABC的度数为 ,∠BCD的度数为 (3)若AE⊥BC,则： ①BE= ,AE= CE= ②平行四边形ABCD的面积为 ③AC= OC= (4)若E是BC的中点，则OE= (5)若AE平分∠BAD交BC于点E,则BE= 2.(冀教八下P158T1变式)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分 线交于BC上一点E.若AE=6,DE=8,则AB的长为 B 考点2平行四边形的判定(10年6考：2024.10,2023.8) 3.(2021河北7题变式)如图，在□ABCD中，AD>AB,∠ABC为锐角.要 在对角线BD上找点N,M,使四边形AWCM为平行四边形.请针对下 面两种方案，分别给出一种证明过程，并写出对应的判定依据： 方案一：取BD的中点O,作BN=NO, 方案二：作AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD. OM=MD. 证明： 证明： 判定依据： 判定依据 90 三阶分层设问攻重难 重难点2025年河北23题考法一平行四边形中的平分问题（周长、面积) 4.如图，MN过口ABCD的对角线的交，点O,交AD于点M,交BC于点N.若□ABCD的周长为 20,OM=2,则四边形ABNM的周长为 M B 5.嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知口ABCD,G为CD 边上一点，E为BC延长线上一点，以CG,CE为边作口CEFG,请用一条直线平分口ABCD 与口CEFG组合的图形面积.他们延长EF,AD交于点H,分别作出口ABCD,口CEFG, 口DGFH,口ABEH的对角线的交点P,Q,M,N,得出甲、乙、丙三种方案，则符合要求的方案 是 D ·M ·0 B 0 D 0 H D ·M P M N M G.Q E C 甲 乙 丙 温馨提示 请完成分层练习册P78~P79习题 912.证明略.3.证明略.4.证明略. 5.(1)全等；AD=AB,CD=CB,AC=AC (2)∠B=∠D,∠ACB=∠ACD,∠BAC=∠DAC:50° (3)证明略，(4)CR=CR证明略：(5) 第七节相似三角形（含位似) ⑥相等⑦成比例 ⑧相似比⑨相似比①相似比的平方①成比例 ②夹角B相等④相等⑤成比例6相似比 ⑦相似比的平方⑧相似比四(x,y)或(-kx,-y) 1.②④⑤⑥2.C3.2 4(1)6:子：(2)是：两边成比例且夹角相等的两个三角形 相似：(3)2√15 5.3.26.证明略.7.228.证明略 95 10.211.(1,1)或(-1，-1) 第八节锐角三角函数 8②a5565 、1 6 2 2 2 2 ⑧3 3 ⑨1@5①d+6=ee90B名g6台 a 1号专22045,60(2月 3(1)①6030：225：37w5:(2)5 4.3+W5【变式】1502 第九节解直角三角形的实际应用 ①北偏东30°②南偏东60°③北偏西45°④上方 ⑤下方6 2 例1C 例2南偏西30°：40：北偏西60°：30：90：50 ⑦3⑧3.1⑨3.15 例3解：方案一：在Rt△AMN中，an∠MAN-MN ΓAM1 4 MN=AM·an∠MAN≈60x子=80（米）. 答：商业大厦的高MW约为80米 方案二：如解图1，连接CD并延长，交MN于点E, 由题意可知，四边形ABDC,BMED均为 矩形， ∴.AC=BD=ME=1.7米，CD=AB= 35米. 设EN=x米， C4561E 在Rt△CEN中，∠ECN=45°， AB年 解图1 ∴.CE=EN=x米， .DE=CE-CD=(x-35)米. 在Rt△DNE中，an∠NDE=E.x 0Et35≈1.80， 解得x≈78.75. 经检验，x≈78.75是所列分式方程的解，且符合题意， .MN=EN+ME≈78.75+1.7=80.45≈80（米）. 答：商业大厦的高MN约为80米. 方案三：如解图2，过点B作BF⊥MN于点F, 则四边形ABFM是矩形，·.FM=AB= 60米. 在Rt△BFM中，tan∠FBM= FM BF FM 60 .∴.BF= tan L FBM 0.75 =80(米). 解图2 在Rt△BFN中，tan /NBF=-B5, .NF=BF·tan∠NBF≈80x0.25=20(米)， ∴.MN=FM+NF≈60+20=80（米）. 答：商业大厦的高MN约为80米. 方案四：易知∠AMB=37°，∠MAN=45° 在R△BMM中，tan37°=A ≈0.75，解得AM≈80米. AM ∠MAN=45°，∠AMN=90°，∴.MN=AM=≈80米. 答：商业大厦的高MN约为80米. 第五章四边形 第一节多边形（含正多边形） ①(n-2)·180°②360°③(n-3)④n(m-3） 2 ⑤n-2)·180° 6360°⑦360 ⑧n⑨偶0奇 n ①720°260°B60°④1080°5135°645°730° 1830°19320135° 1.(1)900°：360°：14：(2)5：2：(3)6 2.(1)9;(2)140°；40°：(3)是；不是3.8 4(600:6(21:.(3)6:3545(5) 2 第二节平行四边形 ①平行且相等②相等③互补④平分 ⑤两对角线的交点⑥中位线⑦FCB⑧相等 ⑨平行且相等0相等①互相平分 1(I)10:(2)60°：120：(3)①1：3：2：②33：87：； (4)1:(5)2 2.5 3.方案一：（答案不唯一，论证方法正确即可） 证明：连接AC. .·四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， .OB=0D,点0在AC上，且OA=OC. .BN=NO.OM=MD...NO=OM. 四边形ANCM为平行四边形. 判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形 方案二：（答案不唯一，论证方法正确即可） 证明：.·四边形ABCD是平行四边形. .∴.∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD. ∴.∠ABN=∠CDM. .·AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,∴.∠BAN=∠DCM. 7 I∠ABN=∠CDM, 在△ABN和△CDM中 AB=CD. N∠BAN=∠DCM. ∴.△ABN≌△CDM(ASA),.AN=CM,∠ANB=∠CMD. ∴.∠ANM=∠CMN,.AN∥CM, .四边形AWCM为平行四边形 判定依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.145.甲、丙 第三节矩形 ①平行且相等②直角③相等④2⑤两对角线的交点 ⑥AB·BC⑦直角⑧直角⑨相等 1(1)50:50:80:(2)①10：5：②28；48：312：④24 2.53.C 4.选择①②均可，证明略. 5.(1)全等：①△BAC≌△EAC:②∠BAC=∠EAC,∠BCA= ∠ECA,∠B=∠E:③AB=AE,CB=CE: (2)等腰：(3)(4)①14：2以点C为圆心，BC长为半 径的圆弧：2√4T-10:(5)菱；12+25 第四节菱形 ①相等②相等③垂直平分④平分⑤2 ⑥两对角线的交点⑦24C,BD⑧邻边⑨相等 ①垂直①垂直平分 1(00,(2y05:20:24:@号4③70号 5 2.C 3.(1)AD=BC.理由略.(2)证明略. 4.（1)∠BAD的平分线和∠ABC的平分线：AF=AB,BE= AB:BD的垂直平分线. (2)4.证明略. (3)答案不唯一，以下两种作法均可 第五节正方形 ①平行②相等③直角④垂直平分⑤平分⑥45° ⑦45°⑧4⑨两对角线的交点⑩1：2①相等 2直角3相等④直角⑤垂直6相等⑦AC=BD 8AC⊥BD 1.(1)90:45:(2)67.5:22.5: (3)①8√2：42：②32：16：③4√2 2.证明略 3.A 4.(1)证明略.(2)80：(3)90；(4)不可能 5()A:(2)正方形：22；76.2-月 7(1)全等：相等：(2)：(3)：(43，(5)4 8 第六章圆 第一节圆的相关概念与性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧圆心⑨圆上⑩圆心①圆心②平分B平分 ④垂直5平分6BM⑦1⑧一半9相等②①直角 ①直径②ADC8号2490雪互补函180° 1.D2.乙 3.(1)①A.②证明略.(2)C 4.(1)B:(2)①4：3：2：8：②32：(3)535.8 6.(1)90°；64°；64°；(2)64°：32°7.2 8情况-解答过程：∠ACB=2∠A0B=30 情况二解答过程：如解图，在弦AB所对的优弧上取一点 1 C,连接AC,BC,则∠ACB=2∠40B=30°，∠ACB= 180°-∠AC'B=150° 30°或150° C B 9解答过程略.万-或+！ 2 2 10.情况一解答过程：连接0C,则0D=√0C2-CD=1, ..AD=0A-OD=1...AC=VAD+CD=2. 情况二解答过程：连接0C,则0D=√OC2-CD=1, ..AD=0A+OD=3,..AC=AD+CD*=23. 2或2√3 第二节与圆有关的位置关系 ①<②=③<④相切⑤=⑥1⑦>⑧垂直 ⑨半径0一个①垂直2半径B一个④PB 5∠BW了角平分国10B 2①0E ①0F(①@的答案可调换)2垂直平分32 40B50C(②④5的答案可调换) 1(1)圆上；圆外；圆内；相交：(2)相切：相离 2.(1)4:(2)2:(3)2或4 3.证明：(1)连接0C,如解图1. OA=0B,C为AB的中点，.0C⊥AB. 又：0C是⊙0的半径， .直线AB是⊙0的切线. 0 B D 解图1 解图2 (2)过点O作OD⊥AB于点D,如解图2.