第4章 第9节 解直角三角形的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

2.证明略.3.证明略.4.证明略. 5.(1)全等；AD=AB,CD=CB,AC=AC (2)∠B=∠D,∠ACB=∠ACD,∠BAC=∠DAC:50° (3)证明略，(4)CR=CR证明略：(5) 第七节相似三角形（含位似) ⑥相等⑦成比例 ⑧相似比⑨相似比①相似比的平方①成比例 ②夹角B相等④相等⑤成比例6相似比 ⑦相似比的平方⑧相似比四(x,y)或(-kx,-y) 1.②④⑤⑥2.C3.2 4(1)6:子：(2)是：两边成比例且夹角相等的两个三角形 相似：(3)2√15 5.3.26.证明略.7.228.证明略 95 10.211.(1,1)或(-1，-1) 第八节锐角三角函数 8②a5565 、1 6 2 2 2 2 ⑧3 3 ⑨1@5①d+6=ee90B名g6台 a 1号专22045,60(2月 3(1)①6030：225：37w5:(2)5 4.3+W5【变式】1502 第九节解直角三角形的实际应用 ①北偏东30°②南偏东60°③北偏西45°④上方 ⑤下方6 2 例1C 例2南偏西30°：40：北偏西60°：30：90：50 ⑦3⑧3.1⑨3.15 例3解：方案一：在Rt△AMN中，an∠MAN-MN ΓAM1 4 MN=AM·an∠MAN≈60x子=80（米）. 答：商业大厦的高MW约为80米 方案二：如解图1，连接CD并延长，交MN于点E, 由题意可知，四边形ABDC,BMED均为 矩形， ∴.AC=BD=ME=1.7米，CD=AB= 35米. 设EN=x米， C4561E 在Rt△CEN中，∠ECN=45°， AB年 解图1 ∴.CE=EN=x米， .DE=CE-CD=(x-35)米. 在Rt△DNE中，an∠NDE=E.x 0Et35≈1.80， 解得x≈78.75. 经检验，x≈78.75是所列分式方程的解，且符合题意， .MN=EN+ME≈78.75+1.7=80.45≈80（米）. 答：商业大厦的高MN约为80米. 方案三：如解图2，过点B作BF⊥MN于点F, 则四边形ABFM是矩形，·.FM=AB= 60米. 在Rt△BFM中，tan∠FBM= FM BF FM 60 .∴.BF= tan L FBM 0.75 =80(米). 解图2 在Rt△BFN中，tan /NBF=-B5, .NF=BF·tan∠NBF≈80x0.25=20(米)， ∴.MN=FM+NF≈60+20=80（米）. 答：商业大厦的高MN约为80米. 方案四：易知∠AMB=37°，∠MAN=45° 在R△BMM中，tan37°=A ≈0.75，解得AM≈80米. AM ∠MAN=45°，∠AMN=90°，∴.MN=AM=≈80米. 答：商业大厦的高MN约为80米. 第五章四边形 第一节多边形（含正多边形） ①(n-2)·180°②360°③(n-3)④n(m-3） 2 ⑤n-2)·180° 6360°⑦360 ⑧n⑨偶0奇 n ①720°260°B60°④1080°5135°645°730° 1830°19320135° 1.(1)900°：360°：14：(2)5：2：(3)6 2.(1)9;(2)140°；40°：(3)是；不是3.8 4(600:6(21:.(3)6:3545(5) 2 第二节平行四边形 ①平行且相等②相等③互补④平分 ⑤两对角线的交点⑥中位线⑦FCB⑧相等 ⑨平行且相等0相等①互相平分 1(I)10:(2)60°：120：(3)①1：3：2：②33：87：； (4)1:(5)2 2.5 3.方案一：（答案不唯一，论证方法正确即可） 证明：连接AC. .·四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， .OB=0D,点0在AC上，且OA=OC. .BN=NO.OM=MD...NO=OM. 四边形ANCM为平行四边形. 判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形 方案二：（答案不唯一，论证方法正确即可） 证明：.·四边形ABCD是平行四边形. .∴.∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD. ∴.∠ABN=∠CDM. .·AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,∴.∠BAN=∠DCM. 7第九节解直角三角形的实际应用 ⊙对接教材人教：九下第二十八章P74~P79:冀教：九上第二十六章P117~P121:北师：九下第一章P19~P23 考点1方位角(10年5考；2023.2) 类型 图示 概念 般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方 30A 向，旋转到目标的方向所成的角（一般指锐角），通常表达成北 方向角 （南)偏东（西）几度.如图，点A位于点O的① 方向；点 ”东 B B位于点O的② 方向：点C位于点O的③ 方 60° 向，也称为西北方向 铅 ,视线 仰角、俯角 垂 线 爱翼水中线 如图，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线④ 的角叫作仰角，视线在水平线⑤ 的角叫作俯角 视线 坡度（坡 铅直 坡面 高度 如图，坡面的铅直高度与水平宽度1的比叫作坡度（坡比），用字母 比)、坡角 i表示；坡面与水平面的夹角a叫作坡角，i=tana=⑥ 水平宽度 例1如图，AC,BD表示两栋楼房，下列说法正确的是 A水平地面B A.两楼之间的距离是AD B.从点C看点D的仰角是∠ADC C.从点A看点D的仰角是∠DAB D.从点D看点A的俯角是∠ADB 例2（2023河北2题变式)如图，嘉嘉从A地出发向北偏东30°方向走40m到达B地，淇淇 从A地出发向南偏东60°方向走30到达C地，则A地在B地的 方向m处， A地在C地的 方向 m处，∠BAC= ,BC= m. 北 B ®小技巧 问A在B的哪个方向，就以B为 中心画“方向十字”，如图： 北 才B东 83 考点2解直角三角形的实际应用(2024.22,2022.24) 常见模型 常见辅助线作法 【解题策略】测量问题中，最常 见的辅助线是作高，构造直角 三角形，通过建立已知线段和 母子型 未知线段之间的等量关系求解 (通常涉及线段的和、差，要特 别注意公共边)· 背靠背型 【特别提醒】计算结果要求精确 到哪一位，就将结果四舍五入 到哪一位，如3.146保留整数 是⑦ ,精确到0.1或 精确到十分位是⑧ 拥抱型 精确到0.01或精确到百分位 是⑨ 例3（人教九下P75例4变式）嘉嘉与淇淇住在同一栋居民楼，他俩想测量所住楼对面商 业大厦的高.已知商业大厦与地面垂直，于是他俩利用所学的数学知识想到了如下四种方 案，请你分别进行解答.（结果均精确到1米） 方案一： 如图1，嘉嘉与淇淇在居民楼底部点A处测得点A到商业大厦底部M的距离为60米，点A 到商业大厦顶部N的仰角为53°，且MN L AM,求商业大厦的高MN.（参考数据：sin53°≈ 08,6as530=-06,am53-等 图1 84 现在两楼之间部分路面维修，无法直接测量出AM的长度，嘉嘉和淇淇想了其他办法也可 以测量. 方案二： [母子型]如图2，嘉嘉站在点A处测得商业大厦顶部V的仰角为45°，向前走了35米到达 点B处测得顶部N的仰角为61°，已知嘉嘉眼睛到地面的高度AC(BD)为1.7米，点A,B, M在同一水平线上，MN⊥AB,求商业大厦的高MN.(参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈ 0.48,tan61°≈1.80) C4561° M 图2 方案三： [背靠背型]如图3，嘉嘉与淇淇在所住楼顶的防护栏B处，测得商业大厦顶部N的仰角为 14°，测得商业大厦底部M的俯角为37°，已知BA⊥AM,MN⊥AM,AB=60米，求商业大厦的 高MN.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan14°≈0.25，√5≈1.73) 37 图3 方案四： [拥抱型]如图4，淇淇在所住楼顶的防护栏B处，测得商业大厦底部M的俯角为37°，嘉 嘉在商业大厦顶部的防护栏N处，测得所住楼底部A的俯角为45°，已知AB⊥AM,MN⊥ AM,AB=60米，求商业大厦的高MN.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75) B 45 又37 图4 温馨提示 请完成分层练习册P72~P73习题 85