第4章 第1节 线段、角、相交线与平行线(含命题)-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

当=三时R有最大位 4 ∴.S△AC的最大值为 3、927 2x4=8 .A(-3,0),C(0,-3),∴.0A=0C=3,∠A0C=90°， .AC=√0A+0C=32. 设点P到直线AC的距离为h, 1 32 则Sam=2AC·h= 2 :h② ∴当S△cp有最大值时，h有最大值， h的最大值为2×27_92 388, 二点P到直线AC的最大距离为9,5 8 4.(1)点C到直线1距离的最大值为1. .9 (2)0<n≤4 (3)“整点”的个数为4052. 第九节二次函数的实际应用 1.【审题】(0,0)；(4,4)；相同；横；纵；交点；纵；≥ (1)抛物线L的解析式为y=- 4(x-4)2+4. (2)①点A的横坐标为8. ②反弹后的小球不经过点(13,2).理由略 (3)xE≥10. 2.【审题】2x+y;y;≤ (1)y与x的函数关系式为y=30-2x(6≤x<15), S与x的函数关系式为S=-2x+30x(6≤x<15), (2)当S=100m2时，垂直于墙的一边长为10m (3)当垂直于墙的一边长为8m时，这个矩形劳动实践基 地的面积最大，这个最大值为112m2 【变式设问】S=-2a2+31x(6≤x<15) 3.(1)10x;(300+10x);(150-x);(150-x-100). (2)W=-10x2+200x+15000. (3)当每盒售价降低10元时，公司每天所获利润最大，最 大利润为16000元. (4)当每盒售价降低20元时，公司每天所获利润最大，最 大利润为15000元. 第四章三角形 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题） ①两②线段③BC④AC⑤BC⑥AC⑦AB⑧MB ⑨NB①32B3g55°590 1690°<a<180°⑦14824990°②④180°④相等 ②相等召相等②3距离相等5B0C雪】团PN 四垂线段②四相等团距离相等①12=8= 34∠1或∠35180°36∠37∠438相等39∠5 0∠6①∠74②∠8⑧∠8④∠55∠546∠8 ⑦一48∥9相等团∠2①相等2∠33互补 4180°5∠1+∠26360°-∠1-∠27∠2-∠1 1.(1)两点确定一条直线；(2)两点之间，线段最短 6 2(0)2或4(2)子1或2(31或2 3.(1)85.46:锐角：(2)4.54：94.54：(3)42.73： (4)2:(5)①②3④ 4.(1)25°：155°：(2)同旁内角：同位角：内错角 5.16.②④⑤7.40：208.A 9.a=b:=:矛盾：a≠b 第二节三角形的分类及其基本性质 ①90°②>③<④大于⑤小于⑥180⑦180° ⑧B⑨不相邻0和①>2>B大于 1D2.A 3.(1)1<AC<5:(2)120:钝角：(3)85：锐角 4.75.120 第三节三角形中的重要线段 ①90②7③sm④⑤c06⑦相等 2 ⑧中点⑨BC02 ① 2ah B=B=Omin 1 1.(1)高：6：(2)角平分线：①65°：②15：③110°： (3)中线：①12：②22 2.1 第四节等腰三角形 ①相等②相等③重合④C⑤相等⑥相等⑦60° 860⑨3 4 060° 1(1)65,25,203:4,24:(3)等边：：52,25￥ 553253 2.22【变式】18 3.√5-1 4.55°或70°【变式1】30°或100°【变式2】35 5.16cm或14cm【变式】15cm 6.50°或65或25°【变式】20°或50° 7.5或9 8145或70或107.5°【变式18或 第五节直角三角形 ①90°②90° 3}④-半⑤)4B⑥1：5：2 2 ⑦-半⑧BC⑨4B:Dh045°245° 1.D 33 2.(1)30:3:33:。2:(2)2;(3)3;60 3.27或104.2或85.106.14 第六节全等三角形 ①相等②相等③相等④相等⑤相等⑥三边 ⑦夹角⑧夹边⑨对边 1.(1)AB=DE:(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF); (3)∠A=∠D:(4)AC=DF: (5)证明略.第四章 三角形 第一节 线段、角、相交线与平行线（含命题) 阶教材知识全梳理 9对接教材人教：七上第四章P114~P141,七下第五章P1~P27;冀教：七上第二章P62~P84,七下第七章 P30~P54,八上第十三章P32~P34,八下第十六章P112~P123,第十七章P162~P164;北师：七上第四章 P107~P123,七下第二章P38~P54,八上第七章P162~P177,八下第一章P22~P32. 知识点①直线与线段 两个基 (1)① 点确定一条直线：(2)两点之间，② 最短 本事实 两点的 连接两，点间的线段的长度 距离 如图，在线段AC上有一点B. 线段的 C 和、差 则AB+③ =AC,AB=④ -⑤ ,BC=⑥ -⑦ 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,则点M叫作线段AB的中点 线段的 概念 中点 A M B 性质 若M是线段AB的中点，则AM=⑧ =⑨ AB 如图，M,N是线段AB的三等分点，则AM=MN=① =① AB. 线段的三 等分点 A M N B 【易错提醒】一条线段有两个三等分点，若未明确三等分点的位置，常需要分类讨论 B D 直尺测量 [0em"2"3"467☒ 0cm23467图 图1 图2 线段长度 如图1，线段AB的长度为② cm;如图2，线段CD的长度为B cm ©[链接】利用尺规作一条线段等于已知线段见本册P114 知识点②角与角平分线（重点） 1.量角器的使用 量角器的中心点0和角的顶点重合，量角器的零刻度线和角的一条边重合，然后看角的另一条边对 应的刻度线的度数（简记：两重合，再读数）.如图，∠AOB的度数为④ 58 2.角的分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 角度 0°<a<90° =⑤ 6 ax=180° x=360° 3.度、分、秒的换算：1°=60'，1'=60.如：7.24°=7⑦ '⑧ 「余角：若∠1+∠2=四 则∠1与∠2互为余角 4.余角、补角补角：若∠1+∠2=2四 则∠1与∠2互为补角 性质：同角（等角）的余角① 同角（等角）的补角②② 5.角平分线@（链接】利用尺规作一个角等于已知角和作角的平分线见本册P114~P115. 从一个角的顶点出发，把这个角分 如图，PM⊥OA,PN⊥OB. 定义 成两个相等的角的射线 性质 角平分线上的点到角两边的距离 定理 3 (1)OC平分∠AOB曰∠A0C=∠5 在角的内部，到角两边②④ 逆定理 6 ∠AOB; 的点在角平分线上 (2)OC平分∠AOB=→PM=②⑩ 知识点③垂线与相交线 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，8 最短 1.垂线 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 ©[链接】利用尺规过一点作已知直线的垂线见本册P115. 2.垂直平分线@【链接】利用尺规作线段的垂直平分线见本册P115. 经过一条线段的中点，并且垂直于 如图. 定义 这条线段的直线 性质 线段垂直平分线上的点到线段两 定理 端点的距离9 (1)1是线段AB的垂直平分线→1③① AB且 到一条线段两端点0 的 逆定理 AC32 BC; 点在这条线段的垂直平分线上 (2)点P在线段AB的垂直平分线上→PA3 PB 3.三线八角 类型 图示 对应的角 ∠1与∠2或∠4，∠2与④ 邻补角 性质：邻补角之和等于3⑤ ∠1与36 ,∠2与37 对顶角 性质：对顶角8 59 ∠1与3翅 ,∠2与④⑩ 同位角（形如F) ∠3与① ,∠4与4② 内错角（形如Z) ∠2与43 ,∠3与④ 同旁内角（形如[） ∠2与4⑤ ∠3与⑥ 【特别提醒】三线八角只是说明角之间的位置关系，加了平行条件，才能得到角之间的数量关系 知识点④平行线的性质与判定（重点） 概念 在同一平面内，如果直线a与直线b不相交，我们就说直线a与b互相平行，记作a/亿 平行公理 经过直线外一点，有且只有④⑦ 条直线与这条直线平行 若ac,bc,则a⑧ b. 推论 【知识拓展】在同一平面内，若a⊥c,b⊥c,则a/% 两直线平0同位角 如图，a/%曰∠1=⑤® 平行线的性 质与判定 性质内错角 两直线平行判定 如图，a/仍曰∠4=2 网直线平爱同房内的 如图，a/%曰∠3+∠2=⑤@ 两条平行线 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 之间的距离 性质：两条平行线之间的距离处处相等 【思维拓展】利用平行线求角度时常见的辅助线作法： 作法1：过拐 点作平行线 作法2：从拐点 处延长相交 e 结论 ∠ABC=⑤⑤ ∠ABC=⑤6 ∠ABC=⑦ 知识点⑤命题与定理 类型 概念 命题 判断一件事情的语句叫作命题.命题由题设和结论两部分组成 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题 有两个命题，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，且这个命题的结论是另一个 逆命题 命题的题设，把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题 60 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理.定理也可以作为 定理 继续推理的依据 反例 判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 证明一个命题是真命题时，可以用反证法，假设命题的结论不成立，由此经过推理得出 反证法 矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立 二阶 母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1①直线与线段(10年3考) 1.(人教七上P130T8变式) (1)如图1，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线，然后再锯，这样做的数 学道理是 (2)如图2，嘉淇用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原 树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 图1 图2 2.易错已知点A,B,C在同一条直线上，AB=3,BC=1. (1)AC的长为 (2)若D为AB的中点，E为BC的中点，则AD的长为 DE的长为 (3)若E是线段AB的三等分点，则AE的长为 考点2角与角平分线(10年5考；2024.10,2023.26) 3.(人教七下P8T8变式)如图，已知∠A0B=8527'36",OC平分∠A0B. (1)∠AOB= ,它是 (填“纯角”“直角”或“锐角”)； (2)∠AOB的余角等于 °，∠AOB的补角等于 (3)∠A0C= B (4)若P是射线OC上一点，点P到OA的距离为2，则点P到OB的距离为 (5)在∠AOB的内部有一点Q,有以下条件，满足 (填出所有符合要求的序号)， 可说明点Q在射线OC上， ①LA0Q=?∠A0B:②∠A0B=2∠B00:③∠A00=∠B00:④点Q到OA和OB的距离 相等 61 考点3垂线与相交线(10年4考；2024.11) 4.（冀教七下P37B组T1变式)如图，直线AB与CD相交于点O. (1)若∠D0B+∠A0C=50°，则∠A0C= ,∠AOD= (2)∠CA0是∠AOC的 ,是∠COB的 ,是∠AOD的 .（填“同位 角”“内错角”或“同旁内角”) 第4题图 第5题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别 以D,E为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F:作射线BF交AC 于点G.若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为 考点4平行线的性质与判定（必考） 6.(人教七下P9T11变式)如图，点E在BC的延长线上，下列结论正确的是 .(填 序号) C E ①若∠1=∠2，则AD∥BC;②若∠3=∠4，则AD∥BC:③若AD∥BC,则∠B=∠DCE;④若 AB∥CD,则∠1+∠3+∠D=180°：⑤若∠D=∠DCE,则AD∥BC 7.（2023河北15题变式)如图1和图2中的两组水平线均互相平行，其他角的度数如图中标 注，则图1中∠1= °，图2中∠2= 100° 40° 4609 60% 图1 图2 考点5命题与定理(2021.13) 8.（人教七下P24T12变式)能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是 30 309 40 140 30 30°y 30y 30 A B C D 9.用反证法证明“若|al≠|bl,则a≠b”.补全下面证明过程 证明：假设 ,则lal 1b1,这与已知“1al≠1b1” 温馨提示 请完成分层练习册P53~P55习题 62