第3章 第7节 二次函数解析式的确定、图象的变换、与一元二次方程的关系-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第七节 二次函数解析式的确定、图象的变换、 与一元二次方程的关系 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：九上第二十二章P42~P46;冀教：九下第三十章P39~P40,P50~P53;北师：九下第二章 P42~P45,P51~P55. 知识点①二次函数解析式的确定（重点） 1.基本方法：待定系数法 2.步骤： 根据己知条件」 设解析式设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三点坐标 代入抛物线上已知点 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 的坐标，得方程（组） 顶点(h,k)+其他点坐标 顶点式：y=① (a≠0) 与x轴的两个交点坐标 解方程（组） 交点式：y=② (a≠0) (x1,0),(x2,0)+其他点坐标 得解析式 例1（1)若抛物线y=ax2+2x+c经过点(-1,0)和(0,3)，则其解析式是 (2)若抛物线的顶点坐标为(2,8)，且经过点(3,9)，则其解析式是 (3)若抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(-1,0)和(3,0)，且经过点(2，-2)，则其解析式 是 知识点②二次函数图象的变换（重点） 方法一：a+顶点法 核心：1.图象的变换，就是图象上所有点的变换； 2.变换前后，开口大小不变，即1al不变-平移前后，a不变；沿x轴翻折，a相反；沿y轴翻 折，a不变：旋转180°，a相反 求法：将解析式化为顶点式，根据变换后α的值及顶点的坐标求出变换后的解析式 方法二：规律法[变换前拋物线的解析式为y=a2+bx+c(a≠0)] 变换方式 变换后抛物线的解析式 口诀 向左平移m个单位长度 y=a(x+m)2+b(x+m)+c 左+右-自变量 向右平移m个单位长度 y=③ 向上平移m个单位长度 y=④ 上+下-常数项 向下平移m个单位长度 y=⑤ 沿x轴翻折（关于x轴对称） -y=ax2+bx+c x不变，y相反 沿y轴翻折（关于y轴对称） y=a(-x)2+b(-x)+c y不变，x相反 绕原点旋转180°（关于原点成中心对称） -y=a(-x)2+b(-x)+c x,y都相反 50 例2已知抛物线y=x2+2x+3. (1)二次项系数a= 解析式化为顶点式是 顶点坐标是 (2)将抛物线按照如下要求变换： 方法一：a+顶点法 方法二：规律法 变换方式 变换后 变换后的 变换后的抛 变换后的抛物线解析式 的a值 顶点坐标 物线顶点式 向右平移4个单位长度 1 (3,2) y=(x-3)2+2 y=(x-4)2+2(x-4)+3=x2-6x+11 向上平移5个单位长度 Y= 沿x轴翻折 -y=x2+2x+3,即y=-x2-2x-3 沿y轴翻折 即 绕原点旋转180° 即 绕顶点旋转180° 【验证：两种方法得到的结论一致吗？】 知识点③二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax+bx+c与直线的交点问题可转化为一元二次方程的解的问题： 1.抛物线与x轴的位置关系今→一元二次方程ae+bx+c=0的解的情况； 2.抛物线与直线y=t的位置关系台一元二次方程aa2+bx+c=t的解的情况； 3.抛物线与直线y=x+m的位置关系台一元二次方程ax+bx+c=kx+m的解的情况. 【技巧点拨】(1)方程的解即为抛物线与对应直线的交点的横坐标；(2)若不解方程，直接求抛物线与 直线的交点个数，可以用一元二次方程的根的判别式来求解 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1二次函数解析式的确定（近3年必考） 1.根据下列条件，求二次函数的解析式. (1)图象经过点(-1,3)，(1,3)，(2,6)； (2)图象的顶点坐标为(-1,9)，且与y轴交于点(0，-8)： (3)图象的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为(-2,0)，与y轴交于点(0,12)； 51 (4)图象的顶点坐标是(2，-5)，且过原点； (5)图象与x轴的交点坐标是(-1,0)，(-3,0)，且函数有最小值-5： (6)当x=2时，函数取得最大值1，且图象与x轴的两个交点之间的距离为2. 考点2二次函数图象的变换(2024.26,2022.23) 2.(2022河北23题变式)在平面直角坐标系中，平移抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x-1)2-2 (1)平移方式可以是先向右平移 个单位长度，再向 平移 个单位 长度； (2)若P是抛物线y=2x2上的一点，则点P移动的最短距离是 3.将抛物线y=-x2+2x-3向上平移m(m>0)个单位长度，若得到的抛物线与x轴只有一个交 点，则m的值为 4.将抛物线y=(x-1)2+2沿着直线y=4翻折，得到的新抛物线的解析式是 考点3二次函数与一元二次方程的关系(2025.24) 5.（北师九下P53T4变式)如图，一次函数y=x+a和二次函数y=x2+bx的图象交于点A(-3,0) 和点B(1,c). (1)方程x2+bx=0的解为 (2)若t>0,则方程x2+bx=t的实数根的个数为 (3)方程x2+bx=x+a的解为 (4)不等式x+a>x2+bx的解集是 6.(2025河北24题变式)已知抛物线y=(x+1)2与直线y=x-3. (1)若抛物线与直线有唯一公共点，则k的值为 (2)若抛物线与直线有两个交点，则这两个交点的中点的横坐标为 (用含k的代 数式表示) 温馨提示 请完成分层练习册P42~P43习题 52例4-3<x<0或x>1:x<-3或0<x<1 【技巧点拨】<；>；<；>；-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<1 1.(1)k>0:(2)①ADEF:②-3<y<0:x>0或x≤-6： (3)y2>y3>y1 2.D 3(04:24:(26132.(32 4y=8 4 5.y2x 6.(1)3;(2)4(答案不唯一)7.(-1,2) 8(1)反比例函数的表达式为y=-12 x 3 一次函数的表达式为y=-2+3, (2)S△0B=9.(3)-2<x<0或x>4 9.C10.c 第六节二次函数的图象与性质、图像与系数的关系 ①上②下国=六④=A⑤- b 2 @云 ）⑦(h,k)⑧ 2 :⑨小0大 ①减小②增大B左侧④右侧⑤>0G<0 ⑩=08-力>09异号②c=0<0 2a ②2b2-4ac<0 1.12.(5,0)》 3.(1)下：x=1:2:(-1,0)和(3,0)：(0,3)：大：大：4：(1,4) (2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3): (3)作图略.(4)0：1；2；(5)增大；3：(6)<；< 【变式1】>【变式2yB<yc<ya 4.②③④⑤⑧0 5.(1)上：x=2:(2,-1): (2)①8：0：②35：3：③3：-1：④24：-1： (3)-1或3：(4)-1或2+5 第七节二次函数解析式的确定、图象的 变换、与一元二次方程的关系 ①a(x-h)2+k②a(x-x1)(x-x2） 例1(1)y=-x2+2x+3:(2)y=x2-4x+12: 32 ③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m⑤ax2+bx+c-m 例2(1)1；y=(x+1)2+2;(-1,2); (2)1;(-1,7);y=(x+1)2+7;x2+2x+3+5:x2+2x+8; -1;(-1,-2)y=-(x+1)2-2: 1;(1,2);y=(x-1)2+2;y=（-x)2+2(-x)+3;y=x2- 2x+3; -1;(1,-2);y=-(x-1)2-2;-y=(-x)2+2(-x）+3;y= -x2+2x-3; -1;(-1,2);y=-(x+1)2+2 1.(1)二次函数的解析式为y=x2+2. (2)二次函数的解析式为y=-17x-34x-8. (3)二次函数的解析武为y=-?2+3x+12 （4)二次函数的解折武为y子-5立 (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.(1)1:下：2：(2)53.24.y=-(x-1)2+6 5.(1)x1=-3,x2=0;(2)2;(3)x1=-3,x2=1;(4)-3<x<1 6(16或-2(2号 第八节二次函数图象与性质的应用 15+7 2；-1【思路点拔】y=-x;A:B 2.-2≤a<-1【思路点拨】(1,2)；(1,2)，(1,1)，(1,0)， (0,0)和(2,0)：0：1：0：-1：0：0 3.【思路点拨】一；相等；DE;最大面积；点P到AC的距离； (xc-);PE 解：易得直线AC的解析式为y=-x-3. 方法一：构造平行线 如解图1，过点P作直线AC的平行线L, 则直线l的解析式可设为y=-x+m. 分析可知，当直线1与抛物线只有一个公共点时，点P到 直线AC的距离最大. 令-x+m=x2+2x-3,整理，得x2+3x-3-m=0, 则4=32-4(-3-m)=21+4m=0,解得m=-21 4 21 ·.直线1的解析式为y=-x4 令y=0,得x=4 21 直线！与：轴的交点》的坠标为斗0). 40=3-(- 过点D作DE⊥直线AC于点E,易得∠EDA=45°， 9√2 由平行线间的距离处处相等可知，此时点P到直线AC的 距离他为。 亠点P到直线4C的最大距离为93 8 方法二：面积转换 如解图2，过点P作PE)轴交AC于点E,连接AP,CP 设P(p,p2+2p-3)(-3<p<0),则E(p,-p-3), E=3-(*2-3到=-0=-o+号 SS)+() PE (E .当PE有最大值时，Sa4cp有最大值. pE=-o号-1k0,-30, 5