第3章 第6节 二次函数的图象与性质、图象与系数的关系-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第六节 二次函数的图象与性质、图象与系数的关系 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：九上第二十二章P27~P41:冀教：九下第三十章P26~P38;北师：九下第二章P29~P41. 知识点①二次函数的图象与性质（重点） 解析式 一般式： 顶点式： 交点式： 三种形式)》 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) a的符号 a>0 a<0 大致图象 (抛物线) 开口方向 开口向① 开口向② 对称轴 直线③ 直线④ 直线⑤ ⑦ 将x=⑧ 代入解析式， 顶点坐标 ⑥ 求y值，从而求得顶点坐标 最值 在对称轴处，y取得最⑨ 值 在对称轴处，y取得最0 值 在对称轴左侧，y随x的增大而① 在对称轴B ,y随x的增大而增大； 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而② 在对称轴④ ,y随x的增大而减小 知识点②二次函数图象与系数的关系 开口向上→a⑤ ;开口向下a⑥ 开口方向 【拓展】Ial越大，开口越小；lal相同，说明抛物线的开口大小相同； (由a决定) 抛物线y=ax2和y=-am(a≠0)关于x轴对称 对称轴在y轴左侧一 22c0(即a,6同号)： 对称轴 简记： (由a,b决定)》 对将错是)辙一名0（即 左同右异 对称轴在y轴右侧⑧ (即a,b9 与y轴的交点 与y轴正半轴相交→c>0:过原点0 (由c决定) 与y轴负半轴相交一@ 与x轴的交点个数 与x轴有两个交点台→b2-4ac>0;与x轴有一个交点b2-4ac=0,顶点在x轴上； (由b2-4ac决定) 与x轴无交点→②2 其他特殊关系 看到2a+b,比较- 和1的人小 看到2a-6,比较2和-1的大小 2a (先把含a,b,c 看到a+b+c,找当x=1时y的值 看到a-b+c,找当x=-1时y的值 的项移到等式或 不等式的一边) 看到4a+2b+c,找当x=2时y的值 看到4a-2b+c,找当x=-2时y的值 47 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1二次函数的图象与性质（必考） 1.若抛物线过点(-2，m)和(4，m),则抛物线的对称轴为直线x= 2.已知抛物线的对称轴为直线x=2.若抛物线与x轴的一个交点的坐标为(-1,0)，则该抛物 线与x轴的另一个交点的坐标为 3.已知抛物线y=-x2+2x+3. (1)该抛物线开口向 ,对称轴是直线 ,与x轴有 个交点，交点坐 标是 ,与y轴的交点坐标是 ,有最 (填“大”或“小”)值， 最 值为 ,顶点坐标为 (2)将抛物线的解析式化为顶点式是 ,化为交点式是 (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； (4)现要在抛物线上找点P(a,b),若b=5,则点P的个数为 若b=4,则点P的个数为 若b=3,则点P的个数为 (5)当x≤0时，y随x的增大而 最大值为 (6)若抛物线经过点(-2，a)和(-1，b),则a b;若抛物线经 过点(-3，m)和(4，n),则m n.(填“>”“<”或“=”) 变式1一坐标含参数已知点A(n2,y1),B(n2+1,y2)在抛物线y=-(x+2)2+1上，则 y y2.(填“>”“<”或“=”)》 变式2一解析式含参数若点A(-1,yA),B(2,yB),C(6,yc)都在抛物线y=mx2-6mx+4 (m>0)上，则ya,yB,yc的大小关系为 .(（用“<”连接) 园技巧点拨 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法： (1)代入比较法：已知函数解析式→将横坐标代入解析式→求得纵坐标→比较大小 (2)增减性比较法：已知图象对称性→将已知，点转化到对称轴同侧 →利用增减性比较大小 a>0时，距离越大，对应函数值越大； (3)距离比较法：比较，点到对称轴的距离 a<0时，距离越小，对应函数值越大 考点2二次函数图象与系数的关系 4如图，抛物线y=a+6xc(a≠0)与x轴负半辅交于点(0)，对称轴为 直线x=1,则以下结论中正确的是 .(填序号) ①abc<0:②a-b+c>0:③4a+2b+c<0;④2a-b>0:⑤c<0;⑥b2<4ac:⑦3a+c= 0:⑧一元二次方程ax2+bx+c-3=0有实数根；⑨若(-1，y1),(2,y2),(4, y3)都是该抛物线上的点，则y1<y2<y3;⑩am2+bm≥a+b(m为任意实数). 48 三阶分层设问攻重难 重难点与二次函数有关的最值问题 国技巧点拨 解决二次函数的最值问题时，通常会用到分类讨论思想， (1)若自变量的取值范围未限定，则在对称轴处取得最值，此时需要由二次项系数α的符号来确定 是最大值还是最小值.若a的符号未知，则需要分类讨论：①a>0:②a<0. (2)若自变量的取值范围被限定，且自变量的取值范围或二次函数解析式中含有参数，通常需要分 类讨论：①对称轴在自变量的取值范围的右侧；②对称轴在自变量的取值范围内；③对称轴在自变 量的取值范围的左侧.以a>0,自变量的取值范围为x,≤x≤x2为例： 对称轴与取值 对称轴在 对称轴在龙，≤x≤2内 对称轴在 范围的关系 x1≤x≤x2右侧 离x1近 离x,近 x1≤x≤x2左侧 图示 2a 2a 2a 当x=x,时y最大； 当x=x2时y最大； 当x=x时y最大； 当x=x2时y最大； 结论 当x=x,时y最小 6 b 当x= 时y最小 当x= 时y最小 2a 2a 当x=x1时y最小 5.已知二次函数y=x2-4x+3. 【铺垫设问】 (1)该二次函数图象的开口向 对称轴为直线 顶点坐标为 【解决问题1—定轴定范围】 (2)①当-1≤x≤1时，函数y的最大值为 最小值为 ②当4≤x≤8时，函数y的最大值为 ,最小值为 ③当0≤x≤3时，函数y的最大值为 ,最小值为 ④当1≤x≤7时，函数y的最大值为 最小值为 【解决问题2—定轴动范围】 (3)若当a≤x≤a+2时，函数y的最小值为0，则a的值为 【拓展探究一动轴定范围】 (4)已知关于的二次函数y=-42-4d+2a若当≤≤时，函数y有最大值-2. 1 则a的值为 温馨提示 请完成分层练习册P40~P41习题 49例4-3<x<0或x>1:x<-3或0<x<1 【技巧点拨】<；>；<；>；-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<1 1.(1)k>0:(2)①ADEF:②-3<y<0:x>0或x≤-6： (3)y2>y3>y1 2.D 3(04:24:(26132.(32 4y=8 4 5.y2x 6.(1)3;(2)4(答案不唯一)7.(-1,2) 8(1)反比例函数的表达式为y=-12 x 3 一次函数的表达式为y=-2+3, (2)S△0B=9.(3)-2<x<0或x>4 9.C10.c 第六节二次函数的图象与性质、图像与系数的关系 ①上②下国=六④=A⑤- b 2 @云 ）⑦(h,k)⑧ 2 :⑨小0大 ①减小②增大B左侧④右侧⑤>0G<0 ⑩=08-力>09异号②c=0<0 2a ②2b2-4ac<0 1.12.(5,0)》 3.(1)下：x=1:2:(-1,0)和(3,0)：(0,3)：大：大：4：(1,4) (2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3): (3)作图略.(4)0：1；2；(5)增大；3：(6)<；< 【变式1】>【变式2yB<yc<ya 4.②③④⑤⑧0 5.(1)上：x=2:(2,-1): (2)①8：0：②35：3：③3：-1：④24：-1： (3)-1或3：(4)-1或2+5 第七节二次函数解析式的确定、图象的 变换、与一元二次方程的关系 ①a(x-h)2+k②a(x-x1)(x-x2） 例1(1)y=-x2+2x+3:(2)y=x2-4x+12: 32 ③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m⑤ax2+bx+c-m 例2(1)1；y=(x+1)2+2;(-1,2); (2)1;(-1,7);y=(x+1)2+7;x2+2x+3+5:x2+2x+8; -1;(-1,-2)y=-(x+1)2-2: 1;(1,2);y=(x-1)2+2;y=（-x)2+2(-x)+3;y=x2- 2x+3; -1;(1,-2);y=-(x-1)2-2;-y=(-x)2+2(-x）+3;y= -x2+2x-3; -1;(-1,2);y=-(x+1)2+2 1.(1)二次函数的解析式为y=x2+2. (2)二次函数的解析式为y=-17x-34x-8. (3)二次函数的解析武为y=-?2+3x+12 （4)二次函数的解折武为y子-5立 (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.(1)1:下：2：(2)53.24.y=-(x-1)2+6 5.(1)x1=-3,x2=0;(2)2;(3)x1=-3,x2=1;(4)-3<x<1 6(16或-2(2号 第八节二次函数图象与性质的应用 15+7 2；-1【思路点拔】y=-x;A:B 2.-2≤a<-1【思路点拨】(1,2)；(1,2)，(1,1)，(1,0)， (0,0)和(2,0)：0：1：0：-1：0：0 3.【思路点拨】一；相等；DE;最大面积；点P到AC的距离； (xc-);PE 解：易得直线AC的解析式为y=-x-3. 方法一：构造平行线 如解图1，过点P作直线AC的平行线L, 则直线l的解析式可设为y=-x+m. 分析可知，当直线1与抛物线只有一个公共点时，点P到 直线AC的距离最大. 令-x+m=x2+2x-3,整理，得x2+3x-3-m=0, 则4=32-4(-3-m)=21+4m=0,解得m=-21 4 21 ·.直线1的解析式为y=-x4 令y=0,得x=4 21 直线！与：轴的交点》的坠标为斗0). 40=3-(- 过点D作DE⊥直线AC于点E,易得∠EDA=45°， 9√2 由平行线间的距离处处相等可知，此时点P到直线AC的 距离他为。 亠点P到直线4C的最大距离为93 8 方法二：面积转换 如解图2，过点P作PE)轴交AC于点E,连接AP,CP 设P(p,p2+2p-3)(-3<p<0),则E(p,-p-3), E=3-(*2-3到=-0=-o+号 SS)+() PE (E .当PE有最大值时，Sa4cp有最大值. pE=-o号-1k0,-30, 5