第3章 第5节 反比例函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第五节】 反比例函数及其应用 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：九下第二十六章P1~P22:冀教：九上第二十七章P127~P144:北师：九上第六章P148~P162. 知识点①反比例函数的图象与性质（重点） 解析式 y=泰(k为常教，k0),也可以为x·y=k或y=k·x 取值范围 x≠0，y≠0 k的符号 ① k<0 大致图象 (双曲线) 0元 ② 所在象限 、三 ③ 增减性 在④ 内，y随x的增大而⑤ 在⑥ 内，y随x的增大而⑦ 图象特征 无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 图象上点的 横坐标与纵坐标的积恒为⑧ 坐标特征 中心对称：关于⑨ 成中心对称 对称性 轴对称：关于直线y=x和直线⑩ 对称 知识点②反比例函数中k的几何意义 如图，过双曲线y=左上任一点P(x,y)分别作x轴，y轴的垂线段PM,PN,所得矩形 PMON的面积S=Ixl·Iyl=1xyl=① 常见变形及结论： 图形 (AD=BC) (AB=CD) 结论 S阴影=k S影=2k1 S阴影=2kl 【技巧点拨】转换依据：①平行线间的距离相等；②同底等高的三角形（或平行四边形）面积相等： 【特别提醒】因为k有正、负之分，所以用k表示三角形或四边形的面积时，要给k加绝对值， 知识点③反比例函数解析式的确定 方法一：用待定系数法确定反比例函数的表达式（代入一点即可）； 方法二：利用k的几何意义确定反比例函数的表达式（一定要注意k的正负）. 例1(1)图象过点(1,2)的反比例函数的解析式为 ； (2)如图，A为反比例函数图象上的一点，且矩形ABOC的面积为3，则这个反比例函 数的解析式为 43 知识点④反比例函数与一次函数的综合 1.判断图象 例2在同一平面直角坐标系中，函数y=x-k与y=(≠0)的大致图象可能为 意：文↓ 【技巧点拨】假设法. 方法一：假设k的符号 方法二：逐个假设每个选项正确 假设k>0,则直线y=kx-k斜向上，且与 假设A正确，则由直线斜向上可得飞0，由直线与 y轴交于负半轴→B,D符合：双曲线y=y轴交于正半轴可得k0,矛盾，故A错误： 上过第一、三象限B,D中只有B符合， 假设B正确，则由直线斜向上和与y轴交于负半轴都可 得到k0,由双曲线在第一、三象限可得飞 故选B.(假设k<0同理) 0,结论一致，故B正确.(C,D选项同理排除) 2.求交点个数及交点坐标 例3直线y,=x+2和双曲线y2=二的交点有 个，坐标为 【技巧点拨】(1)判断交点个数： 方法一：画草图判断 方法二：联立解析式判断 画草图，直线过第 象限，双 令+2=3，化简，得 曲线在第 象限，如图，必有 个交点 22-4×1×(-3)0,.该方程有 的实数根，两图象有 个交点 (2)求交点坐标：解联立所得的一元二次方程，其解即为横坐标，再代入解析式求得纵坐标」 3.不等式问题 3 例4已知一次函数y,=x+2和反比例函数y,=二，当y>y,时，x的取值范围是 当y,<,时，x的取值范围是 【技巧点拨】 步骤 解析 求交点横坐标 令+2=3，化简，得2+2x-3=0,解得花=1，x=-3, 过两交，点作y轴的平行线，结合y轴，将坐标平面分为四 个区： 当x<-3时，直线在双曲线下方，.y1 y2; 画草图、分区、观察图象 当-3<x<0时，直线在双曲线上方，y1 y2; 当0<x<1时，直线在双曲线下方，y y2; 当x>1时，直线在双曲线上方，y1 写答案 当y1>y2时 ;当y1<y2时， 44 知识点⑤反比例函数的实际应用 常用的公式：速度=路程 压力F 电压U 功W 时间 ,压强p受力面积3电流 电阻R ,功率P= 做功时间t? 功率P= 电压的平方 电阻R 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点反比例函数的图象与性质(10年6考：2025.10,2023.17) 1.已知反比例函数y=的图象如图所示 (1)k的取值范围是 (2)若该反比例函数的图象经过点(2,3)，则： ①下列点中，也在该反比例函数的图象上的是 ；(填字母编号)》 A(3,2:B(-3,2);C(-23,3):D(-32,-√2)：E(-2,-3):F(4,2). 3 ②易错当x<-2时，y的取值范围是 ;当y≥-1时，x的取值范围 是 (3)若点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在该反比例函数的图象上，且x1<0<2<x3,则y1,y2, y的大小关系为 .（用“>”连接) +。+十十+++。十。+++++。+■++++。++十+十++++十。+++十十。++++十。+++++ 园易错提醒 利用反比例函数的增减性求取值范围或比较函数值的大小时，要分>0和x<0两种情况，因为其增 减性是在某一个象限来说的，而不能笼统地说成“当>0时，y随x的增大而增大” 2.(2019河北12题变式)当x<0时，函数y=1 与y=-二的图象如图所示，则 函数图象所在坐标系的原点是 ( A.点M B.点N C.点P D.点Q 考点2反比例函数中k的几何意义 3.（冀教九上P144C组T1变式)求指定图形的面积 图1 图2 图3 (1)图1中，S平行四边形ACD= ,S△ABC= ,S△ABE= (2)图2中，S矩形0c= ,S△BOD= ,S△A0c= ,S△A0D= (3)图3中，S△4B0= ,S△ABC= 45 考点3反比例函数解析式的确定(2023.17,2016.26) 4若反比例函数y=的图象经过点(m,安，则该反比例函数的表达式为 5.若反比例函数y=一的图象同时过点(m,m),(2m,-1),则该反比例函数的解析式为 6.(2023河北17题变式)如图，矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,1),CB=2. (1)若反比例函数)=的图象过点D,则= YA D (2)连接4C,若反比例函数y=的图象的一支与线段4C有交点，则整 数k的值可能是 .(写出一个即可) 考点4反比例函数与一次函数的综合 7.(北师九上P160r3变式)已知双曲线y=与直线y=交于A(1,-2),B两点，则点B的 坐标为 8.(冀教九上P144C组T2变式)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图 象与反比例函数y=上(k≠0)的图象交于A(-m,3m),B(4,-3)两点，与y轴交于点C,连 接OA,OB. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积： (3)请根据图象直接写出不等式x+b冬<0的解集。 考点5反比例函数的实际应用(10年4考；2024.7) 9.(2025秦皇岛一模)若矩形的面积为6cm?,则它的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系 用图象表示大致是 ( 园易错提醒 在反比例函数的实际应用题中，要 注意自变量的取值范围，有时候只 是反比例函数图象的一支或一段 十十+十十十十十+十十+十十十+ 10.(2024河北7题)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用 电x度，则能使用y天.下列说法错误的是 () A.若x=5,则y=100 B.若y=125,则x=4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 温馨提示 请完成分层练习册P37~P39习题 46(2)(-6,2):(-3,-2);1:上：2 5.C=2mr;2m;r和C;r;C6.4;27.D 第二节一次函数的图象与性质、 解析式的确定及图象的变换 ③一、三、四 0N ④二、四⑤二、三、四⑥负半轴⑦三、四⑧增大 或小0(60)①(0，b)2y=kx+6(& 1 B+6=2, k=- 21 1.5 6-m (-k+b=3 5 5-2+2 b=- 2 ⑦kx+b+m8kx+b-m 1()(-号0)：(0-3).(2)作图略.(3)< 2.0<k≤2；2【易错提醒】>；<；>；= 3.b>a>c【技巧点拨】>；>；<；>；>；b;a;c 3 7 4(1)y=2;(2)2 (3)直线AB的解析式为y=2x-1. 5.(1)y=-3x+5:y=-3x-4:y=3.x+2:y=-3x-2: (2)y=-3x-4:左：2：(3)2 第三节一次函数图象与性质的应用 D=g6-0③6：③时11k y=hax+b2 ⑤>⑥< 1.(1)2:(2)-2;(3)y=x-4 【拓展设问0,1)：(-1.0：(-分宁 2a3aie61s8ol1:w01:s3 30=三4：(-号.o:0-3: 9 9 9 2 (2)a<-3;-之<bc0:73-3<n<21,1)4-3: 2 m>4或m<-3: (3)解：易知直线2：y=kx+3过定点(0,3)，画出草图如 解图. 联立直线1和直线1，的解析式， 9 得=3-3 8 解得 9 y=2x. 4 ∴直线1和直线，的交点C的 坐标为（号子。 当直线，经过点C时，不能围成三角形， 此时-子名43解得 3 4 当直线，值线1时，不能围成三角形，此时k=-了； 2 当直线2值线1，时，不能围成三角形，此时k=2. 综上所述，k的值为生或子或2 (4)(0,3):H:F(-3,2):-3,2)3F(-1,0)3: 1 ss3; (5)k的取值范围为k≥1或k≤-1. 【易错提醒】正；大；≥；负；小；大；≤ 第四节一次函数的实际应用 1.【审题】相等：4：(7,4)：爬升时间：x轴：2：速度 (1)OA的h关于s的函数解析式为h=s 2号机的爬升速度为3√2km/min. (2)BC的系关于：的质数解析式为=了+号。 2号机着陆点的坐标为(19,0). (3)两机距离P0不超过3如的时长为号m 2.【审题】(80-60)：(120-90)；(100-x):甲商品的件数：每 件乙商品的利润×乙商品的件数：甲商品的件数：乙商品 的进价×乙商品的件数：≤：分类讨论 (1)y与x的函数关系式为y=-10x+3000. (2)商场可获得的最大利润是2800元. (3)a的值为12. 3.(1)yz=20x+20. (2)草莓在生长旺季的销售价格为30元/kg, ym=18x+48(x>4). (3)去乙采摘园采摘可以得到更多的草莓.理由略 【变式设问1】去乙采摘园采摘更划算. 【变式设问2】当4<x<14时，去乙采摘园采摘更划算：当 x=14时，去两个采摘园采摘一样划算；当x>14时，去甲 采摘园采摘更划算， 4.(1)5.5:6 (2)y关于x的函数表达式为)50+2. (3)作图略 (4)悬挂砝码的质量是125克.描点略 5.(1)甲的报告成绩为76分，乙的报告成绩为92分. (2)p=125. 第五节反比例函数及其应用 ①> ② ③二、四④每个象限 0 ⑤减小⑥海个象限⑦增大⑧k⑨原点⑩y=-x ①IkI 例1（)=2：(2y= 3 例2B【技巧点拨】>：<：>：> 例32；(-3，-1)和(1,3)【技巧点拨】一、二、三；一、三： 2:x2+2x-3=0:>:两个不相等：2 例4-3<x<0或x>1:x<-3或0<x<1 【技巧点拨】<；>；<；>；-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<1 1.(1)k>0:(2)①ADEF:②-3<y<0:x>0或x≤-6： (3)y2>y3>y1 2.D 3(04:24:(26132.(32 4y=8 4 5.y2x 6.(1)3;(2)4(答案不唯一)7.(-1,2) 8(1)反比例函数的表达式为y=-12 x 3 一次函数的表达式为y=-2+3, (2)S△0B=9.(3)-2<x<0或x>4 9.C10.c 第六节二次函数的图象与性质、图像与系数的关系 ①上②下国=六④=A⑤- b 2 @云 ）⑦(h,k)⑧ 2 :⑨小0大 ①减小②增大B左侧④右侧⑤>0G<0 ⑩=08-力>09异号②c=0<0 2a ②2b2-4ac<0 1.12.(5,0)》 3.(1)下：x=1:2:(-1,0)和(3,0)：(0,3)：大：大：4：(1,4) (2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3): (3)作图略.(4)0：1；2；(5)增大；3：(6)<；< 【变式1】>【变式2yB<yc<ya 4.②③④⑤⑧0 5.(1)上：x=2:(2,-1): (2)①8：0：②35：3：③3：-1：④24：-1： (3)-1或3：(4)-1或2+5 第七节二次函数解析式的确定、图象的 变换、与一元二次方程的关系 ①a(x-h)2+k②a(x-x1)(x-x2） 例1(1)y=-x2+2x+3:(2)y=x2-4x+12: 32 ③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m⑤ax2+bx+c-m 例2(1)1；y=(x+1)2+2;(-1,2); (2)1;(-1,7);y=(x+1)2+7;x2+2x+3+5:x2+2x+8; -1;(-1,-2)y=-(x+1)2-2: 1;(1,2);y=(x-1)2+2;y=（-x)2+2(-x)+3;y=x2- 2x+3; -1;(1,-2);y=-(x-1)2-2;-y=(-x)2+2(-x）+3;y= -x2+2x-3; -1;(-1,2);y=-(x+1)2+2 1.(1)二次函数的解析式为y=x2+2. (2)二次函数的解析式为y=-17x-34x-8. (3)二次函数的解析武为y=-?2+3x+12 （4)二次函数的解折武为y子-5立 (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.(1)1:下：2：(2)53.24.y=-(x-1)2+6 5.(1)x1=-3,x2=0;(2)2;(3)x1=-3,x2=1;(4)-3<x<1 6(16或-2(2号 第八节二次函数图象与性质的应用 15+7 2；-1【思路点拔】y=-x;A:B 2.-2≤a<-1【思路点拨】(1,2)；(1,2)，(1,1)，(1,0)， (0,0)和(2,0)：0：1：0：-1：0：0 3.【思路点拨】一；相等；DE;最大面积；点P到AC的距离； (xc-);PE 解：易得直线AC的解析式为y=-x-3. 方法一：构造平行线 如解图1，过点P作直线AC的平行线L, 则直线l的解析式可设为y=-x+m. 分析可知，当直线1与抛物线只有一个公共点时，点P到 直线AC的距离最大. 令-x+m=x2+2x-3,整理，得x2+3x-3-m=0, 则4=32-4(-3-m)=21+4m=0,解得m=-21 4 21 ·.直线1的解析式为y=-x4 令y=0,得x=4 21 直线！与：轴的交点》的坠标为斗0). 40=3-(- 过点D作DE⊥直线AC于点E,易得∠EDA=45°， 9√2 由平行线间的距离处处相等可知，此时点P到直线AC的 距离他为。 亠点P到直线4C的最大距离为93 8 方法二：面积转换 如解图2，过点P作PE)轴交AC于点E,连接AP,CP 设P(p,p2+2p-3)(-3<p<0),则E(p,-p-3), E=3-(*2-3到=-0=-o+号 SS)+() PE (E .当PE有最大值时，Sa4cp有最大值. pE=-o号-1k0,-30, 5