第3章 第1节 平面直角坐标系与函数初步-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第三章函数 第一节 平面直角坐标系与函数初步 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：七下第七章P63~P86,八下第十九章P71~P85:冀教：八下第十九章P29~P58,第二十章 P59~P82:北师：七下第三章P61~P79,八上第三章P53~P73,第四章P75~P78. 知识点①平面直角坐标系中点的坐标特征（重点） 平行于坐标轴的 各象限内的点 坐标轴上的点 各象限平分线上的点 直线上的点 y y 第二象限第一象限 y A(x) (-,+) (+,+) (0,y) (x,0) A(xy) P(a,b) (-,-）0(+,-) 第三象限第四象限 B(x2-Y2) 1B(x2y2) 例：点(2，-3)在第 点P(x,y): (1)若点A在第一、三 (1)平行于x轴的直线 ① 象限， 在x轴上④ =0: 象限的平分线上，则 上的点的纵坐标相等： 点(-1，-0.5)在第 在y轴上→⑤ =0: x1=⑦ y1=⑨ ② 象限， 在原，点⑥ (2)若点B在第二、四 (2)平行于y轴的直线 点(3,4)在第③ 【特别提醒】坐标轴上的 象限的平分线上，则 上的点的横坐标相等： 象限 点不属于任何象限 x2=⑧ x2=0 知识点②用坐标表示距离（重点） 点到坐标轴 y直线x=m 点P(a,b)到x轴的距离为① (或与坐标轴 P(a,b) 到y轴的距离为② 平行的直线)】 0 到直线x=m的距离为la-ml, 的距离 直线y=n 到直线y=n的距离为1b-nl y IP (x.Y) 若PP2:轴（或在x轴上），则PP2=B P(y)P:(x2y） 若PP,小轴（或在y轴上），则P,P,=④ 两点之间 P.(x.y2) 的距离 [已知，点 P(x1,y), P(xy) 若P,P,不与坐标轴平行，则过此两点向坐标轴作垂 P,(x2y2)] P2(x2y2） 线（两垂线相交于点P),构造直角三角形，由勾股定理 可得PP2=√P2P2+P1P2=/(x1-2)+(y1y2). 特殊地，点P(a,b)到原点的距离为⑤ 【特别提醒】在用含未知数的坐标表示距离时，一定要记得加绝对值符号，确保距离为正值 28 知识点③几何变换后点的坐标特征 P(x,y)- 向左平移m(m>0)个单位长度 P,(x-m,y); P P(x,y) 向右平移m(m>0)个单位长度，P,⑥ P(x.Y) 平移 。P 向上平移m(m>0)个单位长 P(x,y)- 度P,回 向下平移m(m>0)个单位长度 P(x,y)- P⑧ 【规律】左右平移，横坐标左减右加：上下平移，纵坐标上加下减 P(,y)关于x轴对称，P,四 P,-- y p(x.y) P(x,)关于y轴对称P,① 对称 P P P(x,y) 关于原点对称P,四】 【规律】关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号 【知识拓展】已知点P(名).A(.()线段户A的中点的坐标为（空）： (2)若点P,与点P2关于直线x=m对称，则y1=2,m= 知识点④函数的相关概念 1.相关概念 变量、常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的 值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是 函数 因变量 【举例】y=±，对于任意一个非零，都有两个y与之对应，故y不是x的函数 在自变量x的取值范围内，如果当x=a时，y=b,那么b叫作当自变量的值为a时的 函数值 函数值 2.函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法 3画函数图象的一般步骤：列表描点→连线。 4.函数自变量的取值范围 函数表达式 1 √x-I Y=x y= x-1 y=√x-I y= x-1 y=x°-1 自变量的 x可取任意实数 x≠1 ②2 23 x24 取值范围 【特别提醒】在实际应用题中，自变量的取值范围除了要使式子有意义，还要符合实际意义，如人数 必须为正整数 29 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1平面直角坐标系中点的坐标特征(2025.624,2024.12) 1.已知点A(-3,5),B(m-1,2-m) (1)点A在第 象限； (2)若点B在x轴上，则m= :若点B在y轴上，则m= ;若点B在第一、 三象限的平分线上，则m= ;若点B在第二象限，则m的取值范围为 (3)若AB∥x轴，则m= ;若AB⊥x轴，则m= 2.(2024河北12题变式)如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,1),线段AB∥x轴，且AB=2. 以AB为一边向上作矩形ABCD,AD=1. (1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 (2)我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值” ①矩形ABCD的四个顶点的特征值最小的是点 ②将矩形ABCD在第一象限内任意平移，则特征值最小的点是否发生变化？ (填 “是”或“否”).【思考为什么？】 考点2用坐标表示距离(2025.24,2022.23,2019.19) 3.已知点A(3,4),B(-2,2) (1)点A到x轴的距离为 到y轴的距离为 到原点的距离为 (2)(2022河北23题考法一平移的最短路程)将点A平移，若使平移后所得的点落在 y轴上，则最小平移距离是 :若使点A平移后刚好到达点B,则点A移动的最短路 程是 (3)若C(m,n),AC∥x轴，则： ①AC= ;(用含m或n的代数式表示) ②若AC=5,则点C的坐标为 考点3几何变换后点的坐标特征(2024.16,26) 4.(冀教八下P49练习T2变式)已知点A的坐标为(-3,2) (1)点A关于y轴对称的点的坐标为 ,点A关于x轴对称的点的坐标为 点A关于原点对称的点的坐标为 (2)点A向左平移3个单位长度得到的点的坐标为 :点A向下平移4个单位长度 得到的点的坐标为 ；点A先向右平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度得到的点的坐标为(-2,4) 30 考点4函数的相关概念(2024.24) 5.(人教八下P72练习变式)水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r,圆周长为C随 之改变，则C与r的函数关系式是 在这个问题中，常量是 变量是 ,自变量是 ,因变量是 6.（2024河北24题考法—分段函数的函数值)已知函数y= x2(0≤<1)， 若x=3,则 (2x-2(x≥1). y ;若y=2,则x= 考点5函数图象的分析与判断(2024.14,2023.14,2022.12) 7.如图的四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应 排序： (3） 4 ①运动员推出去的铅球的运动路径（铅球的高度y与时间x的关系）； ②一辆汽车在平直的公路上匀速运动（汽车行驶路程y与时间x的关系）； ③一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（在弹簧的弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂重物的质量x的关系)： ④嘉淇从A地匀速行走到B地后停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（嘉淇离A地 的距离y与时间x的关系). 正确的顺序是 ( A.①②③④ B.①②④③ C.①③②④ D.①③④② 园技巧点拨 分析函数图象的一般方法：数形结合： (1)看两轴：确定横、纵轴表示的意义； (2)看点：找特殊点（起，点、终点、拐点、交点等），理解其对应的实际问题或几何问题的意义； (3)看线：分清整个运动过程分为几段，关注每一段运动过程中函数值的变化规律； (4)看趋势：明确图象的变化趋势（上升或下降，增长速度加快或减慢，直线或曲线等）： 注意：①与几何相关的问题，常会涉及利用勾股定理、相似三角形等求线段长，进而表示出自变量与 因变量之间的函数关系式，从而画出图象或求出图象上相关参数的值；②常会涉及分类讨论，在讨 论时，一定要注意此时自变量的取值范围. +++++++++++++++++++++++++++++十+++++++十++2 温馨提示 请完成分层练习册P27~P29习题 31x=2 解法2：2x=4:x=2:x=2:y= 1 29 1 x=2 1 解法3：4=2y=2沙=2x=2 y=2 6.(1)当a=1时，x+y的值为2. (2)a=3. a-1 &= 尚超远，将代华 2 a+3 y=2 .y-=at3 a-1 =2 22 无论a为何值，y的值始终比x的值大2. 7.53 8.这架飞机无风时的平均速度为765km/h,风速为 15 km/h. 9.午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足一个初中学 生的身体需要. 第二节分式方程及其应用 例1x+1;x-3+x+1=x+2:x=4:x=4:x+1≠0：x=4 例2(1)2000_30 x x2.5x4 1.(1)一；一. (2)习题1：原式= *1 习题2：原分式方程的解为x=2 1 2 2(1)x=5;(2)1:(3)1或3：(4)2或4或5： (5)m<3且m≠1 3.m的值为5. 第三节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)x1=-1,x2=-3: (2)x2+4x-3=0;x2+4x=3;x2+4x+4=3+4:x+2:7: x1=-2+V7,x2=-2-√7； (3)x2+4x-12=0:1;4:-12:42-4×1×(-12)=64>0: -4±√64 2×1 =-2±4：x1=2,x2=-6; (4)x1=0,x2=2. ⑥-n±b⑦-6±vBF-4ae ⑧a⑨b0不相等 2a ①相等②没有-6 C⑤≠G≥ 例2(1)2.8(1+x)2=4;【变式】3200(1-x)2=1600: (2)1+x+x(1+x)=121:(3)x(-=36: 2 (4)x(x-1)=870:(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 Da(1+x)2Ba(1-x)29a(1+x)2②n(n-l) 2 ①n(n-1）2x·b 1.(1)m≠-1；(2)-1；(3)x2;1;-3x;-3:2 2.(1)x1=-1+2,x2=-1-√2 (2)x1=0,x2=3. (3)x1=1+W5,x2=1-√5. （4)x1=-2,x2=2. 3.(1)甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的，乙同 学的解答过程是从第二步开始出现错误的。 (2)x1=3,x2=6. 1 4(m<8且m≠-1：(233)m>8(4m<、电 m≠-1：(5)m≤日：(6)有两个不相等的实数根 5(1①13：②7：33：④5：55：(2)22 6.(1)道路的宽度为2m (2)道路的宽度应设计为5m. 第四节一元一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤<⑥改变 例1x>6-2(2-x);x>6-4+2x;x-2x>6-4;x>2;x<-2 ⑦公共⑧x>a⑨x≤a0x≥a①x>a②x<b 3<x<a④无解5实心圆点6空心圆圈⑦左 ⑧ 例2A品牌乒乓球最多有36个. 9<②①≥@≤ 1.A【变式设问】③⑤ 2.(1)x≤2. 将解集表示在数轴上如下 -10123 (2)原不等式组的解集为x≥4 将解集表示在数轴上如下 -1012345 3.D 4.(1)每关的奖励值为+15点，惩罚值为-5点. (2)嘉嘉最多能失败6次 5.(1)x≥-2，将解集表示在数轴上如下 -5-4-3-2-1012345 (2)a<-2:(3)-2≤a<-1:(4)-1≤a<0:(5)a≥-1： (6)a≤-1 第章函数 第一节平面直角坐标系与函数初步 ①四②三③-④y⑤x⑥x=0,y=0⑦y ⑧-y2⑨b①a①1b121alB1x1-xI④1y1-y, 5√a+b0(x+m,y）⑦(x,y+m）⑧(x,y-m) 0(x,-y）2②0(-x,y）④(-x,y）2≥13>1≠0 3 1(1)二(2)2：1：2m<1:(3)-3；-2 2.(1)(3,1);(3,2):(2)①B:②否 3.(1)4:3:5:(2)3:√29：(3)①1m-31:②(-2,4)或(8,4) 4.(1)(3,2);(-3,-2)；(3,-2); 3 (2)(-6,2):(-3,-2);1:上：2 5.C=2mr;2m;r和C;r;C6.4;27.D 第二节一次函数的图象与性质、 解析式的确定及图象的变换 ③一、三、四 0N ④二、四⑤二、三、四⑥负半轴⑦三、四⑧增大 或小0(60)①(0，b)2y=kx+6(& 1 B+6=2, k=- 21 1.5 6-m (-k+b=3 5 5-2+2 b=- 2 ⑦kx+b+m8kx+b-m 1()(-号0)：(0-3).(2)作图略.(3)< 2.0<k≤2；2【易错提醒】>；<；>；= 3.b>a>c【技巧点拨】>；>；<；>；>；b;a;c 3 7 4(1)y=2;(2)2 (3)直线AB的解析式为y=2x-1. 5.(1)y=-3x+5:y=-3x-4:y=3.x+2:y=-3x-2: (2)y=-3x-4:左：2：(3)2 第三节一次函数图象与性质的应用 D=g6-0③6：③时11k y=hax+b2 ⑤>⑥< 1.(1)2:(2)-2;(3)y=x-4 【拓展设问0,1)：(-1.0：(-分宁 2a3aie61s8ol1:w01:s3 30=三4：(-号.o:0-3: 9 9 9 2 (2)a<-3;-之<bc0:73-3<n<21,1)4-3: 2 m>4或m<-3: (3)解：易知直线2：y=kx+3过定点(0,3)，画出草图如 解图. 联立直线1和直线1，的解析式， 9 得=3-3 8 解得 9 y=2x. 4 ∴直线1和直线，的交点C的 坐标为（号子。 当直线，经过点C时，不能围成三角形， 此时-子名43解得 3 4 当直线，值线1时，不能围成三角形，此时k=-了； 2 当直线2值线1，时，不能围成三角形，此时k=2. 综上所述，k的值为生或子或2 (4)(0,3):H:F(-3,2):-3,2)3F(-1,0)3: 1 ss3; (5)k的取值范围为k≥1或k≤-1. 【易错提醒】正；大；≥；负；小；大；≤ 第四节一次函数的实际应用 1.【审题】相等：4：(7,4)：爬升时间：x轴：2：速度 (1)OA的h关于s的函数解析式为h=s 2号机的爬升速度为3√2km/min. (2)BC的系关于：的质数解析式为=了+号。 2号机着陆点的坐标为(19,0). (3)两机距离P0不超过3如的时长为号m 2.【审题】(80-60)：(120-90)；(100-x):甲商品的件数：每 件乙商品的利润×乙商品的件数：甲商品的件数：乙商品 的进价×乙商品的件数：≤：分类讨论 (1)y与x的函数关系式为y=-10x+3000. (2)商场可获得的最大利润是2800元. (3)a的值为12. 3.(1)yz=20x+20. (2)草莓在生长旺季的销售价格为30元/kg, ym=18x+48(x>4). (3)去乙采摘园采摘可以得到更多的草莓.理由略 【变式设问1】去乙采摘园采摘更划算. 【变式设问2】当4<x<14时，去乙采摘园采摘更划算：当 x=14时，去两个采摘园采摘一样划算；当x>14时，去甲 采摘园采摘更划算， 4.(1)5.5:6 (2)y关于x的函数表达式为)50+2. (3)作图略 (4)悬挂砝码的质量是125克.描点略 5.(1)甲的报告成绩为76分，乙的报告成绩为92分. (2)p=125. 第五节反比例函数及其应用 ①> ② ③二、四④每个象限 0 ⑤减小⑥海个象限⑦增大⑧k⑨原点⑩y=-x ①IkI 例1（)=2：(2y= 3 例2B【技巧点拨】>：<：>：> 例32；(-3，-1)和(1,3)【技巧点拨】一、二、三；一、三： 2:x2+2x-3=0:>:两个不相等：2