第2章 第3节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第三节一元二次方程及其应用 一阶教材知识全梳理 ⊙对接教材人教：九上第二十一章P1~P26:冀教：九上第二十四章P33~P56;北师：九上第二章P30~P58. 知识点①一元二次方程的相关概念及一般形式 只含有一个未知数，并且未知数的 举例：x2+2=0① 元二次方程：2x2+3x-1= 概念 最高次数是2的整式方程 2(x2-4)② 一元二次方程（填“是”或“不是”） 二次项系数 一次项系数 一般 举例：方程3x2-2x=1的二次项系数是③ 形式 x2+bx+c=0(a≠0) 次项系数是④ ,常数项是⑤ 二次项一次项常数项 【特别提醒】若题目中有“一元二次方程ax2+br+c=0”,则必然隐含着a≠0这一条件.若未说明方 程类型，则需分a=0时是一元一次方程和a≠0时是一元二次方程两种情况讨论 知识点②一元二次方程的解法（重点） 例1求下列方程的解： 【方法总结】基本思想：降次，即将二次方程 (1)方程(x+2)2-1=0的根为 化为一次方程。 (2)用配方法解方程：2x2+8x-6=0. (1)直接开平方法：形如(x+n)2=p(p≥0)的 解：二次项系数化为1，得 根为x=⑥ 移项，得 (2)配方法：适用于二次项系数化为1后，一 配方，得 ,即( 次项系数为偶数的方程； 解得 (3)公式法：适用于所有一元二次方程，应先 (3)用公式法解方程：x2+4x=12. 将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0，b2 解：将方程化为一般形式，得 4ac≥0)，方程的解为x=⑦ 原方程中，a=,b= ,C= (4)因式分解法：先将等号右边的式子全部 b2-4ac= 移到左边，再分解因式方程.(x-a)(x-b)=0 由求根公式，得x= 的根为x,=⑧ ,x2=⑨ 即方程的解为 (5)解法选择（优先顺序）： (4)用因式分解法解方程：x2=2x 直接开平方法→因式分解法→配方法→公 式法 【特别提醒】用因式分解法解一元二次方程 时，若等号两边含相同的未知数的因式，勿 直接约去公因式，避免漏解 21 知识点③一元二次方程根的判别式 根的判别式△=b2-4ac与方程ax2+br+c=0(a≠0)的根的关系： (1)△>0台方程有两个0 的实数根： (2)4=0台方程有两个① 的实数根； (3)△<0方程② 实数根 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不 为0这个限制条件 知识点④一元二次方程根与系数的关系(2022版课标去掉*，调整为考查内容)（重点） 如果一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是：1，x2,那么x,+,2=B ,x1化2=④ 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a⑤ 0:(2)4⑥ 0 知识点⑤)一元二次方程的实际应用 例2根据下列实际问题列方程： 【技巧点拨】常见数量关系： (1)[变化率问题]某店月销售额从一月份的28万元增长到 (1)变化率问题： 三月份的4万元.设这两个月的月平均增长率为x,则 变化率 变化量 基础量×100%. 变式一“增长”变“下降”某种品牌的手机经过四、五月份 设a为原来的量，b为变化后 连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元.设平均每 的量 月降价的百分率为x,则 ①若平均增长率为x,增长次数为 (2)[病毒传播问题]有一个人患了流感，经过两轮传染后共 2,则b=⑦ 有121个人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个 ②若平均下降率为x,下降次数为 人，则 2,则b=⑧ (3)[单循环赛问题]某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形 (2)病毒传播问题： 式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共有x 若初始数据为a,每次传播x个， 支队伍参加比赛，则 则第一轮后共有a(1+x)个，第二 (4)[互赠礼物问题]联欢会上，每位同学向其他同学赠送1 轮后共有⑨ 个 件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人 (3)握手、单循环赛问题： 数，设参加联欢会的同学有x人，则 ； 若共有n人，则握手（单循环赛） (5)[每每问题]一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购 总次数为0 买了一批树苗.园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每 (4)互赠礼物问题：若共有n人， 棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每 则送礼物总份数为① 增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元.若该校最 (5)每每问题：单价每涨a元，少 终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树 卖b件，则涨价x元时，少卖的数 苗，则 量为②2 件 22 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点①一元二次方程的相关概念及一般形式 1.（人教九上P4T1变式)已知关于x的方程(m+1)x2-3x+2=0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 (3)若m=0,则该方程的二次项是 ,二次项系数是 ,一次项是 次项系数是 常数项是 考点2一元二次方程的解法（多在实际应用或二次函数中考查） 2.请用合适的方法解下列方程： (1)x2+2x-1=0; (2)x2-3x=0; (3)x2-2x=4; (4)x2-4=0. 3.习题课上，数学老师展示了一道习题及两位同学错误的解答过程： 解方程：x(x-3)=2(x-3)2. 甲同学： 乙同学： 解：方程两边同时除以(x-3), 解：移项，得x(x-3)-2(x-3)2=0. 第一步 得x=2(x-3) 第一步分解因式，得(x-3)(x-2x-6)=0.… 第二步 去括号，得x=2x-6.…第二步 则x-3=0或x-2x-6=0,… 第三步 移项、合并同类项，得x=6.…第三步解得x,=3,x2=-6. 第四步 (1)分别写出甲同学、乙同学的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程。 23 考点3一元二次方程根的判别式(10年4考) 4.（冀教九上P42B组T1变式)已知关于x的方程(m+1)x2-3x+2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 (2)若该方程有两个相等的实数根，则m的值是 (3)若该方程没有实数根，则m的取值范围是 (4)若该方程有两个实数根，则m的取值范围是 (5)若该方程有实数根，则m的取值范围是 (6)若m<-1,则该方程的根的情况是 考点4一元二次方程根与系数的关系(2025.624) 5.(人教九上P16例4变式)已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根分别为 x1,x2 (1)若k=1,则： ①x1x2= ,x1+x2= ②x+x号= 81,1 X1 X2 ④(x1+1)(x2+1)= ⑤1x1-x21= (2)若x1=3x2,则k的值为 考点5一元二次方程的实际应用(2024.9,2020.23) 6.某校园内有一块长为40m,宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩 余部分种上草坪 (1)如图1，测得草坪的面积是1064m2,求道路的宽度； (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两 横两竖等宽的道路（横、竖道路各与矩形的一条边平行），如图2所示，剩余部分建为学生 综合实践种植园，如果要使种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为 多少？ 图1 图2 温馨提示 请完成分层练习册P22~P23习题 24x=2 解法2：2x=4:x=2:x=2:y= 1 29 1 x=2 1 解法3：4=2y=2沙=2x=2 y=2 6.(1)当a=1时，x+y的值为2. (2)a=3. a-1 &= 尚超远，将代华 2 a+3 y=2 .y-=at3 a-1 =2 22 无论a为何值，y的值始终比x的值大2. 7.53 8.这架飞机无风时的平均速度为765km/h,风速为 15 km/h. 9.午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足一个初中学 生的身体需要. 第二节分式方程及其应用 例1x+1;x-3+x+1=x+2:x=4:x=4:x+1≠0：x=4 例2(1)2000_30 x x2.5x4 1.(1)一；一. (2)习题1：原式= *1 习题2：原分式方程的解为x=2 1 2 2(1)x=5;(2)1:(3)1或3：(4)2或4或5： (5)m<3且m≠1 3.m的值为5. 第三节一元二次方程及其应用 ①是②不是③3④-2⑤-1 例1(1)x1=-1,x2=-3: (2)x2+4x-3=0;x2+4x=3;x2+4x+4=3+4:x+2:7: x1=-2+V7,x2=-2-√7； (3)x2+4x-12=0:1;4:-12:42-4×1×(-12)=64>0: -4±√64 2×1 =-2±4：x1=2,x2=-6; (4)x1=0,x2=2. ⑥-n±b⑦-6±vBF-4ae ⑧a⑨b0不相等 2a ①相等②没有-6 C⑤≠G≥ 例2(1)2.8(1+x)2=4;【变式】3200(1-x)2=1600: (2)1+x+x(1+x)=121:(3)x(-=36: 2 (4)x(x-1)=870:(5)x[120-0.5(x-60)]=8800 Da(1+x)2Ba(1-x)29a(1+x)2②n(n-l) 2 ①n(n-1）2x·b 1.(1)m≠-1；(2)-1；(3)x2;1;-3x;-3:2 2.(1)x1=-1+2,x2=-1-√2 (2)x1=0,x2=3. (3)x1=1+W5,x2=1-√5. （4)x1=-2,x2=2. 3.(1)甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的，乙同 学的解答过程是从第二步开始出现错误的。 (2)x1=3,x2=6. 1 4(m<8且m≠-1：(233)m>8(4m<、电 m≠-1：(5)m≤日：(6)有两个不相等的实数根 5(1①13：②7：33：④5：55：(2)22 6.(1)道路的宽度为2m (2)道路的宽度应设计为5m. 第四节一元一次不等式（组）及其应用 ①>②>③>④<⑤<⑥改变 例1x>6-2(2-x);x>6-4+2x;x-2x>6-4;x>2;x<-2 ⑦公共⑧x>a⑨x≤a0x≥a①x>a②x<b 3<x<a④无解5实心圆点6空心圆圈⑦左 ⑧ 例2A品牌乒乓球最多有36个. 9<②①≥@≤ 1.A【变式设问】③⑤ 2.(1)x≤2. 将解集表示在数轴上如下 -10123 (2)原不等式组的解集为x≥4 将解集表示在数轴上如下 -1012345 3.D 4.(1)每关的奖励值为+15点，惩罚值为-5点. (2)嘉嘉最多能失败6次 5.(1)x≥-2，将解集表示在数轴上如下 -5-4-3-2-1012345 (2)a<-2:(3)-2≤a<-1:(4)-1≤a<0:(5)a≥-1： (6)a≤-1 第章函数 第一节平面直角坐标系与函数初步 ①四②三③-④y⑤x⑥x=0,y=0⑦y ⑧-y2⑨b①a①1b121alB1x1-xI④1y1-y, 5√a+b0(x+m,y）⑦(x,y+m）⑧(x,y-m) 0(x,-y）2②0(-x,y）④(-x,y）2≥13>1≠0 3 1(1)二(2)2：1：2m<1:(3)-3；-2 2.(1)(3,1);(3,2):(2)①B:②否 3.(1)4:3:5:(2)3:√29：(3)①1m-31:②(-2,4)或(8,4) 4.(1)(3,2);(-3,-2)；(3,-2); 3